必修一第一章第2节2.1（2）充要条件学历案教师版

第一章预备知识§1集合【学习主题】必要条件、充分条件与充要条件习题课【课时安排】：1个课时【学习目标】1、巩固必要条件、充分条件的意义和判断方法,加深概念的理解。2、学会判断、证明充要条件，体会当且仅当与充要条件的关系。3、初步了解充要条件与数学定义的关系，了解充要条件等价转化的作用。4、学会根据充分条件、必要条件的逻辑关系，求参数的取值范围【学习重难点】1、初步了解充要条件与数学定义的关系，了解充要条件等价转化的作用。2、学会根据充分条件、必要条件的逻辑关系，求参数的取值范围【学情分析】新教材的教学要求是理解掌握充分条件、必要条件的意义。从学生的角度看，学生在学习充分条件、必要条件概念时知识储备不够丰富，逻辑思维训练不足，所以在学习应用的时候，不能一下拔得太高，要循序渐进，逐渐深化，使学生不断理解，结构逐渐完善，从而能力不断提升。【学法建议】1.注重分析条件与结论之间的推出关系，理解必要条件、充分条件2.对与部分命题，要会通过集合之间的包含关系来帮助自己理解、判断必要条件和充分条件。3.在判断、论证充要条件时，注意推出的方向，即准确判断条件和结论。4．在思考含参的不等式有解与恒成立时，与函数图像、函数最值结合。【学习过程】一旧知回顾，探索应用一旧知回顾，探索应用1.充分条件与必要条件的定义命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件注：以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；是等价的．2.充分条件，必要条件的判断步骤①分清命题的条件和结论，转化为命题的基本结构：“若p，则q”形式；②判断命题“若p，则q”的真假；③根据定义得出结论，在“若p，则q”是真命题的前提下，称q是p的必要条件,p是q的充分条件④除了用判断命题的真假判断充分条件之外，还可以用集合关系来判断必要条件3．用集合关系来判断充分条件．对于命题“若p，则q”，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，q是p的充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p是q的既不充分也不必要条件4.充分条件必要条件分类结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p与q互为充要条件p是q的既不充分也不必要条件p,q的关系p⇒q，且q⇏pp⇒q且p⇏qp⇔qp⇏q集合A⫋BB⫋AA=BAB且BA5.充分条件必要条件传递性传递性:

“⇒”和“⇔”都具有传递性,即果p⇒q,q⇒s,则p⇒s;②如果p⇔q，q⇔s,则p⇔s;若问题中出现若干个条件和结论,应先根据条件画出相应的“推式图”,再根据图中推式的传递性判断二课中学习，合作探究二课中学习，合作探究任务一：充分条件、必要条件的判定[例1]分别指出,在如图所示电路中,闭合开关A是灯泡B亮的什么条件?[解析]如图(1)闭合开关A或闭合开关C,都可使灯泡B亮.反之,若要灯泡B亮,不一定非要闭合开关A因此,闭合开关A是灯泡B亮的充分但不必要条件;如图(2),闭合开关A而不闭合开关C,灯泡B不亮反之,若要灯泡B亮,开关A必须闭合,说明闭合开关A是灯泡B亮的必要但不充分条件;如图(3),闭合开关A可使灯泡B亮,而灯泡B亮,开关A一定是闭合的,因此,开关A闭合是灯泡B亮的充要条件;如图(4),闭合开关A但不闭合开关C,灯泡B不亮反之,灯泡B亮也不必闭合开关A,只要闭合开关C即可说明闭合开关A是灯泡B亮的既不充分也不必要条件.【课堂活动】小组合作讨论，会用充分条件，必要条件解决问题，讨论2分钟时间【课堂展示】请各小组代表回答：【教师点拨】分清条件和结论，找出其推理关系，下结论。反思与感悟探求开关A与灯泡B逻辑关系，可以利用定义法进行探求，【课堂评价1】.用“充分不必要”“必要不充分”充要”“既不充分也不必要”填空(1)“x=1”是“|x|=1”的条件.(2)“x≠1”是“|x|≠1”的条件(3)“x≠1”是“x2+2x3≠0”的条件(4)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的条件(5)“x>1”是“x2>1”的条件.(6)“x>1”是“x3>1”的条件.(7)“x>1”是“1x<1”的(8)“x<1”是“1x>1”的答案（1）充分不必要（2）必要不充分（3）必要不充分（4）充分不必要（5）充分不必要（6）充要（7）充分不必要（8）既不不充分也不必要【课堂活动与展示】由一组给出答案，其他组补充【课堂评价2】：若p是r的充分不必要条件,r是q的必要条件,r是s的充分条件,q是s的必要条件,则下列命题正确的序号有.②⑥①p是q的充要条件②p是q的充分条件而不是必要条件;③r是q的必要而不是充分条件;④p是s的必要条件而不是充分条件⑤r是s的充分条件而不是必要条件⑥r是p的必要条件而不是充分条件【课堂活动与展示】由一组给出答案，其他组补充【反思总结】充分条件、必要条件的判定的方法有：定义法、集合法、等价转化法、传递法问题1请用充分条件或必要条件的语言表述勾股定理及其逆定理勾股定理如果一个三角形为直角三角形那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的逆定理如果一个三角形的一边的平方等于其他两边的平方和那么这条边所对的角是直角在勾股定理中,“两直角边的平方和等于斜边的平方”是“三角形为直角三角形”的必要条件;“三角形为直角三角形”是“两直角边的平方和等于斜边的平方”的充分条件勾股定理刻画了直角形的性质定理在勾股定理的逆定理中,“三角形的一个角是直角”是“三角形的直角所对的边的平方等于其他两边的平方和”的必要条件;“三角形的一边的平方等于其他两边的平方和”是“这条边所对的角是直角”的充分条件勾股定理的逆定理刻画了直角形的判定定理定理问题2：请同学们对直角三角形下一个定义并说明数学定义体现了怎样的数学逻辑(1)有一个角是直角的三角形称为直角三角形（2）三角形的一边的平方等于其他两边的平方和的三角形称为直角三角形（3）三角形一边上的中线等于该边长的一半的三角形称为直角三角形……数学定义给出了数学对象成立的充要条件问题3：请问下列两种说法一样吗？