2022届湖北省武汉华中师大一附中高三下学期第五次调研考试数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题“”的否定是（）A． B．C． D．2．设函数满足，则的图像可能是A． B．C． D．3．已知当，，时，，则以下判断正确的是A． B．C． D．与的大小关系不确定4．已知函数为奇函数，且，则（）A．2 B．5 C．1 D．35．已知函数满足=1，则等于（）A．- B． C．- D．6．已知是的共轭复数,则（）A． B． C． D．7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（）A． B． C． D．8．已知集合，，，则的子集共有（）A．个 B．个 C．个 D．个9．已知，，，，则（）A． B． C． D．10．已知函数，则的最小值为()A． B． C． D．11．设函数定义域为全体实数，令．有以下6个论断：①是奇函数时，是奇函数；②是偶函数时，是奇函数；③是偶函数时，是偶函数；④是奇函数时，是偶函数⑤是偶函数；⑥对任意的实数，．那么正确论断的编号是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤12．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数（）的图象与直线相切，则______.14．若随机变量的分布列如表所示，则______，______．-10115．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．16．已知集合，.若，则实数a的值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数，使得，证明：.18．（12分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表：序号选科情况序号选科情况序号选科情况序号选科情况11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245（1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？（2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（3）某高校在其热门人文专业的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备高校专业报名资格的人数为，用样本的频率估计概率，求的分布列与期望.19．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.20．（12分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，.（1）若，求证：平面；（2）若，求二面角的正弦值．21．（12分）已知函数．（1）若函数在上单调递增，求实数的值；（2）定义：若直线与曲线都相切，我们称直线为曲线、的公切线，证明：曲线与总存在公切线．22．（10分）已知函数.（1）若是的极值点，求的极大值；（2）求实数的范围，使得恒成立.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可.【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题“,”的否定是：，．故选D．【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.2．B【解析】根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．3．C【解析】

由函数的增减性及导数的应用得：设，求得可得为增函数，又，，时，根据条件得，即可得结果．【详解】解：设，则，即为增函数，又，，，，即，所以，所以．故选：C．【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．4．B【解析】

由函数为奇函数,则有,代入已知即可求得.【详解】.故选:.【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.5．C【解析】

设的最小正周期为，可得，则，再根据得，又，则可求出，进而可得.【详解】解：设的最小正周期为，因为，所以，所以，所以，又，所以当时，，，因为，整理得，因为，，，则所以.故选：C.【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目.6．A【解析】

先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．【详解】i，∴a+bi＝﹣i，∴a＝0，b＝﹣1，∴a+b＝﹣1，故选：A．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．7．C【解析】

由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为,圆锥的高,截去的底面劣弧的圆心角为，底面剩余部分的面积为,利用锥体的体积公式即可求得.【详解】由已知中的三视图知圆锥底面半径为，圆锥的高，圆锥母线，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分的面积为，故几何体的体积为：.故选C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般.8．B【解析】

根据集合中的元素，可得集合，然后根据交集的概念，可得，最后根据子集的概念，利用计算，可得结果.【详解】由题可知：，当时，当时，当时，当时，所以集合则所以的子集共有故选：B【点睛】本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合中有元素时，集合子集的个数为，真子集个数为，非空子集为，非空真子集为，属基础题.9．D【解析】

令，求，利用导数判断函数为单调递增，从而可得，设，利用导数证出为单调递减函数，从而证出，即可得到答案.【详解】时，令，求导，，故单调递增：∴，当，设，，又，，即，故.故选：D【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.10．C【解析】

利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值.【详解】由于，故其最小值为：.故选：C.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题.11．A【解析】

根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性并证明.【详解】当是偶函数，则，所以，所以是偶函数；当是奇函数时，则，所以，所以是偶函数；当为非奇非偶函数时，例如：，则，，此时，故⑥错误；故③④正确.故选：A【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题.12．C【解析】

由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．【详解】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积，高，故体积，故选：．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．2【解析】

设切点由已知可得,即可解得所求.【详解】设，因为，所以，即，又，.所以，即，.故答案为:.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较易.14．【解析】

首先求得a的值，然后利用均值的性质计算均值，最后求得的值，由方差的性质计算的值即可.【详解】由题意可知，解得（舍去）或.则，则，由方差的计算性质得.【点睛】本题主要考查分布列的性质，均值的计算公式，方差的计算公式，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．20.2【解析】

