2020-2021学年新教材高中数学56函数

函数y=Asin(cox+6)(一)

।基础通关一水平一》

(15分钟35分)

nTt

L为了得到函数尸sinX—-的图象，只需把函数尸sin1+-的图象()

36

n

A.向左平移一个单位长度

4

n

B.向右平移一个单位长度

4

71_

C.向左平移一个单位长度

2

71

D.向右平移一个单位长度

2

n\TT_

(的图象向右平移&个单位长度得到

y=sin(%+—y)=sin(%一的图象.

2.将函数尸sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，(纵坐标不变)，得到的函数为

()

1

A.y=5sinxB.y="sinx

1

C.y=sin5xD.y=sin-x

【解析】选C.y二sinx所有点的横坐标缩短到原来的I纵坐标不变)得到

5

y=sin5x.

3.把函数尸cos(31+的图象适当变换就可以得到y=sin(-3x)的图象，这种变换可以是

n

A.向右平移1个单位长度

71

B.向左平移一个单位长度

4

7T_

C.向右平移一个单位长度

12

7T

D.向左平移一个单位长度

12

【解析】选D.因为y=cos（3%+

=cos］一（：-3%）卜［11（：13%）

二sin卜3卜咤）］,

所以将y=sin-3（1一姿）］的图象向左平移卷个单位长度能得到丫=$行（-玄）的图象.

4.给出几种变换：

①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；

②横坐标缩小到原来的乙纵坐标不变；

2

_7T_

③向左平移一个单位长度；

3

_7T_

④向右平移一个单位长度；

3

_7T_

⑤向左平移一个单位长度；

6

_7T_

⑥向右平移一个单位长度；

6

则由函数丫=$3x的图象得到y=sin（2x+C）的图象，可以实施的方案是（）

3

A.①一③B.②一③

C.②一④D.②一⑤

【解析】选D.y二sinx的图象二sin2x的图象=sin（2%+^）的图象.

5.将函数丫=$行（2%+£）的图象向左平移2个单位，所得函数的解析式为.

【解析】由y=sin（2%+匀向左平移1个单位得

y=sin2（%+§+£bin(2x

=sin（21H------）=cos2x.

答案：y=cos2x

6.已知函数f（x）=3sin（2x+力）（"£（0,彳）），其图象向左平移个单位长度后，关于y轴

对称.

（1）求函数f（x）的解析式.

（2）说明其图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的.

7T

【解析】（1）将函数f（x）=3sin（2x+4））图象上的所有点向左平移一个单位长度后，所得图象的

6

函数解析式为y=3sin2（X+^）+9+W+0)

因为图象平移后关于y轴对称，

7Tn

所以一+。=k兀+—（k£Z）,

32

n

所以6=k叮+-（keZ）,

6

c7T\7T

(0>y),所以巾

所以f（x）=3sin（21+

n

⑵将函数尸sinx的图象上的所有点向左平移一个单位长度，所得图象的函数解析式为

6

y=sin（x+-）,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的々纵坐标不变），得函数

62

y=sin（21+£）的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），即得函

数y=3sin（21+孑）的图象.

■能力进阶一水平二>>

（30分钟60分）

一、单选题（每小题5分，共20分）

1.把函数y二sin（2%-的图象向右平移:个单位，所得图象对应的函数是（）

A.非奇非偶函数B.既是奇函数又是偶函数

C.奇函数D.偶函数

的图象向右平移d个单位得到尸可2

【解析】选D.y=sin

y=-cos2x是偶函数.

2.设3〉0,函数y=sin（31+^+2的图象向右平移（口个单位后与原图象重合，贝U«的

最小值为（）

13

A.—B.1C.一D.2

22

47r

【解析】选C.由题意知一是函数周期的整数倍,

3

27r4

又3〉0,所以—,k="n,

33

~3、

所以3二一k(k£Z),

2

,3

因为3>0,所以3的最小值为一.

2

3.(2020•福州高一检测)设函数f(x)=sin(3x+。)(3>\(p\<§的最小正周期为

n_

兀，且图象向左平移一个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象()

6

>

A.关于点(E0)对称

B・关于点后,。

n

C.关于直线x二一对称

12

D.关于直线x二一对称

12

/2元

【解析】选D.函数f(X)=sin(3x+。)(3>0>I<鼻)的最小正周期为兀，即了二兀，

所以3=2.

71

则f(x)=sin(2x+4)),向左平移一个单位后得:

6

y二sin(21+—+9)是奇函数,

7171

即一+@=k兀，k£Z.所以。=kr——,k£Z,

33

nn

因为|6|<一,则6=一，故f（x）的解析式为

f(x)=sin(2%-&)

n

由对称中心的横坐标可得:2x--k兀，k£Z,

3

1n1,,

即x=-kJi+-，k£Z.所以A,B选项不对.

26

n7i157r5TT

由对称轴方程可得：2x--=kn+-,k£Z,即x=-k兀+—，k£Z.当k=0时，可得x二—.

3221212

【补偿训练】

将函数y=sin（61+2）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向

n

右平移一个单位，所得函数图象的一个对称中心是（

【解析】选D.将函数y=sin（61+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

可得到函数y=sin（21+的图象，然后该函数的图象向右平移:个单位可得到函数

y=sin2（X--）H----sin2x的图象，由2x=kJi=>x=—，k£Z,所以该函数的对称中心

4.为了得到函数y二sin（2%-的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）

Tt

A.向右平移一个单位长度

6

Tt

B.向右平移一个单位长度

3

n

C.向左平移一个单位长度

6

71

D.向左平移一个单位长度

3

【解析】选B.y二sin(2%"

=卡(2%-匀］

2”

=cos

【误区警示】注意变换前后函数名不一样.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0

分)

5.把函数f(x)-sin(21-

的图象向左平移6(0〈口)个单位长度可以得到函数g(x)的图

象.若g(x)的图象关于y轴对称，则小的值可以是()

5冗7兀5元11兀

A.—B.—C.—D.---

1212612

【解析】AD.由题意，

7T

得g(x)=sin2CX+(p)—

sin+因为g(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)为偶函数，所以

nnkn5n5nlln

2巾—=k兀+—(k£Z),所以@二—+—(1<£2).当1<=0时，巾二—；当k=l时，@二---.

