北京市西城区2016届九年级上期末数学试卷含答案解析

北京市西城区2016届九年级上期末数学试卷含

答案解析

一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其

中只有一个是符合题意的.

1.二次耳产广(x-5)2+7的最小值是()

/7C.-5D.5

//RtaABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,则cosA的值为

“^43

/C.5D.4

[C]]与NAOB的两边分不相切，其中OA边与。C相切于点

P.\,OP=6,则OC的长为()

APO

A.12B.12V2C.&V2D.6V3

4.将二次函数y=x2-6x+5用配方法化成y=(x-h)2+k的形式，下

列结果中正确的是()

A.y=(x-6)2+5B.y=(x-3)2+5C.y=(x-3)2-4D.y=(x

+3)2-9

5.若一个扇形的半径是18cm,且它的弧长是12ncm,则此扇形的

圆心角等于()

aC.90°D.120°

\直角坐标系xOy中，点A的坐标为(-1,2),AB

±xqO为位似中心，将△OAB放大为原先的2倍，得到

△C|I、：第二象限,则点A1的坐标为()

京B~天

1

A.(-2,4)B.(至，1)C.(2,-4)D.(2,4)

7.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37。方向，距离灯塔40海里

的A处，它沿正北方向航行一段时刻后，到达位于灯塔P的正东方向上的

B处.这时，B处与灯塔P的距离BP的长能够表示为()

一方0tan37°海里C.40cos37°海里D.40sin37°海

C三点在已知的圆上，在AABC中，NABC=70°,

2的中点，连接DB,DC,则NDBC的度数为(

A.30°B.45°C.50°D.70°

9.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查

反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件.设每件商

品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为

()

A.y=60(300+20x)B.y=(60-x)(300+20x)

C.y=300(60-20x)D.y=(60-x)(300-20x)

10.二次函数y=2x2-8x+m满足以下条件：当-2<x<-l时，它的

图象位于x轴的下方；当6VxV7时，它的图象位于x轴的上方，则m的

值为()

A.8B.-10C,-42D.-24

二、填本新(本颗共18分，每小题3分)

a3a+b

11.若则丁的值为

12.点A(-3,yl),B(2,y2)在抛物线y=x2-5x上，则yly

2.(填“〈”或“=”)

13.AABC的三边长分不为5,12,13,与它相似的4DEF的最小边

长为15,则4DEF的周长为

14.如图，线段AB和射线AC交于点A,ZA=30°,AB=20.点D

在身5ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD

B

15.程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作.在《算

法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺.送行二步与人齐，五尺

人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有

几？”【注释】1步=5尺.

译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板

往前推动两步(10尺)时，踏板就和人一样高，已知那个人身高是5尺.漂

亮的小姐和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日持续.好奇的能工

巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”

如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，

O

A责Nv专地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动

的车C=1尺’CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺.设绳索长OA

=O1I5「列方程为.

CD

16.阅读下面材料：

在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题:

尺规作图：过圆外一点作圆的切线.

已知：P为OO夕I"一点.

求作：通过点P的。O的切线.

小敏的作法如下：

如图,

(1)连接OP,作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；

(2)以点C为圆心，CO的长为半径作圆,交。O于A,B两点;

是所求作的切线.

O

o•p3P=90°,其依据是

由止；依据是.

三、解答题(本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分,

第28题7分，第29题8分)解承诺写出文字讲明，演算步骤或证明过程.

17.运算：4cos30°•tan60°-sin245

BC=15,ADLBC于点D,NBAD=3

19.已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点，点A在点B的

左侧.

(1)求A,B两点的坐标和此抛物线的对称轴；

(2)设此抛物线的顶点为C,点D与点C关于x轴对称，求四边形A

CBD的面积.

「八百aaABCD中,AD〃BC,ZA=ZBDC.

\>ADCB；

\=8,CD=15,求DB的长.

