1.1.1角的概念的推广示范课公开课一等奖课件省赛课获奖课件

基本初等函数Ⅱ

1.1.1角的概念的推广1、角的概念初中是如何定义角的？有公共端点的两条射线构成的几何图形.不考虑旋转方向范畴是[0º,360º]，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.OAB生活中诸多实例会不在该范畴。体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º；通过2分钟，分针、秒针各转了多少度？从镜子里观察呢？这些例子不仅不在范畴[0º,360º]，并且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么方法才干推广到任意角？核心是用运动的观点来看待角的变化。2．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．始边：旋转开始时的射线OA，终边：旋转终止的射线OB，顶点：射线的端点O旋转方向：画图时用带箭头的弧来表达记为：∠α（∠AOB）⑵．“正角”与“负角”、“0º角”正角：我们把按逆时针方向旋转所形成的角负角：把按顺时针方向旋转所形成的角如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，OAOOAA零度角：特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一种角，并把这个角叫做（0º）．角的记法：角α或能够简记成∠α.⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范畴大大地扩大了①角有正负之分;如：=210,=150,=660.②角能够任意大;实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080）③尚有零角,一条射线，没有旋转.角的概念推广后来，它涉及任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表达含有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就仿佛与正数、负数的规定同样，零角无正负，就仿佛数零无正负同样．ABC如图：射线OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转90到射线OB

，再旋转-30

到OC位置．

∠AOC=∠AOB+∠BOC=90+(-30)=90

-30

=60

结论：各角和的旋转量等于各角旋转量的和例1：射线OA，绕着它的端点O按顺时针方向旋转80到射线OB

，再逆时针旋转250

到OC位置，然后在顺时针旋转270到射线OD．求∠AOD的大小

解：∠AOB=-80

，∠BOC=250

，∠COD=-270

∠AOD

=∠AOB+∠BOC+

∠COD=-80+250

-270

=-100

3．“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。角的顶点重叠于坐标原点，角的始边重叠于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一种象限）例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，135、225是第Ⅱ象限角210是第Ⅲ象限角300、60是第Ⅳ象限角4．终边相似的角⑴观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相似.⑵探究：终边相似的角都能够表达成一种0到360的角与k个周角的和(k∈Z)390=30+360(k=1),330=30360(k=－1)30=30+0×360(k=0),角β与30角的终边相似记：β=30+k·360º(k∈Z），⑶结论：全部与角终边相似的角连同在内能够构成一种集合：{β|β=α+k·360º，k∈Z}即：任何一种与角终边相似的角，都能够表达成角与整数个周角的和⑷注意下列四点：①k∈Z；②是任意角；③k·360º－30º,应当作(－30º)+k·360º；④终边相似的角不一定相等，但相等的角，终边一定相似，终边相似的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.{β|

β=α+k·360º，k∈Z}例2.在0º到360º范畴内，找出与下列各角终边相似的角，并判断它是哪个象限的角.(1)－120º；(2)640º；(3)－950º12′.解：⑴∵－120º=240º+（－360º），∴240º的角与－120º的角终边相似，它是第三象限角．⑵∵640º=280º+360º，∴280º的角与640º的角终边相似，它是第四象限角．{β|

β=α+k·360º，k∈Z}⑶∵－950º12’=129º48’+（－3×360º），∴129º48’的角与－950º12’的角终边相似，它是第二象限角．(3)－950º12′.例3.写出终边在x轴上的角的集合S解：在0º~360º范畴内，终边在x轴上的角有两个0º和180º，与这两个角终边相似的角的集合依次为S1={β|β=k·360º，k∈Z}={β|β=2k·180º，k∈Z},S2={β|β=180º+k·360º，k∈Z}={β|β=（2k+1）180º，k∈Z}由于{m|m=2k，k∈Z}∪{m|m=2k+1，k∈Z}=Z,因此S=S1∪S2=={β|β=m·180º，m∈Z}例4.写出与下列各角终边相似的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来：(1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.解：(1)S={β|β=60º+k·360º,k∈Z},

S中在－360º～720º间的角是60º－1×360º=－300º；60º+0×360º=60º；60º+1×360º=420º．(2)S={β|β=k·360º－21º(k∈Z)}

S中在－360º～720º间的角是0×360º－21º=－21º；1×360º－21º=339º；2×360º－21º=699º．(3)β|β=k·360º+363º14’(k∈Z)}S中在－360º～720º间的角是－2×360º+363º14’=－356º46’；－1×360º+363º14’=3º14’；0×360º+363º14’=363º14’．课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角与否都是锐角？不大于90º的角是锐角吗？区间(0º,90º)内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；不大于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐角．2．已知角的顶点与坐标系原点重叠，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420º，(2)－75º，(3)855º，(4)－510º．答：(1)第一象限角；(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角.3、已知α,β角的终边相似，那么α－β的终边在（）Ax轴的非负半轴上By轴的非负半轴上Cx轴的非正半轴上Dy轴的非正半轴上A4、终边与坐标轴重叠的角的集合是（）A{β|β=k·360º(k∈Z)}B{β|β=k·180º(k∈Z)}C{β|β=k·90º(k∈Z)}D{β|β=k·180º+90º(k∈Z)}C5、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A第一象限角B第一、二象限角C第一、三象限角D第一、四象限角C6、若α是第四象限角，则180º－α是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角C7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关系是（）A.β=α+90o

Bβ=α±90oCβ=k·360o+90o+α,k∈ZDβ=k·360o±90o+α,k∈ZD8、若90º<β<α<135º，则α－β的范畴是__________，α+