322121212

6.为得到函数厂cosx的图象，可以把y=sinx的图象向右平移e个单位长度得到，那么“

的值可以是()

n

【解析】选BD.y=sinx=cos

二cos9一5向右平移6个单位长度后得到y=cos(%-0"q),所以6+^二2女兀,

~江~37r7n

keZ,所以6=2k兀—，keZ.所以4)的值可以是—，—.

222

【光速解题】把选择项逐项代入，马上得到答案BD正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.将函数y=」sin(21+2)的图象上各点的横坐标缩短到原来的士纵坐标不变，得到函数

2\6/2

*TT

y=g(x)的图象，则函数g(x)在0,一上的最小值为_______.

41

【解题指南】先根据题目提供的变换方法求出g(x)的解析式，再在固定区间上求g(x)的最小

值.

【解析】依据图象变换可得函数g(x)」sin(4x+F).因为x£|0,-1,

264j

~,7T[n7n

所以4x+—£—>一，

6166」

所以当4x+一二—时，g(x)取最小值--.

664

1

答案：一

4

【补偿训练】

若g(x)=2sin(2x+£)+a在7T

0>一上的最大值与最小值之和为7,则a=_______.

3j

【解析】当OWxW-n时，n-W2x+7-1W5—7,rl-Wsin(—2%+7—T\)W1,

36662V67

所以l+aW2sin(2%+—)+aW2+a,由l+a+2+a-7,得a=2.

答案：2

8.将函数f(x)=Asin(3x+@)(3>0)I@^图象上每一点的横坐标缩短为原来的一

71-

半，纵坐标不变，再向右平移一个单位长度得到尸Asinx的图象，则3=,。=.

6

【解析】y=Asinx的图象向左平移£个单位长度，得到y=Asin(%+%)的图象，再将每一点

的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=Asin(：1+/)的图象即为f(x)=Asin(3

/In\1

x+@)的图象，所以f(x)=Asin(-1H---),所以3二一,

\2672

n

。二一.

6

17T

答案：一一

26

四、解答题(每小题10分，共20分)

+0-2)+1(3>0,0<6<兀)为偶函数，且函数f(x)的图象的

9.已知函数f(x)=2sin

n

两相邻对称轴间的距离为一.

2

⑴求的值;

71

⑵将函数f(x)的图象向右平移一个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来

6

的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间.

nn

【解析】(1)因为f(x)为偶函数，所以。-一二kn+-(k£Z),

62

所以。=k兀+—(k£Z).

3

又0<6〈兀，所以“二一，

3

所以f(x)=2sin(3X+—J+l=2coscox+1.

、.n

又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为一,

2

2元71

所以T二——二2义一，所以3二2,

32

所以f(x)=2cos2x+l,

所以fO=2COS(2X^+1=V2+1.

(2)将f(x)的图象向右平移:个单位长度后，得到函数f(1一£)的图象，再将所得图象上各点

的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到

的图象,

~/XTt\J(xn\'

所以g(x)=f(1一匕)=2cos2—J+1

(xn\

=2cosl—'—)+1.

\237

X71

当2krW---W2k兀+兀，k£Z,

23

即4k兀+—WxW4k兀+—(k£Z)时，g(x)单调递减.

33

所以函数g(x)的单调递减区间是

4/CTTH——>4/CTTH------(kez).

L33

10.已知函数f(x)=sin(3-2%)(xGR).

(1)求f(x)的单调减区间;

(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)

【解析】(1)由已知函数化为f(x)=-sin(2x-£).欲求函数的单调递减区间，只需求

3

y二sin(21"的单调递增区间.

由2k兀—W2x—W2k兀+一,k£Z,

232

解得k兀Wx〈kn+一兀，k£Z,所以原函数的单调减区间为［忆兀，一>/C7T+—TT(k

1212L1212J

£Z).

(2)f(x)=sin(r2x)=cos[r(r2x)]

因为y二cos2x是偶函数，图象关于y轴对称,

71

所以只需把y=f(x)的图象向右平移正个单位长度即可(答案不唯一).

I创新迁移》

L(2020•上海高一检测)已知函数f(x)=4sin(2x+£),xe0>—的图象与直线y=m的三个

6L6」

交点的横坐标分别为Xi,X2,X3(X1<X2<X3),则X1+2X2+X3的值是.

【解析】用“五点法”画出函数f(x)二

4sin(2%+—x£0>—的图象，如图

7127r,_z7Tn

因为函数的图象关于直线X二一和直线x二—对称,所以由题思得XI+X2=2X-,X2+X3=2X

6363

2n471〜577

—=—，所以XI+2X2+X3=—.

333

57r

答案：—

3

【补偿训练】

1

函数y=2sin兀x------(-2WxW4)的所有零点之和为.

l^x

11

【解析】函数y=2sin兀x-------(-2WxW4)的零点即方程2sin兀x-------的根,

l^xl^x

1

作函数y=2sin兀x与尸---的图象如图，由图可知共有8个公共点