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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分,则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本,则这两个样本不变的数字特征是()A.方差 B.中位数 C.众数 D.平均数2.若为虚数单位,网格纸上小正方形的边长为1,图中复平面内点表示复数,则表示复数的点是()A.E B.F C.G D.H3.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()A. B.6 C. D.4.若集合,则()A. B.C. D.5.数列满足:,则数列前项的和为A. B. C. D.6.已知,若对任意,关于x的不等式(e为自然对数的底数)至少有2个正整数解,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.7.已知F是双曲线(k为常数)的一个焦点,则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为()A.2k B.4k C.4 D.28.设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为()A. B. C. D.9.如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为176,320,则输出的a为()A.16 B.18 C.20 D.1510.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成.某班级从名男生,,和名女生,,中各随机选出两名,把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛,则和两人组成一队参加比赛的概率为()A. B. C. D.11.下图是民航部门统计的某年春运期间,六个城市售出的往返机票的平均价格(单位元),以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图,以下叙述不正确的是()A.深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B.天津的往返机票平均价格变化最大C.上海和广州的往返机票平均价格基本相当D.相比于上一年同期,其中四个城市的往返机票平均价格在增加12.《易经》包含着很多哲理,在信息学、天文学中都有广泛的应用,《易经》的博大精深,对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田,图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为,阴阳太极图的半径为,则每块八卦田的面积约为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.的展开式中的系数为__________(用具体数据作答).14.如图所示的流程图中,输出的值为______.15.在平面直角坐标系中,点P在直线上,过点P作圆C:的一条切线,切点为T.若,则的长是______.16.如图,某市一学校位于该市火车站北偏东方向,且,已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路,CE,DF及圆弧都是学校道路,其中,,以学校为圆心,半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济,其中分别在公路上,且与圆弧相切,设,的面积为.(1)求关于的函数解析式;(2)当为何值时,面积为最小,政府投资最低?三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性并指出相应单调区间;(2)若,设是函数的两个极值点,若,且恒成立,求实数k的取值范围.18.(12分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,且过点.求椭圆的方程;已知是椭圆的内接三角形,①若点为椭圆的上顶点,原点为的垂心,求线段的长;②若原点为的重心,求原点到直线距离的最小值.19.(12分)某保险公司给年龄在岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险,现从名参保人员中随机抽取名作为样本进行分析,按年龄段分成了五组,其频率分布直方图如下图所示;参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示.据统计,该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.年龄(单位:岁)保费(单位:元)(1)用样本的频率分布估计总体分布,为使公司不亏本,求精确到整数时的最小值;(2)经调查,年龄在之间的老人每人中有人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为元,如果参保,保险公司补贴治疗费元.某老人年龄岁,若购买该项保险(取中的).针对此疾病所支付的费用为元;若没有购买该项保险,针对此疾病所支付的费用为元.试比较和的期望值大小,并判断该老人购买此项保险是否划算?20.(12分)设前项积为的数列,(为常数),且是等差数列.(I)求的值及数列的通项公式;(Ⅱ)设是数列的前项和,且,求的最小值.21.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,∠BAD=60°,AB=PA=4,E是PA的中点,AC,BD交于点O.(1)求证:OE∥平面PBC;(2)求三棱锥E﹣PBD的体积.22.(10分)已知正实数满足.(1)求的最小值.(2)证明:
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
通过方差公式分析可知方差没有改变,中位数、众数和平均数都发生了改变.【详解】由题可知,中位数和众数、平均数都有变化.本次和上次的月考成绩相比,成绩和平均数都增加了50,所以没有改变,根据方差公式可知方差不变.故选:A【点睛】本题主要考查样本的数字特征,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2、C【解析】
由于在复平面内点的坐标为,所以,然后将代入化简后可找到其对应的点.【详解】由,所以,对应点.故选:C【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系,复数的运算,属于基础题.3、D【解析】
用列举法,通过循环过程直接得出与的值,得到时退出循环,即可求得.【详解】执行程序框图,可得,,满足条件,,,满足条件,,,满足条件,,,由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出S的值为.故选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易.4、A【解析】
先确定集合中的元素,然后由交集定义求解.【详解】,.故选:A.【点睛】本题考查求集合的交集运算,掌握交集定义是解题关键.5、A【解析】分析:通过对an﹣an+1=2anan+1变形可知,进而可知,利用裂项相消法求和即可.详解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴数列前项的和为,故选A.点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.6、B【解析】
构造函数(),求导可得在上单调递增,则,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知,要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果.【详解】构造函数(),则(),所以在上单调递增,所以,故问题转化为至少存在两个正整数x,使得成立,设,,则,当时,单调递增;当时,单调递增.,整理得.故选:B.【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.7、D【解析】
