北京市门头沟区2025届高三数学3月综合练习一模试题理含解析

PAGEPAGE19北京市门头沟区2025届高三数学3月综合练习（一模）试题理（含解析）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，则等于A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A，B，然后对集合A,B取交集即可.【详解】解：集合，，．故选：B．【点睛】本题考查交集的运算，属于简洁题．2.复数z满意，那么是A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：∵z∴z故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.一个体积为123A.63 B.8 C.8【答案】A【解析】试题分析：依题意可得三棱柱的底面是边长为4正三角形.又由体积为123.所以可得三棱柱的高为3.所以侧面积为6考点：1.三视图的学问.2.棱柱的体积公式.3.空间想象力.4.右图的程序框图，假如输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的推断框中，应当填入下面四个选项中的A.c＞x? B.x＞c? C.c＞b? D.b＞c?【答案】A【解析】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较x与b的大小，故其次个选择框的作用应当是比较x与c的大小，∵条件成立时，保存最大值的变量X=C故选A．5.已知向量a，b满意a=b=1，且其夹角为θ，则“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由向量夹角的概念和充要条件的定义进行推断即可.【详解】解：∵a=b(1)由a−b>∴cosθ<12；又0≤a−b>(2)由θ∈π3,π∴a2−a−b>综上得，“a−b>故选：C．【点睛】本题考查向量数量积的运算和向量夹角的概念，考查充分条件、必要条件及充要条件的概念，属于基础题．6.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论．【详解】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的判定可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；对于B，AB为上底面的对角线，明显AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；对于C，AB为前面的面对角线，明显AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为60∘则AB不垂直于平面MNQ．故选：D．【点睛】本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象实力和推理实力，属于基础题．7.某学须要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参与活动，其中甲社区须要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各须要选派1人则不同的选派方法的种数是A.18 B.24 C.36 D.【答案】D【解析】由题设可分两类：一是甲地只含有一名女生，先考虑甲地有C21C31种情形，后考虑乙、丙两地，有A32种情形，共有C21C8.若函数fx图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对A,B称为函数fx的“友好点对”且点对A,B与B,A可看作同一个“友好点对”若函数A.m≤(e−1)【答案】C【解析】【分析】求出当x≤0时fx关于原点对称的函数hx，条件转化为当x>【详解】解：当x≤0时，y=即y=−x设hx=−条件等价为当x>0时，hx则hx=−当x=e时，函数hx当x>0时，fx由f'x>0得x由f'x<0得0即当x=e时，函数fx作出当x>0时，hx要使两个图象恰好有两个不同的交点，则he>f即e2即m<故选：C．【点睛】本题考查函数与方程的应用，以及分段函数的图象，利用定义作出关于原点对称的函数，利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键综合性较强，考查学生的作图实力．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若x，y满意条件x+y−【答案】2【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】解：由x，y满意条件x+由z=x+由图可知，当直线y=−12x+1联立x+y−∴目标函数z=x+故答案为：2．【点睛】本题考查简洁线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算实力，属于基础题．10.双曲线C：2x【答案】y【解析】【分析】将双曲线化成标准方程，得到a、b值，即可得到所求渐近线方程．【详解】解：∵双曲线2x2∴a2=12，又∵双曲线x2a∴双曲线2x2故答案为：y【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题．11.等比数列{an}中，S3=21，【答案】3【解析】【分析】设等比数列an的公比为q【详解】解：设等比数列an的公比为q，∵S3∴a11解得a1数列an的通项公式a故答案为：3×【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，考查推理实力与计算实力，属于基础题．12.已知直线l的参数方程为x=ty=t−1(t为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ【答案】8【解析】【分析】利用直线参数方程中参数t的几何意义可得．【详解】解：由x=ty=t其参数方程的标准形式为：x=由ρsin2θ−4cosθ将直线的参数方程代入y2=4设A，B对应的参数为t1，t则t1+t所以AB=故答案为：8【点睛】本题考查极坐标方程与一般方程的互化，考查直线参数方程的应用，属中档题．13.已知x，y∈R+甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：甲：z乙：z①你认为甲、乙两人解法正确的是______．②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．【答案】①甲②见解析【解析】【分析】乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误，甲正确．【详解】解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；②已知x，y∈R+甲：z=乙：z=故答案为：甲．【点睛】利用基本不等式求最值时，要特殊留意“拆、拼、凑”等技巧，使其满意基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必需为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误，属中档题．14.一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动按逆时针方向)3圈，当水轮上点P从水中出现时起先计时，即从图中点P1当t=5秒时点2将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(【答案】(1).23+【解析】【分析】1利用直角三角形的边角关系，即可求出5秒后点P离开水面的距离；2由题意求ω值，结合t=0的状况可求出【详解】解：1)t=5在Rt△MOP在Rt△AON此时点AP离开水面的高度为22由题意可知，ω=设角φ(−π2<由条件得ht=4将t=0，h0∴φ∴所求函数的解析式为ht故答案为：1)23+【点睛】本题考查函数y=三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC(1)求(2)若△ABC的面积为3【答案】（1）60∘；（2）6【解析】【分析】1利用正弦定理，再进行三角恒等变换求cosB的值，从而求出B值；2由△AB【详解】解：1△AB由正弦定理可得2s整理可得2s又A为三角形内角，si所以co由B为三角形内角，可得B=2由△ABC的面积为3所以ac又a+由余弦定理得b2=a2+所以b=∴△AB【点睛】本题考查三角形的正弦、余弦定理和面积公式应用问题，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算实力，是中档题．16.在某区“创文明城区”简称“创城”活动中，教委对本区A，B，C，D四所中学校按各校人数分层抽样调查，将调查状况进行整理后制成如表：学校ABCD抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值假设每名中学学生是否参与“创城”活动是相互独立的．Ⅰ若该区共2000名中学学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；Ⅱ在随机抽查的100名中学学生中，从A，C两学校抽出的中学学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；Ⅲ若将表中的参与率视为概率，从A学校中学学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）800；（Ⅱ）1350【解析】【分析】Ⅰ由分层抽样性质估计A学校参与“创城”活动的人数．Ⅱ设事务A表示“抽取A校中学学生，且这名学生参与创城活动”，事务C表示“抽取C校中学学生，且这名学生参与创城活动”，则所求概率为：P=PAC+AC=PAP【详解】解：Ⅰ该区共2000名中学学生，由分层抽样性质估计A学校参与“创城”活动的人数为：2000×Ⅱ设事务A表示“抽取A校中学学生，且这名学生参与创城活动”，事务C表示“抽取C校中学学生，且这名学生参与创城活动”，则从A，C两学校抽出的中学学生中各随机抽取1名学生，恰有1人参与“创城”活动的概率：P=4Ⅲ将表中的参与率视为概率，从A学校中学学生中随机抽取3人，这3人参与“创城”活动人数X～PX=0PX=2∴X