BC

21.某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示.社区打算

在其中修建两块完全相同的矩形绿地，同时两块绿地之间及四周都留有宽

度)IIX*~~这两块绿地的面积之和为60平方米,人行通道

8"yeo

的方XX

________________.X

2\m

22.已知抛物线Cl：yl=2x2-4x+k与x轴只有一个公共点.

(1)求k的值；

(2)如何样平移抛物线C1就能够得到抛物线C2：y2=2(x+1)2-4

k?请写出具体的平移方法；

(3)若点A(1,t)和点B(m,n)都在抛物线C2：y2=2(x+1)2

-4k±,且nVt,直截了当写出m的取值范畴.

23.如图，AB是。O的一条弦，且AB=WI点C,E分不在。O上,

且OC_LAB于点D,NE=30°,连接OA.

(1)求OA的长；

E

o是。O的另一条弦，且点O到AF的距离为2加,直截了当

写‘长把’批

c

24.奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成.在

综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔

的高度（测角仪高度忽略不计）.他们的操作方法如下：如图，他们先在B

处洌竟直吠取俯A的仰角为45°,然后向最高塔的塔基直行90米到达C

处，斗\塔顶A的仰角为58。.请关心他们运算出最高塔的高

度卜\\〔参考数据：sin58°-0.85,cos58°40.53,tan58°&

'JC内接于（DO,AB是。O的直径.PC是。O的切线,

于点D,交AC于点E.

CE=/PEC；

B3_3_

ED=2,sinA=5,求PC的长.

26.阅读下面材料：

如图1,在乎'而亩白加'标'玄vC\,tfa吉线：xr1—匕W才1姓：—v

=

A(1,3)和B5--ytyx

4-

观看图象可

①当x=-3

②当-3<xV23454

到不等式ax+b>

有如此一个

某同学按照

图i

集进行了探究.图2

下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整:

（1）将不等式按条件进行转化：

当x=0时，原不等式不成立；

_4

当x>0时，原不等式能够转化为x2+4x-1>不；

4

当xVO时，原不等式能够转化为x2+4x-1<不

(2)构造函数，画出典象

设y3=x2+4\-1,y4=x,在同一坐标系中分不画出这两个函数的图象.

双曲线y4=^■如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x-1；

(不用列表)

(3)确定两个函数图象公共点的横坐标

观看所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满

足y3=y4的所有x的值为s

(4)借助图象，写出解集

结合(1)的讨论结果，观看两个函数的图象可知：不等式x3+4x2-x

-4>0的解集为

112

27.(7分)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数丫=-2、+bx+

c的图象通过点A(1,0),且当Y=0和x=5时所对应的函数值相等.一次

(1)如图1,当BD=2时，AN=,NM与AB的位置关系是；

(2)当4<BD<8时，

①依题意补全图2；

②判定(1)中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论;

(3)连接ME,在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的

长最小？最小值是多少？请直截了当写出结果.

29.(8分)在平面直角坐标系xOy中，过。C上一点P作。C的切线

1.当入射光线照耀在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线1的

夹角和入射光线与切线1的夹角相等，点P称为反射点.规定：光线不能''穿

过”。C,即当入射光线在。C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在。

C内时，只在圆内进行反射.专门地，圆的切线不能作为入射光线和反射

光线.

光线在。C外反射的示意图如图1所示，其中N1=N2.

(1)自。C内一点动身的入射光线经。C第一次反射后的示意图如图

2所示，P1是第1个反射点.请在图2中作出光线经OC第二次反射后的

反射光线；

(2)当。O的半径为1时，如图3,

①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自。O的外部照耀在其

寸光线与y轴平行，则反射光线与切

匕线，在。O内持续地反射.若第1

N射点P12与点A重合，则第1个反

2),OM的半径为1.第一象限内

,反射光线与坐标轴无公共点，求反

2015-2016学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其

中只有一个是符合题意的.

1.二次函数丫=（x-5）2+7的最小值是（）

A.-7B.7C.-5D.5

【考点】二次函数的最值.

【分析】按照二次函数的性质求解.

