2025年高中自主招生模拟考试数学试卷试题（含答案详解）

第=page11页，共=sectionpages66页第=page22页，共=sectionpages66页2025年高中自主招生考试数学适应性试卷一、选择题（每题6分，共48分）1.如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是（）A．p B．m C．q D．n2.如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标是()A.(13，13)B．(－13，－13)C.(14，14)D.(－14，一14)3.如图，△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上的点F处，若∠CFD＝60°且△AEF中有两个内角相等，则∠A的度数为（）A．30°或40° B．40°或50° C．50°或60° D．30°或60°4.当－1≤≤2时，函数有最小值2，求所有可能取的值有（）个.A．1 B．2 C．3 D．45.如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A，B到MN的距离分别为h1，h2，则∣h1-h2∣等于（）A.6B.7C.8D.96.将六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使点A，B落在六边形ABCDEF的内部，记∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝α，则∠1＋∠2＝（）A.900°－2αB.1080°－2αC.720°－αD.360°－α7.如图,在等边△ABC中,BC=6,点D,E均在BC边上,且DE=2,则△ADE周长的最小值为（）．A.27 B.27+2C.47 D.47+28.已知，，，则的值为（）A．2.B．.C．3.D．.二、填空题（每题6分，共48分）9.已知为方程的两实根，则。第11题图10.已知：一元二次方程mx2－(m－2)x+(m－1)=0两个不相等的实数根恰好是直角三角形两个锐角的正弦值.则这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比为______________。第11题图11.如图，两个同心圆，半径分别是，矩形ABCD边AB、CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是。12.方程有且只有两个不同的实数根时，的取值范围为______________.13.如图，⊙O的半径长为4，弦AB的长为2，点C在⊙O上，若∠BAC＝135°，则AC的长为______________.14.已知A，B，C，D，E是反比例函数（x＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.yBTOxACFMNP15.如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、PyBTOxACFMNPBBACMNPEFQDG16.如图，已知直线y＝－m(x－4)（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，Ｍ是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连结CN、CM．若OM＝1，当直线AB恰好平分梯形OMNA的面积时m的值为__________．三、解答题（54分）在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶200千米，每辆巡逻车可载供行驶14天的汽油，现有5辆巡逻车，同时从驻地A出发，完成任务后再沿原路返回驻地．为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻（然后再一起返回），甲、乙两车行至途中B处后，仅留足自己返回驻地所需的汽油，将其余的汽油留给另外三辆使用，问其他三辆可行进的最远距离是多少千米？(12分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上，AD垂直平分BE，连接AC．（1）求证：AB＝AC．（2）连接AE，若AE∥BC，AB＝3，BC＝2，求CE的长．19.(14分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,−3),（1）求抛物线的解析式；(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在,求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,说明理由；

(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标．

​20.(16分)如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点,,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.(1)求直线AB的解析式;(2)若S梯形OBCD＝,求点C的坐标;(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.2025年高中自主招生考试数学适应性试卷一、选择题（每题6分，共48分）1.如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是（）A．p B．m C．q D．n提示：∵n+q＝0，∴n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，∴绝对值最小的点M表示的数m，答案为：B．2.如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标是()A.(13，13)B．(－13，－13)C.(14，14)D.(－14，一14)提示：由题所给的数据结合坐标系可得，是第14个正方形上的第三个顶点，位于第一象限，所以的横纵坐标都是14.答案为：C．3.如图，△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上的点F处，若∠CFD＝60°且△AEF中有两个内角相等，则∠A的度数为（）A．30°或40° B．40°或50° C．50°或60° D．30°或60°提示：①当AE＝AF时，则∠AFE＝∠AEF=12（180°﹣∠A∵∠B＝∠EFD＝90°﹣∠A，∠CFD＝60°，∴∠AFD＝120°，∴12（180°﹣∠A）+90°﹣∠A＝120°，∴∠A＝40°．②当AF＝EF时，∠AFE＝180°﹣2∠A，同法可得180°﹣2∠A+90°﹣∠A＝120°，∴∠A＝50°．③当AE＝EF时，点F与C重合，不符合题意．综上所述，∠A＝40°或50°，答案为：B．4.当－1≤≤2时，函数有最小值2，求所有可能取的值有（）个.A．1 B．2 C．3 D．4提示：图象的对称轴为函数在何处取最小值?应分三种情况讨论当时,函数在处取得最小值2,故解得或当时,函数在处取得最小值2,代入函数式解得当时,函数在处取得最小值2,代入函数式解得故所有可能取值为答案为：D5.如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A，B到MN的距离分别为h1，h2，则∣h1-h2∣等于（）A.6B.7C.8D.9提示：如图，设AB与MN交于点C，过点O作OD⊥MN于D，连接FO并延长交EB于G．由垂径定理，得OD＝＝3．由△AFO≌△BGO，得AF＝BG，即h1＝BG．由AF⊥MN，BE⊥MN，得△FOD∽△FGE．∴．∴EG＝2OD＝6，∴＝EG＝6．答案为：A6.将六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使点A，B落在六边形ABCDEF的内部，记∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝α，则∠1＋∠2＝（）A.900°－2αB.1080°－2αC.720°－αD.360°－α提示：如图，设FA的延长线与CB的延长线交于点P，GA′的延长线与HB′的延长线交于点P′．由对称性可知∠1＝2∠APP′，∠2＝2∠BPP′．∴∠1＋∠2＝2∠APB．∵∠APB＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α．答案为：B．7.如图,在等边△ABC中,BC=6,点D,E均在BC边上,且DE=2,则△ADE周长的最小值为（）．A.27 B.27+2C.47 D.47+2提示：如图,过点A作AF⊥BC并延长至点H,使AF=FH,连接DH,以DH、DE为边作▱DHGE,∴EG=DH=AD,即当A,E,G三点共线时,AE+AD最小.在△ABF中,AB=6,BF=3,∴AF=33,∴AH=2AF=63.∵四边形DHGE是平行四边形,∴HG=DE=2.当A,E,G三点共线时,在Rt△AHG中,AG=AH2+HG2=47,此时△8.已知，，，则的值为（）A．2.B．.C．3.D．.提示：由已知等式得，，，所以．于是，，，．所以，，，即。代入，得，解得．所以．答案为：A．二、填空题（每题6分，共48分）9.已知为方程的两实根，则。提示：∵x1，x2为方程x2+4x+2=0的两实根，∴x12+4x1+2=0，x1+x2=-4，x1•x2=2，