X0

1

2

3

P

1

12

48

64∵X～B【点睛】本题考查频数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、相互独立事务概率乘法公式、分层抽样的性质等基础学问，考查运算求解实力，是中档题．17.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为6的菱形，且∠ABC=60∘，PA⊥Ⅰ求证：BDⅡ若AF(i)求PC与平面(ii)侧面PAD内是否存在过点E的一条直线，使得该直线上任一点M与C的连线，都满意CM//平面【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）i26【解析】【分析】I证明BD⊥平面PAC即可得出BD⊥CF；IIi建立空间坐标系，求出平面BDF的法向量n，计算n和CP【详解】I证明：∵PA⊥平面ABCD，B∴P∵四边形ABCD是菱形，∴A又PA∩AC=A，PA∴BD⊥又CF⊂平面∴BII解：i设AC，BD交于点O，以O为坐标原点，以OB，OC，平面ABCD过点O则B(33,0，0)，D(-33,0，0∴CP=0,-6,6，设平面BDF的法向量为n=(x,y，z)令y=2可得z=3，即n∴cos∴PC与平面BDF所成角的正弦值为|cii取PF的中点G，连接FG，CG∵E，G分别是PD，PF∴EG//DF，又EG∴EG/∵F，O分别是AG，AC∴OF//CG，又OF∴CG/又EG⊂平面CEG，CG⊂平面∴平面CEG/∴侧面PAD内存在过点E的一条直线EG，使得该直线上任一点M与C的连线，都满意CM//此直线被直线PA、PD所截线段为EG【点睛】本题考查线面垂直的判定和面面平行的判定与性质，考查利用空间向量求线面角，属于中档题．18.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，FⅠ求椭圆C的方程；Ⅱ在平面直角坐标系xOy中，已知点P(0,1)与点Q(0,2)，过P的动直线l(不与x轴平行与椭圆相交于A，B(i)Q，A(i【答案】（Ⅰ）x2【解析】【分析】Ⅰ由三角形的周长可得a=2，依据离心率可得c=2，即可求出b2=2，则椭圆方程可求；Ⅱ)i当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满意Q，A，B1三点共线当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，联立直线方程与椭圆方程，化为关于【详解】解：Ⅰ)∵△F2DE的周长为∵e=ca=故椭圆C的方程为xⅡ)i证明：当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满意Q，A，B当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=联立y=kx设Ax1,y1x1+xQA=x∵=−∴QA与QB1共线，则Q，ii由i可知Q，A，B∴【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础学问，考查推理论证实力、运算求解实力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，留意解题方法的积累，属于中档题．19.已知f(x)=aⅠ求实数a的值；Ⅱ设g(i)若函数g(x)(ii)当b【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）(i)1；【解析】【分析】Ⅰ求函数fx的导数f'x，计算x=0时的导数即可求出a的值；Ⅱ)i求gx的导数g'x，探讨当b≤1和b>1时gx的单调性，由单调性推断最值即可得到b的最大值；ii【详解】解：Ⅰ函数fx=a由题意知x=0时，f'0=Ⅱ)i所以g'当x∈0,+∞时，若b≤1，则e当x∈0,+∞时，若b>1所以gx在0,lnb所以b的最大值为1；iigx=x设hx=e当b=0时，hx无零点，所以g当b<0时，h'x>又h0=1由零点存在性定理可知，hx在−∞,所以gx有2综上所述，b=0时，gx只有一个零点，b<0【点睛】本题考查利用导数探讨函数的单调性问题，也考查利用导数探讨函数在某一点处的切线问题，以及推断函数零点的应用问题，是中档题．20.给定数列{an}，若满意a1=a(a>0且Ⅰ已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为anⅡ若数列{an}满意：a1=Ⅲ若数列