【解答】解：:丫二（x-5）2+7

，当x=5时，y有最小值7.

故选B.

【点评】本题考查了二次函数的最值：当a>0时，抛物线在对称轴左

侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而呼因为图象

有最低点，因此函数有最小值，当x=-2a,函数最小值y=4a；当aV

0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧；y随x

的增大而千'、b2因为图象有最高点，因此函数有最大值，当乂=-云，函数

4ac-b’

最大值V=4as.

//RtZXABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,则cosA的值为

（Z_J

A3_1C4_3_

A.yB.TC.TD.7

【考点】锐角三角函数的定义.

【分析】按照勾股定理，可得AB的长，按照锐角的余弦等于邻边比斜

边，可得答案.

【解答】解：在RtZiABC中，NC=90°,AC=3,BCM,

由勾股定理，得

AB=W^+BC2^.

AC3_

cosA=AB=5,

故选：A.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的

正弦为对边比斜能，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.

(c1:与NAOB的两边分不相切，其中OA边与。C相切于点

P.〈,OP=6,则OC的长为()

AP0

A.12B.1272C.W2D.3

【考点】切线的性质.

【分析】连接CP,由切线的性质可得CP,AO,再由切线长定理可得

NPOC=45。，进而可得APOC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出

OC的长.

【解答】解：

连接CP,

•「OA边与OC相切于点P,

.*.CP±AO,

•.•(DC与NAOB的两边分不相切，ZAOB=90°,

【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运

用，能够正确的判定aPOC是等腰直角三角形是解题关键.

4.将二次函数y=x2-6x+5用配方法化成y=(x-h)2+k的形式，下

列结果中正确的是()

A.y=(x-6)2+5B.y=(x-3)2+5C.y=(x-3)2-4D.y=(x

+3)2-9

【考点】二次函数的三种形式.

【分析】运用配方法把一样式化为顶点式即可.

【解答】解：y=x2-6x+5=x2-6x+9-4=(x-3)2-4,

故选：C.

【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一样

式化为顶点式是解题的关键.

5.若一个扇形的半径是18cm,且它的弧长是12ncm,则此扇形的

圆心角等于()

A.30°B.60°C.90°D.120°

【考点】弧长的运算.

【分析】把弧长公式进行变形，代？已知数据运算即可.

n兀r

【轻等】熊口臂黑弧长的公式1=E,得

180118QX12K

n=JiT=7TX18：=120°,

故选：D.

n兀:r

【点评】本题考查的是弧长的运算，把握弧长的公式1=前是解题的

关键.

直角坐标系xOy中，点A的坐标为(-1,2),AB

O为位似中心，将AOAB放大为原先的2倍，得到

____^第二象限，则点A1的坐标为()

O”

1

A.(-2,4)B.(至，1)C.(2,-4)D.(2,4)

【考点】位似变换；坐标与图形性质.

【分析】直截了当利用位似图形的性质以及结合A点坐标直截了当得

出点A1的坐标.

【解答】解：...点A的坐标为（-1,2）,以原点O为位似中心，将

△OAB放大为原先的2倍，得到△OA1B1,且点A1在第二象限，

.,.点A1的坐标为（-2,4）.

故选：A.

【点评】此题要紧考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握

位似图形的性质是解题关键.

北A

I

j•艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里

的:乐|北方向航行一段时刻后，到达位于灯塔P的正东方向上的

BAP\|也与灯塔P的距离BP的长能够表示为（）

A.40海里B.40tan37°海里C.40cos37°海里D.40sin37°海

里

【考点】解直角三角形的应用-方向角咨询题.

【分析】按照已知条件得出NBAP=37°,再按照AP=40海里和正弦定

理即可求出BP的长.

【解答】解：...一艘海轮位于灯塔P的南偏东37。方向，

AZBAP=37°,

VAP=40海里,

「.BP=AP・sin37°=40sin37°海里；

故选D.

