2025年高考数学一轮复习-5.3.1-两角和与差的三角函数-专项训练【含解析】

PAGE5.3.1-两角和与差的三角函数-专项训练【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)tan105°等于()A.2-3 B.-2-3C.3-2 D.-32.(5分)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于()A.0 B.12 C.1 D.3.(5分)(2023·长沙模拟)1-tan15°A.1 B.3 C.33 D.4.(5分)已知角α的终边经过点P(sin47°,cos47°),则sin(α-13°)等于()A.12 B.32 C.-12 D5.(5分)已知12sinα+32cosα=45,则sin(α+4πA.-235 B.235 C.-46.(5分)(2024·长沙模拟)古希腊数学家泰特托斯详细地讨论了无理数的理论,他通过图来构造无理数2,3,5,…,如图,则cos∠BAD=()A.26-336C.23+66 【【加练备选】(多选题)已知α,β,γ∈(0,π2),sinβ+sinγ=sinα,cosα+cosγ=cosβ,则下列说法正确的是(A.cos(β-α)=32 B.cos(β-α)=C.β-α=π6 D.β-α=-7.(5分)sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=.

8.(5分)满足等式(1+tanα)(1+tanβ)=2的数组(α,β)有无穷多个,试写出一个这样的数组.

9.(5分)(2024·北京模拟)设A(cosα,sinα),B(2cosβ,2sinβ),其中α,β∈R.当α=π,β=π2时,AB=;当AB=3时,α-β的一个取值为10.(10分)已知α,β均为锐角,且sinα=35,tan(α-β)=-1(1)求sin(α-β)的值;(2)求cosβ的值.11.(10分)在①tan(π+α)=3;②sin(π-α)-2sin(π2-α)=cos(-α);③3sin(π2+α)=cos(3π2+已知0<β<α<π2,,cos(α+β)=-5(1)求sin(α-π4(2)求β.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【能力提升练】12.(5分)已知α,β∈(-π2,0),且tanα+tanβ+3tanαtanβ=3,则α+β=13.(5分)已知15sinθtanθ+16=0,θ∈(0,π),则cos(θ-π4)=14.(10分)已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=1(1)求证:sinαcosβ=5cosαsinβ;(2)已知0<α+β<π2,0<α-β<π2,求cos2α5.3.1-两角和与差的三角函数-专项训练【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)tan105°等于()A.2-3 B.-2-3C.3-2 D.-3【解析】选B.tan105°=tan(60°+45°)=tan60°+tan45=(3+1)2(2.(5分)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于()A.0 B.12 C.1 D.【解析】选C.sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin(15°+75°)=sin90°=1.3.(5分)(2023·长沙模拟)1-tan15°A.1 B.3 C.33 D.【解析】选C.1-tan15°1+tan15°4.(5分)已知角α的终边经过点P(sin47°,cos47°),则sin(α-13°)等于()A.12 B.32 C.-12 D【解析】选A.由三角函数的定义,得sinα=cos47°,cosα=sin47°,则sin(α-13°)=sinαcos13°-cosαsin13°=cos47°cos13°-sin47°sin13°=cos(47°+13°)=cos60°=125.(5分)已知12sinα+32cosα=45,则sin(α+4πA.-235 B.235 C.-4【解析】选C.因为12sinα+32cosα=所以sin(α+π3)=45,则sin(α+4π3)=sin(π+α+π3)=-sin(α+6.(5分)(2024·长沙模拟)古希腊数学家泰特托斯详细地讨论了无理数的理论,他通过图来构造无理数2,3,5,…,如图,则cos∠BAD=()A.26-336C.23+66 【解析】选B.记∠BAC=α,∠CAD=β,由题图知:sinα=cosα=22,sinβ=33,cosβ=所以cos∠BAD=cos∠BAC+∠CAD=cosα+β=cosαcosβ22×63-22×3【加练备选】(多选题)已知α,β,γ∈(0,π2),sinβ+sinγ=sinα,cosα+cosγ=cosβ,则下列说法正确的是(A.cos(β-α)=32 B.cos(β-α)=C.β-α=π6 D.β-α=-【解析】选BD.由已知可得sin所以1=sin2γ+cos2γ=(sinα-sinβ)2+(cosβ-cosα)2=2-2(cosβcosα+sinβsinα)=2-2cos(β-α),所以cos(β-α)=12因为α,β,γ∈(0,π2),则-π2<β-α<因为sinγ=sinα-sinβ>0,函数y=sinx在(0,π2)上单调递增,则α>β,则-π2<β-α<0,故β-α=-7.(5分)sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=.