（1）有一个角是直角的三角形称为直角三角形（2）有一个角是直角的三角形是直角三角形答：不一样，（1）是直角三角形的定义；（2）是直角三角形的判定定理问题4：数学定义与判定定理、性质定理的区别和联系是什么答：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．充要条件定义：一般地,如果p⇒q,且q⇒p那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q,p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件我们常用“当且仅当”来表达充要条件．p是q的充要条件也可以说成：q成立当且仅当p成立．【课堂活动】小组合作学习，讨论数学定义与充要条件的关系，讨论4分钟时间【课堂展示】请各小组代表回答：【教师点拨】数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．【学习任务3】：充要条件的应用例4.设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝.解析由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N＋，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.反思与感悟先寻找必要条件,然后在必要条件的范围内，通过检验，寻找使之成立的所有的充分条件,即从充分性和必要性两方面找出充要条件【课堂活动】小组合作学习，一元二次方程有无实根与判别式的关系，讨论2分钟时间【课堂展示】请各小组代表回答：【教师点拨】先寻找必要条件,然后在必要条件的范围内，通过检验，寻找使之成立的所有的充分条件,即从充分性和必要性两方面找出充要条件【课堂评价4】已知方程x2+(2k1)x+k2=0,求使方程有两个正实数根的充要条件.解:方程x2+(2k1)x+k2=0有两个正实数根等价于Δ=(2k−1)2−4k以上过程每一步都是等价的,因此所求充要条件为k≤14,且k≠0【课堂活动与展示】由一组给出答案，其他组补充【反思总结】寻求q的充要条件有两种方法(1)等价转化法:将原命题进行等价转化,直至获得其成立的充要条件,其中求解的过程也是证明的过程,因为过程的每一步都是等价的,所以不需要将充分性和必要性分开来证.(2)非等价转化法:先寻找必要条件,再证明充分性,即从必要性和充分性两方面说明.【课堂评价4】求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.考点充要条件的概念及判断题点充要条件的证明析：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.包括2个方面一方面证明充分性，即证一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充分条件是ac<0.即证ac<0⇒一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根另一方面证明必要性，即证一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的必要条件是ac<0.即证一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根⇒ac<0证明充分性：∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，∴方程一定有两个不等实根，设两实根为x1，x2，则x1x2＝eq\f(c,a)<0，∴方程的两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝eq\f(c,a)<0，且Δ＝b2－4ac>0，即ac<0.综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.反思与感悟一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时，应以q为“已知条件”，p是要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时，则是以p为“已知条件”，q是要证明的“结论”，即p⇒q.【学习任务4】（1）已知a>0,设p：a≤x≤3a,q:2≤x≤6,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是（C）（2）已知a>0,设p：a≤x≤3a,q:3≤x≤6,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是（D）（3）已知a>0,设p：a≤x≤3a,q:2≤x≤6,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是（A）A.(2,+)B.[2,+C.(0,2)D.(0,2]【课堂活动】小组合作学习，充分条件，必要条件与集合的包含关系，讨论6分钟时间【课堂展示】请各小组代表回答：【教师点拨】满足条件p构成的集合与满足条件q构成的集合之间的包含关系。【课堂评价5】已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的（）充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析∵“a>0且b>0”⇒a+b>0且ab>0,反之,a+b>0且ab>0⇒a>0且b>0故选C【课堂评价6】练习4关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是（）A.0<a≤lBa<1C.a≤1D0<a≤1或a<0解①当a＝0时，x＝－eq\f(1,2)，符合题意．②当a≠0时，显然方程没有零根．若方程有两个异号实根，则a<0.若方程有两个负的实根，则必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>0，,－\f(2,a)<0，,Δ＝4－4a≥0，))解得0<a≤1.综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