【点评】本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角

形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际咨询题，将解直角三角

体现了数学应用于实际生活的思想.

C三点在已知的圆上，在AABC中，ZABC=70°,

亍的中点，连接DB,DC,则NDBC的度数为（）

A.30°B.45°C.50°D.70°

【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系.

【分析】按照三角形的内角和定理得到NA=80。，按照圆周角定理得

到ND=NA=80。，按照等腰三角形的内角和即可得到结论.

【解答】解：VZABC=70°,ZACB=30°,

二.NA=80°,

二.ND=NA=80°,

VD是病的中点，

ABD=CD,

，BD=CD,

180°-ZD

二.NDBC=NDCB=2=50°,

故选C.

【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角

形的性质，熟练把握圆周角定理是解题的关键.

9.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查

反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件.设每件商

品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为

()

A.y=60(300+20x)B.y=(60-x)(300+20x)

C.y=300(60-20x)D.y=(60-x)(300-20x)

【考点】按照实际咨询题列二次函数关系式.

【分析】按照降价x元，则售价为(60-x)元，销售量为(300+20X)

件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量义售价，按照等量关系列出

函数解析式即可.

【解答】解：降价x元，则售价为(60-x)元，销售量为(300+20x)

件，

按照题意得，y=(60-x)(300+20x),

故选：B.

【点评】此题要紧考查了按照实际咨询题列二次函数解析式，关键是

正确明白得题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式.

10.二次函数y=2x2-8x+m满足以下条件：当-2Vx<-1时，它的

图象位于x轴的下方；当6VxV7时，它的图象位于x轴的上方，则m的

值为（）

A.8B.-10C.-42D.-24

【考点】二次函数的性质.

【分析】按照抛物线顶点式得到对称轴为直线x=2,在7VxV8这一段

位于x轴的上方，利用抛物线对称性得到抛物线在0Vx<l这一段位于x

轴的上方，而图象在l<x<2这一段位于x轴的下方，因此可得抛物线过

点（-2,0）,（6,0）,然后把（-2,0）代入y=2x2-8x+m可求出m的

值.

【解答】解：•.•抛物线y=2x2-8x+m=2（x-2）2-8+m的对称轴为直

线x=2,

而抛物线在-2VxV-1时，它的图象位于x轴的下方；当6<x<7时，

它的图象位于x轴的上方...抛物线过点（-2,0）,（6,0）,

把（一2,0）代入y=2x2-8x+m得8+16+m=0,解得m=-24.

故选D.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求

二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a¥0）与x轴的交点坐标，令y=

0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.△及2

-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有

2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac<0时,

抛物线与x轴没有交点.

二、填本新（本颗共18分，每小题3分）

a3a+b7

11.若^口，则丁的值为I.

【考点】比例的性质.

aa+b

【分析】已知E的比值，按照比例的合比性腻即可求得T.

a3

【解答！解：按照比例的合比性质，已知

a+b7_

贝(]b=4.

【点评】熟练应用比例的合比性质.

12.点A(-3,yl),B(2,y2)在抛物线y=x2-5x上，贝Iyl>

y2.(填“<”或“=”)

【考点】二次函数图象上点的坐标特点.

【分析】分不运算自变量为-3、2时的函数值，然后比较函数值的大

小即可.

【解答】解：当x=-3时，yl=x2-5x=24；

当x=2时，y2=x2-5x=-6；

V24>-6,

/.yl>y2.

故答案为：>.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点：二次函数图象上

点的坐标满足其解析式.也考查了二次函数的性质.

13.AABC的三边长分不为5,12,13,与它相似的4DEF的最小边

长为15,则4DEF的周长为90.

【考点】相似三角形的性质.

【分析】由^ABC的三边长分不为5,12,13,与它相似的4DEF的

最小边长为15,即可求得AAC的周长以及相似比，又由相似三角形的周长

的比等于相似比，即可求得答案.

