2025高考数学一轮复习-第25讲-平面向量数量积的应用-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-第25讲-平面向量数量积的应用-专项训练基础巩固练1.已知向量a=(1,-1),b=(2,4),则a·(a+b)=()A.-1 B.0 C.1 D.22.在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,若P为CD的中点,则AC·AP=(A.3 B.6C.5 D.43.设两个单位向量a,b的夹角为θ,若a在b上的投影向量为13b,则cosθ=(A.-13 B.C.-223 D4.(2023淮南二模)在△ABC中,已知∠ACB=2π3,BC=4,AC=3,D是边AB的中点,点E满足AE=34ABA.-58 B.-1 C.12 D5.(多选题)(2023徐州调研)已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=|a-b|=1,则()A.|2a-b|=1 B.|a-2b|=3C.<a,a-b>=60° D.<b,a-b>=60°6.(多选题)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,若AB=a,AD=b,E,F分别为边BC,CD的中点,则下列说法正确的有()A.EF=-12a+12b BC.AE·AF=52 D.7.(2023无锡调研)已知a,b是互相垂直的两个单位向量,若向量a+b与向量λa-b的夹角是钝角,请写出一个符合题意的λ的值:.

8.已知向量a=(2,-3),b=(4,m),若|a+2b|=|a-2b|,则m=.

9.已知半圆圆心为点O,直径AB=2,C为半圆弧上靠近点A的三等分点,若P为半径OC上的动点,以点O为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示.(1)求点A,B,C的坐标;(2)若PA=34(3)试求点P的坐标,使PA·PO综合提升练10.(2023盐城调研)宽与长的比为5-12≈0.618的矩形叫作黄金矩形.它广泛地出现在艺术、建筑、人体和自然界中.在黄金矩形ABCD中,如果BC=5-1,AB>BC,那么ABA.5-1 B.5+1C.4 D.25+211.已知O是△ABC的外心,其外接圆的半径为2,且满足2AO=AB+AC,若BA在BC上的投影向量为3A.-4 B.-2 C.0 D.212.已知平面向量a,b,c满足c=xa+yb(x,y∈R),且a·c>0,b·c>0,有()A.若a·b<0,则x<0,y<0B.若a·b<0,则x>0,y>0C.若a·b>0,则x<0,y<0D.若a·b>0,则x>0,y>013.(2023常州质检)已知向量a,b的夹角为60°,|a-b|=23,则|a|+2|b|的最大值为()A.37 B.47 C.57 D.6714.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BCD=60°,CB=CD=23.若M为线段BC的中点,则AM·DM=;若N为线段BC(含端点)上的动点,则AN·DN创新应用练15.阅读以下材料,解决本题:我们知道①(a+b)2=a2+2a·b+b2;②(a-b)2=a2-2a·b+b2.由①-②,得(a+b)2-(a-b)2=4a·b⇔a·b=(a+b)2-(a-b)24,我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”,它实现了在没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.(1)若cos∠BAD=1213,求△ABD(2)若2AE=EC,求CB参考答案1.B2.A3.B4.C5.BC6.AC7.0(答案不唯一)8.9.解(1)半圆的直径AB=2,由题易知A(-1,0),B(1,0).因为OC=1,∠BOC=2π3,所以xC=cos2π3=-12,yC=sin(2)由(1)知,CA=所以PA设PA与CB的夹角为α,则cosα=PA因为α∈[0,π],所以α=2π3,即PA(3)设OP=tOC(0≤t≤1),由(1)知,OP=t-1所以PA·PO=12t12又因为0≤t≤1,所以当t=14时,PA·PO有最小值,最小值为此时点P的坐标为-10.C11.A12.B13.B14.6214(或写成5.15.解(1)因为AB·AD所以|AB||AD|cos∠BAD=48,即|AB||AD|×1213所以|AB||AD|=52.又cos∠BAD=1213所以sin∠BAD=513,所以S△ABD=12|AB|·|AD|·sin∠BAD=