高考数学 过关检测1 新人教A版选修4-1

【创新设计】届高考数学过关检测1新人教A版选修4-1(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若三角形的三条边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21cm，则其余两边的长度之和为()．A．24cmB．21cmC．19cmD．9cm解析设其余两边的长度分别为xcm，ycm，则eq\f(21,7k)＝eq\f(x,5k)＝eq\f(y,3k)，解得x＝15cm，y＝9cm.故x＋y＝24cm.答案A2．如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，且eq\f(AD,DB)＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是()．A.eq\f(2,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(4,5)D.eq\f(4,9)解析eq\f(AD,DB)＝2，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，故eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(4,9)，∴S△ADE∶S四边形DBCE＝4∶5.答案C3．如图所示，P、Q分别在BC和AC上，BP∶CP＝2∶5，CQ∶QA＝3∶4，则eq\f(AR,RP)等于()．A．3∶14 B．14∶3C．17∶3 D．17∶14解析过Q点作QM∥AP交BC于M，则eq\f(CM,MP)＝eq\f(CQ,QA)＝eq\f(3,4)，又∵eq\f(BP,PC)＝eq\f(2,5)，∴eq\f(BP,PM)＝eq\f(7,10).又eq\f(RP,QM)＝eq\f(BP,BM)＝eq\f(7,17)，eq\f(QM,AP)＝eq\f(CQ,AC)＝eq\f(3,7)，∴eq\f(RP,AP)＝eq\f(3,17)，∴eq\f(AR,RP)＝eq\f(14,3).答案B4．如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,3)，AE＝BE，则有()．A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD解析注意到∠A＝∠C＝60°，可设AD＝a，则AC＝3a，而AB＝AC＝BC＝3a，所以AE＝BE＝eq\f(3,2)a，所以eq\f(AD,AE)＝eq\f(a,\f(3,2)a)＝eq\f(2,3)，又eq\f(CD,BC)＝eq\f(2a,3a)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(AD,AE)＝eq\f(CD,CB)，∠A＝∠C＝60°，故△AED∽△CBD.答案B5．如图所示，在▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2，若S△AEF＝6cm2，则S△CDF为()．A．54cm2 B．24cm2C．18cm2 D．12cm2解析∵△AEF∽△CDF，∴eq\f(S△AEF,S△CDF)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AE,CD)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AE,AB)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(1,9).∴S△CDF＝9S△AEF＝54cm2.答案A6．如图所示，梯形ABCD的对角线交于点O，则下列四个结论：①△AOB∽△COD；②△AOD∽△ACB；③S△DOC∶S△AOD＝CD∶AB；④S△AOD＝S△BOC.其中正确的个数为()．A．1B．2C解析∵DC∥AB，∴△AOB∽△COD，①正确．由①知，eq\f(DC,AB)＝eq\f(OC,OA).利用三角形的面积公式可知S△DOC∶S△AOD＝OC∶OA＝CD∶AB，③正确．∵S△ADC＝S△BCD∴S△ADC－S△COD＝S△BCD－S△COD，∴S△AOD＝S△BOC，④正确．故①③④都正确．答案C7．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，若AB＝14，AC＝19，则MN的长为()．A．2 B．2.5C．3 D．3.5解析延长BN交AC于D，则△ABD为等腰三角形，∴AD＝AB＝14，∴CD＝5.又M、N分别是BC、BD的中点，故MN＝eq\f(1,2)CD＝2.5.答案B8．如图所示，在▱ABCD中，E为CD上一点，DE∶CE＝2∶3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于()．A．4∶10∶25 B．4∶9∶25C．2∶3∶5 D．2∶5∶25解析因为AB∥CD，所以△ABF∽△EDF，所以eq\f(DE,AB)＝eq\f(DF,FB)＝eq\f(2,5)，所以eq\f(S△DEF,S△ABF)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2＝eq\f(4,25)，又△DEF与△BEF等高，所以eq\f(S△DEF,S△EBF)＝eq\f(DF,FB)＝eq\f(2,5)＝eq\f(4,10).故S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝4∶10∶25.答案A9．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：(1)∠B＋∠DAC＝90°；(2)∠B＝∠DAC；(3)eq\f(CD,AD)＝eq\f(AC,AB)；(4)AB2＝BD·BC.其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有()．A．3个B．2个C．1个D．0个解析验证法：(1)不能判定△ABC为直角三角形，因为∠B＋∠DAC＝90°，而∠B＋∠DAB＝90°，∴∠BAD＝∠DAC，同理∠B＝∠C不能判定∠BAD＋∠DAC＝90°；而(2)中∠B＝∠DAC，∠C为公共角，∴△ABC∽△DAC，∵△DAC为直角三角形，∴△ABC为直角三角形；在(3)中，eq\f(CD,AD)＝eq\f(AC,AB)可得△ACD∽△BAD，所以∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC，∴∠BAD＋∠DAC＝90°；而(4)中AB2＝BD·BC，即eq\f(BD,AB)＝eq\f(AB,BC)，∠B为公共角，∴△ABC∽△DBA，即△ABC为直角三角形．∴正确命题有3个．答案A10．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3.如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有()．