【解答】解：:△ABC的三边长分不为5,12,13,

.'.△ABC的周长为:5+12+13=30,

•.•与它相似的4DEF的最小边长为15,

.二△DEF的周长:ZXABC的周长=15：5=3：1,

「.△DEF的周长为：3X30=90.

故答案为90.

【点评】此题考查了相似三角形的性质.熟练把握相似三角形的周长

比等于相似比是解题关键.

14.如图，线段AB和射线AC交于点A,ZA=30°,AB=20.点D

在身5ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD

AB

【考点】含30度角的直角三角形.

【分析】过B作BE±AC于E,由NA=30°,AB=20,得至UAE=10V3,

推出NADB>NAEB,即可得到结论.

【解答】解：过B作BELAC于E,

VZA=30°,AB=20,

.\AE=10V3,

,/ZADB是钝角，

二.ZADB>ZAEB,

.,.0<AD<1073,

AB

【点评】本题考查了含30。角的直角三角形的性质，熟记直角三角形

的性质是解题的关键.

15.程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作.在《算

法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺.送行二步与人齐，五尺

人高曾记•仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有

几？”【注释】1步=5尺.

译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板

往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知那个人身高是5尺.漂

亮的小姐和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日持续.好奇的能工

巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”

行口图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，

A』专地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动

的车C二1尺’CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺.设绳索长OA

=01I$「列方程为102+(x-5+1)2=x2.

cD

【考点】由实际咨询题抽象出一元二次方程.

【分析】设绳索有x尺长，现在绳索长，向前推出的10尺，和秋千的

上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，按照勾股定理列出方程.

【解答】解：设绳索长OA=OB=x尺，

由题意得，102+(x-5+l)2=x2.

故答案为：102+(x-5+l)2=x2.

【点评】本题考查了由实际咨询题抽象出一元二次方程，考查学生明

白得题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来求解.

16.阅读下面材料：

在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：

尺规作图：过圆外一点作圆的切线.

已知：P为。O外一点.

求作：通过点P的。O的切线.

小敏的作法如下：

如图，

(1)连接OP,作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；

(2)以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交。O于A,B两点;

(3)作直线PA,PB.因此直线PA,PB确实是所求作的切线.

老师认为小敏的作法正确.

【考点】作图一复杂作图；切线的判定.

【分析】分不利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案.

【解答】解：连接OA,OB后，可证NOAP=NOBP=90°,其依据是:

直径所对的圆周角是90°；

由此可证明直线PA,PB差不多上。O的切线，其依据是：通过半径外

端，且与半径垂直的直线是圆的切线.

故答案为：直径所对的圆周角是90。；通过半径外端，且与半径垂直

的直线是圆的切线.

【点评】此题要紧考查了切线的判定以及圆周角定理，正确把握切线

的判定方法是解题关键.

三、解答题(本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分,

第28题7分，第29题8分)解承诺写出文字讲明，演算步骤或证明过程.

17.运算：4cos30°•tan60°-sin2450.

【考点】专门角的三角函数值.

【分析】按照专门角三角函数值，可得实数的运算，按照实数的运算,

可得答案・返返

【解套】解：原式=4X2XV3-(2)2

=^-2

11

=~T.

【点评】本题考查了专门角三角函数值，熟记专门角三角函数值是解

题关键.

18.如图，^ABC中，AB=12,BC=15,ADJ_BC于点D,ZBAD=3

0°,求tanC的值.

【考点】解直角三角形.

【分析】按照在^ABC中，AB=12,BC=15,AD_LBC于点D,ZBA

D=30。，能够求得BD、AD、CD的长，从而能够求得tanC的值.

【解答】解：:△ABC中，AB=12,BC=15,ADLBC于点D,ZBA

D=30°,

NADB=NADC=90°,

/.AB=2BD,

/.BD=6,

.\CD=BC-BD=15-6=9,

，AD希重登。，

/.tanC=CD_9•

即tanC的值是M.

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是运算出题目中各边的

长，找出所求咨询题需要的条件.

19.已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点，点A在点B的

左侧.