∴x12=-4x1-2，而x13=x12•x1，∴x13+14x2+55=x12•x1+14x2+55=（-4x1-2）•x1+14x2+55

=-4x12-2x1+14x2+55=-4（-4x1-2）-2x1+14x2+55=14（x1+x2）+8+55=14×（-4）+63=7．

答案为：7．10.已知：一元二次方程mx2－(m－2)x+(m－1)=0两个不相等的实数根恰好是直角三角形两个锐角的正弦值.则这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比为______________.提示：作Rt△ABC斜边上的高CD.则sinA=,sinB=.∵sinA和sinB是方程的两根，得sinA+sinB=；(1)sinAsinB=.(2)即=.（3）(1)2－2(2)得：(sinA)2+(sinB)2=()2－.∵sinB=cosA,且(sinA)2+(cosA)2=1，∴()2－=1，m2+7m－8=0,∴m=1，m=－8.由（3）＝＝.∴＝.当m=1时，没有意义；当m=-8时，=.即直角三角形斜边与斜边上的高的比是32∶9.答案为：32∶9。11.如图，两个同心圆，半径分别是，矩形ABCD边AB、CD分别为两圆的弦，当矩形第11题图ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是。第11题图提示：如图，设AB=CD=a，AD=BC=b，DE=CF=c，则有，又可得：由当时，答案为：。12.方程有且只有两个不同的实数根时，的取值范围为______________.提示：如图，作出函数图象，由图象可以看出:当a=0时，y=0与有且只有2个不同交点;当时，y=a与图象有4个不同交点;当时，y=a与图象有3个不同交点，当时，y=a与图象有且只有2个不同交点.答案为：a=0或。13.如图，⊙O的半径长为4，弦AB的长为2，点C在⊙O上，若∠BAC＝135°，则AC的长为______________.提示：作BC所对的圆周角∠BDC，作BH⊥AC于H，连接OB、OC，如图，∵∠BAC＝135°，∴∠BAH＝45°，∴△BAH为等腰直角三角形，∴AH＝BH=22AB=22×2=∴∠BOC＝2∠D＝90°，∴△BOC为等腰直角三角形，∴BC=2OB＝42在Rt△BCH中，CH=BC2−BH2=(4答案为：31−14.已知A，B，C，D，E是反比例函数（x＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.提示：∵A，B，C，DE是反比例函数y＝(x＞0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这五人橄榄形的面积总和是＝5π－10＋8π－16＝13π－26答案为：13π－26．BACMNPEFQDGO15.如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、BACMNPEFQDGOBBACMNPEFQDG提示：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形．∵F是AC的中点，∴DF的延长线必过O点，且．∵AB∥CD，∴．∵AD∥CE，∴．∴＝．又，∴OQ＝3DN．∴CQ＝OQ－OC＝3DN－OC＝3DN－AD，AN＝AD－DN，于是，AN＋CQ＝2DN，∴＝2，即MN＋PQ＝2PN．PQ＝2PN-MN=10-3=7。答案为：7.16.如图，已知直线y＝－m(x－4)（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，Ｍ是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连结CN、CM．若OM＝1，当直线AB恰好平分梯形OMNA的面积时m的值为__________．yByBTOxACFMNP12G3yBTOxACFMNP提示：∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径，∴AT、OM是⊙C的切线．