A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析假设有一点P，设AP＝x，则PB＝7－x.(1)若△PAD∽△PBC，则eq\f(PA,AD)＝eq\f(PB,BC)，即eq\f(x,2)＝eq\f(7－x,3)，得x＝eq\f(14,5)<7，符合条件．(2)若△PAD∽△CBP，即eq\f(x,2)＝eq\f(3,7－x)，x2－7x＋6＝0，解得x1＝1，x2＝6也符合条件，故满足条件的点P有3个．答案C二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，把正确答案填在题中横线上)11．如图所示，设l1∥l2∥l3，AB∶BC＝3∶2，DF＝20，则DE＝________.解析EF∶DE＝AB∶BC＝3∶2，∴eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，又DF＝20，∴DE＝8.答案812．如图，在△ABC中，M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________．解析∵MN是△ABC的中位线，∴△MON∽△COA，且eq\f(MN,AC)＝eq\f(1,2)，∴S△MON∶S△COA＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)13．在△ABC中，D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，若DE＝4，则BC＝________.解析∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DE∶BC＝AD∶AB＝1∶2.∴BC＝2DE＝8.答案814．若两个相似三角形的对应高的比为2∶3，且周长的和为50cm，则这两个相似三角形的周长分别为________．解析设较大的三角形的周长为xcm，则较小的三角形的周长为(50－x)cm.由题意，得eq\f(50－x,x)＝eq\f(2,3)，解得x＝30,50－x＝50－30＝20.答案20cm,30cm15．如图，在△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于点F，则eq\f(EF,FC)＋eq\f(AF,FD)的值为________．解析过D作DG∥CE交AB于G，则eq\f(BG,GE)＝eq\f(BD,DC)＝eq\f(2,1)，又∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,3)，∴AE＝EG.∴eq\f(AF,FD)＝eq\f(AE,EG)＝1.又∵eq\f(DG,CE)＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(2,3)，EF＝eq\f(1,2)DG，∴eq\f(EF,CE)＝eq\f(1,3).∴eq\f(EF,FC)＝eq\f(1,2).∴eq\f(EF,FC)＋eq\f(AF,FD)＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)16．在四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2eq\r(3)，AD＝2，则四边形ABCD的面积是______．解析因∠B＝∠D＝90°，于是设想构造直角三角形，延长BA与CD的延长线交于E，则得到Rt△BCE和Rt△ADE，由题目条件知，△ADE为等腰直角三角形，所以DE＝AD＝2，所以S△ADE＝eq\f(1,2)×2×2＝2.又可证Rt△EBC∽Rt△EDA，所以eq\f(S△EBC,S△EDA)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,AD)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＝3.∴S△EBC＝3S△EDA，∴S四边形ABCD＝S△EBC－S△ADE＝4.答案4三、解答题(本大题共5小题，共56分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知：如图所示，AB∥CD，OD2＝OB·OE.求证：AD∥CE.证明∵AB∥CD，∴eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).∵OD2＝OB·OE，∴eq\f(OB,OD)＝eq\f(OD,OE).∴eq\f(OA,OC)＝eq\f(OD,OE).∴AD∥CE.18．(10分)如图，已知BE∥CF∥DG，AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，CF＝12cm，求BE，DG的长．解∵BE∥CF，∴eq\f(BE,CF)＝eq\f(AE,AF)，∵AB∶BC＝1∶2，∴AE∶AF＝1∶3.∵CF＝12cm，∴BE＝12×eq\f(1,3)＝4(cm)．∵CF∥DG，∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(CF,DG).又∵AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(1,2).∴DG＝eq\f(AD,AC)·CF＝24(cm)．19．(12分)如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.(1)求证：△ADB∽△EAC；(2)若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．(1)证明∵AB2＝DB·CE，AB＝AC，∴eq\f(AB,CE)＝eq\f(DB,AC).∵∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE.∴△ADB∽△EAC.(2)解∵△ADB∽△EAC，∴∠DAB＝∠E.∴△ADB∽△EDA.∴∠DAE＝∠ABD.∴∠ABC＝eq\f(180°－40°,2)＝70°，∴∠DAE＝∠ABD＝180°－70°＝110°.20．(12分)如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝8，BD＝7，求DC的长．解∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA.∴eq\f(AD,BA)＝eq\f(CD,CA)＝eq\f(AC,BC).∴AC＝eq\f(AB·CD,AD)，AC＝eq\f(AD·BC,AB).∴eq\f(AB·CD,AD)＝eq\f(AD·BC,AB).设CD＝x，则eq\f(8x,6)＝eq\f(6x＋7,8)，解得x＝9.故DC＝9.21．(12分)如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝eq\f(10,3)，连接DE交BC于点F，AC＝4，BC＝3.求证：(1)△ABC∽△EDC；(2)DF＝EF.证明(1