(1)求A,B两点的坐标和此抛物线的对称轴；

(2)设此抛物线的顶点为C,点D与点C关于x轴对称，求四边形A

CBD的面积.

【考点】抛物线与x轴的交点.

【分析】(1)令y=0解方程即可求得A和B的横坐标，然后利用配方

法即可求得对称轴和顶点坐标；

(2)第一求得D的坐标，然后利用面积公式即可求解.

【解答】解：(1)令y=0,则-x2+2x+3=0,

解得：xl=-1,x2=3.

则A的坐标是(-1,0),B的坐标是(3,0).

y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

则对称轴是x=l,顶点C的坐标是（1,4）；

（2）D的坐标是（1,-4）.

AB=3-（-1）=4,CD=4-]（-4）=8,]

则四边形ACBD的面积是：7AB*CD=7X4X8=16.

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及配方法确定二次函

数的对称轴和顶点坐标，正确求得A和B的坐标是关键.

「『JQE"ABCD中，AD〃BC,NA=NBDC.

\>ADCB；

\=8,CD=15,求DB的长.

BC

【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】（1）按照平行线的性质，可得NADB与NDBC的关系，按照

两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；

（2）按照相似三角形的性质，可得答案.

【解答】（1）证明：•.•AD〃BC,

二.ZADB=ZDBC.

,/NA=NBDC,

.,.△ABD^ADCB；

（6•「△ABDs/\DCB,AB=12,AD=8,CD=15,

DBCDDB15

AAD=AB,即石=五，

解得DB=10,

DB的长10.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相

等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键.

21.某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示.社区打算

在其中修建两块完全相同的矩形绿地，同时两块绿地之间及四周都留有宽

度)ii，*~~这两块绿地的面积之和为6。平方米,人行通道

的多X?

____________9x

21m

【考点】一元二次方程的应用..。

21-3x

【分析】设人行道的宽度为X米，则矩形绿地的长度为：,宽度

为：8-2x,按照两块绿地的面积之和为60平方米，列方程求解.

【解答】解：哆上［道的宽度为x米，

由题意得，2XF-X(8-2x)=60,

解得：xl=2,x2=9(不合题意，舍去).

答：人行道的宽度为2米.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读明白

题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解.

22.已知抛物线Cl：yl=2x2-4x+k与x轴只有一个公共点.

(1)求k的值；

(2)如何样平移抛物线C1就能够得到抛物线C2：y2=2(x+1)2-4

k?请写出具体的平移方法；

(3)若点A(1,t)和点B(m,n)都在抛物线C2：y2=2(x+1)2

-4k±,且nVt,直截了当写出m的取值范畴.

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特点；二次

函数图象与几何变换.

【分析】(1)抛物线与X轴只有一个公共点，则判不式△=(),据此即

可求得k的值；

(2)把C1化成顶点式的形式，利用函数平移的法则即可确定；

(3)第一求得t的值，然后求得等y=t时C2中对应的自变量的值，结

合函数的性质即可求解.

【解答】解：(1)按照题意得：△=16-8k=0,解得：k=2；

(2)Cl是：yl=2x2-4x+2=2(x-1)2,抛物线C2是：y2=2(x+1)

2-8.

则平移抛物线Cl就能够得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长

度，向下平移8个单位长度；

(3)当x=l时，y2=2(x+1)2-8=0,即t=0.

在y2=2(x+1)2-8中，令y=0,解得：x=l或-3.

则当n<t时，即2(x+1)2-8<0时，m的范畴是一3VmVl.

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点的个数的确定，以及函数的平

移方法，按照函数的性质确定m的范畴是关键.

23.如图，AB是。O的一条弦，且AB=%5.点C,E分不在。O上,

且OC_LAB于点D,NE=30°,连接OA.

(/o\、是。O的另一条弦，且点O到AF的距离为2&,直截了当

写上包1数・

c

【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理.