分别求出随机变量ξ1和ξ2的分布列，根据期望和方差公式计算得解.【详解】设a，b∈{1，2，1，4，5}，则p（ξ1＝a），其ξ1分布列为：ξ112145PE（ξ1）（1+2+1+4+5）＝1．D（ξ1）[（1﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2+（4﹣1）2+（5﹣1）2]＝2．ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分别为：1.4，2.3，4.2，5.6，P（ξ2＝1.4），P（ξ2＝2.3），P（ξ2＝4.2），P（ξ2＝5.6），可得分布列．ξ21.42.34.25.6PE（ξ2）＝1.42.34.25.62.3．∴E（ξ1）﹣E（ξ2）＝0.2．故答案为：2，0.2．【点睛】此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计算期望和方差.16．9【解析】

根据集合交集的定义即得.【详解】集合，，，，则a的值是9.故答案为：9【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）当时，在上递增，在上递减；当时，在上递增，在上递减，在上递增；当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减，在上递增；（2）证明见解析【解析】

（1）对求导，分，，进行讨论，可得的单调性；（2）在定义域内是是增函数，由（1）可知，，设，可得，则，设，对求导，利用其单调性可证明.【详解】解：的定义域为，因为，所以，当时，令，得，令，得；当时，则，令，得，或，令，得；当时，，当时，则，令，得；综上所述，当时，在上递增，在上递减；当时，在上递增，在上递减，在上递增；当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减，在上递增；（2）在定义域内是是增函数，由（1）可知，此时，设，又因为，则，设，则对于任意成立，所以在上是增函数，所以对于，有，即，有，因为，所以，即，又在递增，所以，即.【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想，综合性大，属于难题.18．（1）不需调整（2）列联表见解析；有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关（3）详见解析【解析】

（1）可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120，2，推理得对应开设选修班的数目分别为15，1．推理知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．（2）根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论．（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为．用频率估计概率，则，根据二项分布概率公式可得分布列和数学期望．【详解】（1）经统计可知，样本40人中，选修化学、生物的人数分别为24，11，则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120，2．根据每个选修班最多编排50人，且尽量满额编班，得对应开设选修班的数目分别为15，1．现有化学、生物科目教师每科各8人，根据每位教师执教2个选修班，当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的一位教师执教一个班的条件，知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．（2）根据表格中的数据进行统计后，制作列联表如下：选物理不选物理合计选化学19524不选化学61016合计251540则，有的把握判断学生”选择化学科目”与“选择物理科目”有关．（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为．用频率估计概率，则，分布列如下：01230.3430.4410.1890.021数学期望为．【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．19．（1）；（2）.【解析】

（1）将函数的解析式表示为分段函数，然后分、、三段求解不等式，综合可得出不等式的解集；（2）求出函数的最大值，由题意得出，解此不等式即可得出实数的取值范围.【详解】.（1）当时，由，解得，此时；当时，由，解得，此时；当时，由，解得，此时.综上所述，不等式的解集；（2）当时，函数单调递增，则；当时，函数单调递减，则，即；当时，函数单调递减，则.综上所述，函数的最大值为，由题知，，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式中的参数问题，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.20．（1）详见解析（2）【解析】

（1）如图，作，交于，连接.因为，所以是的三等分点，可得.因为，，，所以，因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为平面，平面，所以平面.又，平面，平面，所以平面.因为，、平面，所以平面平面，所以平面.（2）因为是等边三角形，，所以.又因为，，所以，所以.又，平面，，所以平面.因为平面，所以平面平面.在平面内作平面.以B点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，，.设为平面的法向量，则，即，令，可得.设为平面的法向量，则，即，令，可得.所以，则，所以二面角的正弦值为.21．（1）；（2）见解析.【解析】

（1）求出导数，问题转化为在上恒成立，利用导数求出的最小值即可求解；（2）分别设切点横坐标为，利用导数的几何意义写出切线方程，问题转化为证明两直线重合，只需满足有解即可，利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.【详解】（1），函数在上单调递增等价于在上恒成立．令，得，所以在单调递减，在单调递增，则．因为，则在上恒成立等价于在上恒成立；又，所以，即．（2）设的切点横坐标为，则切线方程为……①设的切点横坐标为，则，切线方程为……②若存在，使①②成为同一