【解析】sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=sin(α+β)cos(β-γ)-cos(α+β)sin(β-γ)=sin[(α+β)-(β-γ)]=sin(α+γ).答案:sin(α+γ)8.(5分)满足等式(1+tanα)(1+tanβ)=2的数组(α,β)有无穷多个,试写出一个这样的数组.

【解析】由(1+tanα)(1+tanβ)=2,得1+tanβ+tanα+tanαtanβ=2,所以tanβ+tanα=1-tanαtanβ,所以tanβ+tanα1-所以α+β=kπ+π4,k∈Z所以α可以为0,β可以为π4(答案不唯一)答案:(0,π49.(5分)(2024·北京模拟)设A(cosα,sinα),B(2cosβ,2sinβ),其中α,β∈R.当α=π,β=π2时,AB=;当AB=3时,α-β的一个取值为【解析】根据题意可得当α=π,β=π2可得A-1,0,所以AB=-1-0当AB=3时,即cosα-2cos整理可得5-4cosα即cosα-β=12,可得α-β=±π所以α-β的一个取值为π3答案:5π310.(10分)已知α,β均为锐角,且sinα=35,tan(α-β)=-1(1)求sin(α-β)的值;【解析】(1)因为α,β∈(0,π2),所以-π2<α-β<π2.又因为tan(α-β所以-π2<α-β<0,所以sin(α-β)=-10(2)求cosβ的值.【解析】(2)由(1)可得,cos(α-β)=310因为α为锐角,且sinα=35,所以cosα=4所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=45×31010+35×(-11.(10分)在①tan(π+α)=3;②sin(π-α)-2sin(π2-α)=cos(-α);③3sin(π2+α)=cos(3π2+已知0<β<α<π2,,cos(α+β)=-5(1)求sin(α-π4【解析】(1)若选①,tan(π+α)=tanα=sinα又因为sin2α+cos2α=1,0<α<π2所以sinα=31010,cosα=所以sin(α-π4)=sinαcosπ4-cosαsinπ4=31010×22-若选②,因为sin(π-α)-2sin(π2-α)=cos(-α),化简得sinα=3cosα又因为sin2α+cos2α=1,0<α<π2所以sinα=31010,cosα=所以sin(α-π4)=sinαcosπ4-cosαsinπ4=31010×22-若选③,因为3sin(π2+α)=cos(3π2+化简得3cosα=sinα,又因为sin2α+cos2α=1,0<α<π2所以sinα=31010,cosα=所以sin(α-π4)=sinαcosπ4-cosαsinπ4=31010×22-(2)求β.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】(2)因为0<β<α<π2,且cos(α+β)=-5所以π2<α+β所以sin(α+β)=1-cos所以sinβ=sin[(α+β)-α]=255×1010-(-55)×又因为0<β<π2,所以β=π【能力提升练】12.(5分)已知α,β∈(-π2,0),且tanα+tanβ+3tanαtanβ=3,则α+β=【解析】由tanα+tanβ+3tanαtanβ=3得tan(α+β)=tanα+tanβ又α,β∈(-π2,0),则α+β∈所以α+β=-2π3答案:-2π13.(5分)已知15sinθtanθ+16=0,θ∈(0,π),则cos(θ-π4)=【解析】由15sinθtanθ+16=0得sin2θ=-1615cosθ,又sin2θ+cos2θ所以cosθ=-35或cosθ=5又θ∈(0,π),所以sinθ=1-cos因此cos(θ-π4)=cosθcosπ4+sinθsinπ4=-35×22+4答案:214.(10分)已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=1(1)求证:sinαcosβ=5cosαsinβ;【解析】(1)因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=1所以2sinαcosβ+2cosαsinβ=1,①3sinαcosβ-3cosαsi