【分析】(1)按照垂径定理求出AD的长，按照圆周角定理求出NAO

D的度数，运用正弦的定义解答即可；

(2)作OHLAF于H,按照勾股定理和等腰直角三角形的性质求出N

OAF的度数，分情形运算即可.

【解答】解：(1)VOC1AB,AB=W3,

.,.AD=DB=2遥,

VZE=30°,

AZAOn=6n°,ZOAB=30°,

AD

/.OA=sin600=4;

(2)如图，作OHLAF于H,

VOA=4,OH=2&,

NOAF=45°,

二.NBAF=NOAF+NOAB=75°,

则NBAF'=ZOAF/-ZOAB=15°,

E

Hkyo

奖度数是75°或15°.

【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理和勾股定理的应用，把

握垂直弦的直径平分这条弦，同时平分弦所对的两条弧、在同圆或等圆中,

同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题

的关键，注意分情形讨论思想的应用.

24.奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成.在

综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔

的高度（测角仪高度忽略不计）.他们的操作方法如下：如图，他们先在B

处洌々直吠取俯A的仰角为45°,然后向最高塔的塔基直行90米到达C

处，邓\塔顶A的仰角为58。.请关心他们运算出最高塔的高

度「O卜\\x〔参考数据：sin58°-0.85,cos58°"0.53,tan58°&

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角咨询题.

【分析靖照已知条件求出BD=AD,设DC=x,得出AD=90+x,再按

照tan58°=DC,求出x的值，即可得出AD的值.

【解答】解：VZB=45°,AD1DB,

AZDAB=45°,

；.BD=AD,

设DC=x,贝IBD=BC+DC=90+x,

二.AD=90+x

AD90+x

/.tan58°=DC=x=1.60,

解得：x=150,

AD=90+150=240（米），

答：最高塔的高度AD约为240米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造

直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用.

-JC内接于（DO,AB是。。的直径.PC是。O的切线,

C关/仁飞\于点口，交AC于点E.

/区、产=烂；3、

\1ED=2,sinA=5,求PC的长.

【考点】切线的性质.

【分析】（1）由弦切角定理可知NPCA=NB,由直角所对的圆周角等

于90。可知NACB=90。.由同角的余角相等可知NAED=NB,结合对顶

角的性质可知NPCE=NPEC；

（2）过点P作P,LAC,垂足为F.由锐角三角函数的定义和勾股定

理可求得AC=8,AE=2,由等腰三角形三线合一的性质可知EF=7,然后

证明△AEDS/\PEF,由相似三角形的性质可求得PE的长，从而得到PC

的长.

【解答】解：（1）是圆O的切线，

二.NPCA=NB.

VAB是圆O的直径，

AZACB=90°.

AZA+ZB=90°.

VPD1AB,

AZA+ZAED=90°.

P作PF_LAC,垂足为F.

VAB=10,s；nA=5,

3_

，BC=AB・亏=6.

.,.AC=VAB2-BC=8.

33

VDE=9,sinA=5,

5_

AE=2.

511

EC=AC-AE=8-2=2.

PC=PFPP±EC,

.心心4-EC-11

..EF=24.

,/NAED=NEDA=NEFP,

/.AAPQCZ：2_EP7

AE_PEm

二.而甘，MV.

55

解得：PP=TI.

55

?.PC=12.

【点评】本题要紧考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数

的定义、勾股定理、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得

△AED^APEF是解题的关键.

26.阅读下面材料:

如图1,在，而吉白巫粽玄th

A（1，3）和B

观看图象可

①当x=-3

②当-3<X-5上。12345

到不等式ax+b〉//\-2-

有如此一个\：.

某同学按照

集进行了探究.图1图2

下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整:

（1）将不等式按条件进行转化：

当x=0时，原不等式不成立；，

4

当x>0时，原不等式能够转化为x2+4x-1>不；

4

当x〈0时，原不等式能够转化为x2+4x-1<x；

(2)构造函数，画出图象

4

设y3=x2+4\-1,y4=x,在同一坐标系中分不画出这两个函数的图象.