又∵MN切⊙C于点P∴∠CMN＝EQ\F(1,2)∠OMN，∠CNM＝EQ\F(1,2)∠ANM∵OM∥AN∴∠ANM＋∠OMN＝180°∴∠CMN＋∠CNM＝EQ\F(1,2)∠OMN＋EQ\F(1,2)∠ANM＝EQ\F(1,2)(∠OMN＋EQ\F(1,2)∠ANM)＝90°，∴∠MCN＝90°∠1＋∠2＝90°，而∠2＋∠3＝900，∴∠1＝∠3；∴Rt△MOC∽Rt△CAN∴EQ\F(OM,AC)＝EQ\F(OC,AN)∵直线y＝－m(x–4)交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（4，0），∴AC＝CO＝2∵OM＝1，设AN＝y，∵＝EQ\F(2,y)∴y＝4∴AN＝4，此时S四边形ANMO＝10∵直线AB平分梯形ANMO的面积，∴△ANF的面积为5过点F作FG⊥AN于G，则EQ\F(1,2)FG·AN＝5，∴FG＝EQ\F(5,2)∴点F的横坐标为4－EQ\F(5,2)＝EQ\F(3,2)∵M（0，1），N（4，4）∴直线MN的解析式为y＝EQ\F(3,4)x＋1∵F点在直线MN上，∴F点的纵坐标为y＝EQ\F(17,8)∴F（EQ\F(3,2)，EQ\F(17,8)）∵点F又在直线y＝－m(x－4)上∴EQ\F(17,8)＝－m(EQ\F(3,2)－4)∴m＝EQ\F(17,20)答案为：EQ\F(17,20)三、解答题（54分）在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶200千米，每辆巡逻车可载供行驶14天的汽油，现有5辆巡逻车，同时从驻地A出发，完成任务后再沿原路返回驻地．为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻（然后再一起返回），甲、乙两车行至途中B处后，仅留足自己返回驻地所需的汽油，将其余的汽油留给另外三辆使用，问其他三辆可行进的最远距离是多少千米？提示：设甲、乙两车从驻地A行至B处需耗x天的汽油，则其他三辆车在AB路段也消耗了x天汽油，在B处甲、乙两车可向其他三辆车提供2（14-2x）天的汽油．要使这三辆车行程最远，当且仅当甲、乙两车提供的汽油总量等于这三辆车在AB路段消耗的汽油总量．即2（14-2x）=3x，解之，得x=4．从而，这三辆车从驻地出发，行进的最远距离为：[（14-4）+4]×200=1800（千米）．(12分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上，AD垂直平分BE，连接AC．（1）求证：AB＝AC．（2）连接AE，若AE∥BC，AB＝3，BC＝2，求CE的长．提示：（1）证明：连接BD．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADE＝∠ABC，∵AD垂直平分BE，∴BD＝DE，∴∠ADB＝∠ADE，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．（2）连接AE，作AF⊥BC点F，CH⊥AE点H，∴∠AFC＝∠AHC＝90°，∵AE∥BC，∴∠FAE＝90°，∴四边形AFCH为矩形，∴AH＝CF，CH＝AF，∵AB＝AC＝3，BC＝2，∴AH＝CF＝1，∴CH=AF=3∵AD垂直平分BE，∴AE＝AB＝3，∴HE＝AE﹣AH＝3﹣1＝2，∴CE=219.(14分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,−3),动点P在抛物线上．

求抛物线的解析式；(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在,求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,说明理由；

(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标．

​提示：（1）将A,C两点代入，解得：b=-2,c=-3∴抛物线解析式为（2）存在．

理由：如图所示：

①当∠ACP1=90°．

由（1）可知点A的坐标为（3，0）．

设AC的解析式为y=kx-3．

∵将点A的坐标代入得3k-3=0，解得k=1，

∴直线AC的解析式为y=x-3．

∴直线CP1的解析式为y=-x-3．

∵将y=-x-3与y=x2-2x-3联立解得x1=1，x2=0（舍去），

∴点P1的坐标为（1，-4）．

②当∠P2AC=90°时．

设AP2的解析式为y=-x+b．

∵将x=3，y=0代入得：-3+b=0，解得b=3．

∴直线AP2的解析式为y=-x+3．

∵将y=-x+3与y=x2-2x-3联立解得x1=-2，x2=3（舍去），

∴点P2的坐标为（-2，5）．

综上所述，P的坐标是（1，-4）或（-2，5）．

（3）如图2所示：连接OD．

由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．

根据垂线