2022-2023学年福建省福州市金山中学数学高三上期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（）A． B． C． D．2．将一块边长为的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为，则的值为（）A．6 B．8 C．10 D．123．i是虚数单位，若，则乘积的值是()A．－15 B．－3 C．3 D．154．已知正四面体的棱长为，是该正四面体外接球球心，且，，则（）A． B．C． D．5．直线x-3y+3=0经过椭圆x2a2+y2bA．3-1 B．3-12 C．6．记递增数列的前项和为.若，，且对中的任意两项与（），其和，或其积，或其商仍是该数列中的项，则（）A． B．C． D．7．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，则的最小值为（）A． B． C． D．8．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A． B． C． D．9．若复数满足，则的虚部为（）A．5 B． C． D．-510．已知向量，，当时，（）A． B． C． D．11．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为（）A． B． C． D．12．已知等差数列中，，，则数列的前10项和（）A．100 B．210 C．380 D．400二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若随机变量的分布列如表所示，则______，______．-10114．设，满足约束条件，若的最大值是10，则________.15．已知，，则与的夹角为.16．设，则除以的余数是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围.18．（12分）已知函数（1）若，不等式的解集；（2）若，求实数的取值范围.19．（12分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）.（1）应抽查男生与女生各多少人？（2）根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：时间（小时）[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]频率0.050.200.300.250.150.05若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？男生女生总计每周平均体育锻炼时间不超过2小时每周平均体育锻炼时间超过2小时总计附：K2.P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87920．（12分）已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）求；（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.21．（12分）设（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.22．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，说明理由.设正数等比数列的前项和为，是等差数列，__________，，，，是否存在正整数，使得成立？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积．【详解】如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即＝60°，由底面边长为3得，∴．正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，则由得，解得，∴．故选：D．【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．2、D【解析】

推导出，且，，，设中点为，则平面，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值．【详解】解：如图（4），为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，，且，由为等腰直角三角形可知，，设中点为，则平面，∴，∴，解得.故选：D【点睛】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.3、B【解析】，∴，选B．4、A【解析】

如图设平面，球心在上，根据正四面体的性质可得，根据平面向量的加法的几何意义，重心的性质，结合已知求出的值.【详解】如图设平面，球心在上，由正四面体的性质可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，，，，，，因为为重心，因此，则，因此，因此，则，故选A.【点睛】本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题.5、A【解析】

由直线x-3y+3=0过椭圆的左焦点F，得到左焦点为再由FC=2CA，求得A3【详解】由题意，直线x-3y+3=0经过椭圆的左焦点F，令所以c=3，即椭圆的左焦点为F(-3,0)直线交y轴于C(0,1)，所以，OF=因为FC=2CA，所以FA=3又由点A在椭圆上，得3a由①②，可得4a2-24所以e2所以椭圆的离心率为e=3故选A.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程，即可得6、D【解析】

由题意可得，从而得到，再由就可以得出其它各项的值，进而判断出的范围．【详解】解：，或其积，或其商仍是该数列中的项，或者或者是该数列中的项，又数列是递增数列，，，，只有是该数列中的项，同理可以得到，，，也是该数列中的项，且有，，或（舍，，根据，，，同理易得，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．7、B【解析】

根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可．【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到，此时与函数的图象重合，则，即，，当时，取得最小值为，故选：．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键．8、A【解析】

由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.【详解】对于选项B,为奇函数可判断B错误;对于选项C,当时,,可判断C错误;对于选项D,,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;故选:A.【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.9、C【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虚部为．故选C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10、A【解析】

根据向量的坐标运算，求出，，即可求解.【详解】，.故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.11、C【解析】

根据等差数列的性质设出，，，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得.再利用勾股定理建立的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知，，成等差数列，设，，.由于，据勾股定理有，即，化简得；由椭圆定义知的周长为，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，，∴离心率.故选：C【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.12、B【解析】

设公差为，由已知可得，进而求出的通项公式，即可求解.【详解】设公差为，，，,.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前项和，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

首先求得a的值，然后利用均值的性质计算均值，最后求得的值，由方差的性质计算的值即可.【详解】由题意可知，解得（舍去）或.则，则，由方差的计算性质得.【点睛】本题主要考查分布列的性质，均值的计算公式，方差的计算公式，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14、【解析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果.【详解】画出不等式组表示的平面区域如下所示：目标函数可转化为与直线平行，数形结合可知当且仅当目标函数过点，取得最大值，故可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查由目标函数的最值求参数值，属基础题.15、【解析】

根据已知条件，去括号得：，16、1【解析】

利用二项式定理得到，将89写成1+88，然后再利用二项式定理展开即可.【详解】，因展开式中后面10项均有88这个因式，所以除以的余数为1.故答案为：1【点睛】本题考查二项式定理的综合应用，涉及余数的问题，解决此类问题的关键是灵活构造二项式，并将它展开分析，本题是一道基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2).【解析】

分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．详解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．18、（1）（2）【解析】

（1）依题意可得，再用零点分段法分类讨论可得；（2）依题意可得对恒成立，根据绝对值的几何意义将绝对值去掉，分别求出解集，则两解集的并集为，得到不等式即可解得；【详解】解：（1）若，，则，即，当时，原不等式等价于，解得当时，原不等式等价于，解得，所以；当时，原不等式等价于，解得；综上，原不等式的解集为；（2）即，得或，由解得，由解得，要使得的解集为，则解得，故的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．19、（1）男生人数为人，女生人数55人.（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.【解析】

（1）求出男女比例，按比例分配即可；（2）根据题意结合频率分布表，先求出二联表中数值，再结合公式计算，利用表格数据对比判断即可【详解】（1）因为男生人数：女生人数＝900：1100＝9：11，所以男生人数为，女生人数100﹣45＝55人，（2）由频率频率直方图可知学生每周平均体育锻炼时间超过2小时的人数为：（1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05）×100＝75人，每周平均体育锻炼时间超过2小时的女生人数为37人，联表如下：男生女生总计每周平均体育锻炼时间不超过2小时71825每周平均体育锻炼时间超过2小时383775总计4555100因为3.892＞3.841，所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.【点睛】本题考查分层抽样，独立性检验，熟记公式，正确计算是关键，属于中档题.20、（1）；（2）；（3）存在，1.【解析】

（1）利用基本量法直接计算即可；（2）利用错位相减法计算；（3），令可得，，讨论即可.【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，因为，所以，即，解得，或（舍去）.所以.（2），，所以，所以.（3）由（1）可得，，所以.因为是数列或中的一项，所以，所以，因为，所以，又，则或.当时，有，即，令.则.当时，；当时，，即.由，知无整数解.当时,有，即存在使得是数列中的第2项，故存在正整数，使得是数列中的项.【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.21、（1）（2）【解析】

(1)通过讨论的范围,得到关于的不等式组,解出取并集即可.(2)去绝对值将函数写成分段函数形式讨论分段函数的单调性由恒成立求得结果.【详解】解：（1）当时，，即或或解之得或，即不等式的解集为.（2）由题意得：当时为减函数，显然恒成立.当时，为增函数，，当时，为减函数，综上所述：使恒成立的的取值范围为.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查不等式恒成立问题中求解参数问题,考查分类讨论思想,转化思想,属于中档题.22、见解析