双曲线y4=与如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x-1；

(不用列表)

(3)确定两个函数图象公共点的横坐标

观看所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满

足y3=y4的所有x的值为±1和-4；

(4)借助图象，写出解集

结合(1)的讨论结果，观看两个函数的图象可知：不等式x3+4x2-x

-4>0的解集为x>l或-4Vx<-1

(3)两个函数图象公共点的横坐标是±1和-4.

则满足y3=y4的所有x的值为±1和-4.

故答案是：±1和-4；

4

(4)不等式x3+4x2-x-4>0即当x>0时，x2+4x-1>7,现在x

的范畴是：x>l；

4

当x<0时，x2+4x-1<7,贝U-4<xV-l.

故答案是：x>l或-

【点评】本题考查了二次函数与不等式，正确明白得不等式：3+4x2-x

44

-4>0即当x>0时，x2+4x-1>7,；当x<0时，x2+4x-1<7,分成两

种情形讨论是本题的关键.

12

27.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-2*+bx+c的图

象通过点A（1,0）,且*Y=O和x=5时所对应的函数值相等.一次函数y

12

=-x+3与二次函数y=-2*+bx+c的图象分不交于B,C两点，点B在第

一家\2

]+bx+c的表达式；

y\\〔AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到

点】/\边形ABCN的形状，并证明你的结论.

【考点】二次函数综合题.

【分析】（1）按照当x=0和x=5时所对应的函数值相等，可得（5,c）,

按照待定系数法，可得函数解析式；

（2）联立抛物线与直线，可得方程组，按照解方程组，可得B、C点

坐标，按照勾股定理，可得AB的长；

（3）按照线段中点的性质，可得M点的坐标，按照旋转的性质，可得

MN与BM的关系，按照平行四边形的判定，可得答案.

【解答】解：（1）当x=0时，y=c,即（0,c）.

f'25x=5时所对应的函数值相等，得（5,c）.

:-（1,0）代入函数解析式，得

解得[c=-2.

15

故抛物线的解析式为y=-彳x2+Ix-2；

-

（产^*之得x-2/线与直线，得

kx»=2（x=5

解得（y=l,fy=-2,

即B（2,1）,C（5,-2）.

由勾股定理，得

AB=V（2-1）2+（l-0）2=V2；

（3）如图：

四边形ABCN是平行四边形,

证明：:M是AC的中点，

.\AM=CM.

•.•点B绕点M旋转180°得到点N,

?.BM=MN,

四边形ABCN是平行四边形.

【点评】本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等得出点(5,c)

是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用解方程组得出交点

半线互相平分的

备用图

(1)如图1,当BD=2时，AN=VlpNM与AB的位置关系是

垂直；

(2)当4<BD<8时，

①依题意补全图2；

②判定(1)中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；

(3)连接ME,在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的

长最小？最小值是多少？请直截了当写出结果.

【考点】几何变换综合题.

【分析】(1)按照已知条件得到CD=2,按照勾股定理得到AD=VAC2+CD2

=2旄，按照旋转的性质得到4ADE是号腰直角三角形，］求得DE=&AD=2

V10,按照直角三角形的性质得到AN=EDE=而，AM=5AB=2加,推出△

ACD-AAMN,按照相似三角形的性质即可得到结论；

(2)①按照题意补全图形即可；②按照等腰直角三角形的性质得到N

CAB=ZB=45°,求得NCAN+NNAM=45。按照旋转的性质得到AD=AE,

ZDAE=90°,推出△ANM4ADC,由相似三角形的性质得到NAMN=NA

CD,即可得到结论；

(3)连接ME,EB,过M作MG_LEB于G,过A作AK_LAB交BD

的延长线于K,得到AAKB等腰直角三角形，推出AADK之ZXABE,按照

全等三角形的性质得到NABE=NK=45°,证得是等腰直角三角形，

求出BC=4,AB=4&,MB=2&,由MENMG,