分析可得,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.【详解】当时,等式不是双曲线的方程;当时,,可化为,可得虚半轴长,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.故选:D【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.8、B【解析】
由圆过原点,知中有一点与原点重合,作出图形,由,,得,从而直线倾斜角为,写出点坐标,代入抛物线方程求出参数,可得点坐标,从而得三角形面积.【详解】由题意圆过原点,所以原点是圆与抛物线的一个交点,不妨设为,如图,由于,,∴,∴,,∴点坐标为,代入抛物线方程得,,∴,.故选:B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题,解题关键是发现原点是其中一个交点,从而是等腰直角三角形,于是可得点坐标,问题可解,如果仅从方程组角度研究两曲线交点,恐怕难度会大大增加,甚至没法求解.9、A【解析】
根据题意可知最后计算的结果为的最大公约数.【详解】输入的a,b分别为,,根据流程图可知最后计算的结果为的最大公约数,按流程图计算,,,,,,,易得176和320的最大公约数为16,故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.10、B【解析】
根据组合知识,计算出选出的人分成两队混合双打的总数为,然后计算和分在一组的数目为,最后简单计算,可得结果.【详解】由题可知:分别从3名男生、3名女生中选2人:将选中2名女生平均分为两组:将选中2名男生平均分为两组:则选出的人分成两队混合双打的总数为:和分在一组的数目为所以所求的概率为故选:B【点睛】本题考查排列组合的综合应用,对平均分组的问题要掌握公式,比如:平均分成组,则要除以,即,审清题意,细心计算,考验分析能力,属中档题.11、D【解析】
根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析,由此得出叙述不正确的选项.【详解】对于A选项,根据折线图可知深圳的变化幅度最小,根据条形图可知北京的平均价格最高,所以A选项叙述正确.对于B选项,根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大,所以B选项叙述正确.对于C选项,根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当,所以C选项叙述正确.对于D选项,根据折线图可知相比于上一年同期,除了深圳外,另外五个城市的往返机票平均价格在增加,故D选项叙述错误.故选:D【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析,属于基础题.12、B【解析】
由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积,再计算出圆面积的,两面积作差即可求解.【详解】由图,正八边形分割成个等腰三角形,顶角为,设三角形的腰为,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面积为:,所以每块八卦田的面积约为:.故选:B【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式,需熟记定理与面积公式,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
利用二项展开式的通项公式可求的系数.【详解】的展开式的通项公式为,令,故,故的系数为.故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数,注意利用通项公式来计算,本题属于容易题.14、4【解析】
根据流程图依次运行直到,结束循环,输出n,得出结果.【详解】由题:,,,结束循环,输出.故答案为:4【点睛】此题考查根据程序框图运行结果求输出值,关键在于准确识别循环结构和判断框语句.15、【解析】
作出图像,设点,根据已知可得,,且,可解出,计算即得.【详解】如图,设,圆心坐标为,可得,,,,,解得,,即的长是.故答案为:【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,以及求平面两点间的距离,运用了数形结合的思想.16、(1);(2).【解析】
(1)以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则,在中,设,又,故,,进而表示直线的方程,由直线与圆相切构建关系化简整理得,即可表示OA,OB,最后由三角形面积公式表示面积即可;(2)令,则,由辅助角公式和三角函数值域可求得t的取值范围,进而对原面积的函数用含t的表达式换元,再令进行换元,并构建新的函数,由二次函数性质即可求得最小值.【详解】解:(1)以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则,在中,设,又,故,.所以直线的方程为,即.因为直线与圆相切,所以.因为点在直线的上方,所以,所以式可化为,解得.所以,.所以面积为.(2)令,则,且,所以,.令,,所以在上单调递减.所以,当,即时,取得最大值,取最小值.答:当时,面积为最小,政府投资最低.【点睛】本题考查三角函数的实际应用,应优先结合实际建立合适的数学模型,再按模型求最值,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)答案见解析(2)【解析】
(1)先对函数进行求导得,对分成和两种情况讨论,从而得到相应的单调区间;(2)对函数求导得,从而有,,,三个方程中利用得到.将不等式的左边转化成关于的函数,再构造新函数利用导数研究函数的最小值,从而得到的取值范围.【详解】解:(1)由,,则,当时,则,故在上单调递减;当时,令,所以在上单调递减,在上单调递增.综上所述:当时,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增.(2)∵,,由得,∴,,∴∵∴解得.∴.设,则,∴在上单调递减;当时,.∴,即所求的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值,考查分类讨论思想和数形结合思想,求解双元问题的常用思路是:通过换元或消元,将双元问题转化为单元问题,然后利用导数研究单变量函数的性质.18、;①;②.【解析】
根据题意列出方程组求解即可;①由原点为的垂心可得,轴,设,则,,根据求出线段的长;②设中点为,直线与椭圆交于,两点,为的重心,则,设:,,,则,当斜率不存在时,则到直线的距离为1,,由,则,,,得出,根据求解即可.【详解】解:设焦距为,由题意知:,因此,椭圆的方程为:;①由题意知:,故轴,设,则,,,解得:或,,不重合,故,,故;②设中点为,直线与椭圆交于,两点,为的重心,则,当斜率不存在时,则到直线的距离为1;设:,,,则,,则,则:,,代入式子得:,设到直线的距离为,则时,;综上,原点到直线距离的最小值为.【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点,结合运用向量,韦达定理和点到直线的距离的知识,属于难题.19、(1)30;(2),比较划算.【解析】
(1)由频率和为1求出,根据的值求出保费的平均值,然后解一元一次不等式即可求出结果,最后取近似值即可;(2)分别计算参保与不参保时的期望,,比较大小即可.【详解】解:(1)由,解得.保险公司每年收取的保费为:∴要使公司不亏本,则,即解得∴.(2)①若该老人购买了此项保险,则的取值为∴(元).②若该老人没有购买此项保险,则的取值为.∴(元).∴年龄为的该老人购买此项保险比较划算.【点睛】本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力,掌握频率分布直方图的基本性质,知道数学期望是平均
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