2023-2024学年江西省九江市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省九江市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=2+i2i在复平面内对应的点在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知cos2α+5sinα=3，则sinα=(

)A.12 B.−12 C.3.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是(

)A.若m//n，n//α，则m//α

B.若n⊥α，n⊥m，m⊂β，则α//β

C.若α//β，m⊥β，则m⊥α

D.若α⊥β，m⊂β，则m⊥α4.已知a,b满足|a|=|bA.255 B.55 5.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=asinC+bcosC，则(

)A.cosB=sinC B.sinB=cosC C.cosA=sinB D.sinA=cosB6.如图，单位圆M与数轴相切于原点O，把数轴看成一个“皮尺”，对于任意一个正数a，它对应正半轴上的点A，把线段OA按逆时针方向缠绕到圆M上，点A对应单位圆上点A′，这样就得到一个以点M为顶点，以MO为始边，经过逆时针旋转以MA′为终边的圆心角α，该角的弧度数为a.若扇形OMA′面积为π6，则OA⋅OA′A.36π C.π3 D.7.如图，已知圆锥顶点为P，底面直径为AB,AB=4,∠APB=π6，以AB为直径的球O与圆锥相交的曲线记为Ω(异于圆锥的底面)，则曲线Ω的长为(

)A.23πB.3π

C.2π

8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图.若x1+2x2=0A.12

B.32

C.−1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1，z2，则下列命题中正确的是(

)A.若|z1|=|z2|，则z2=±z1 B.z1⋅10.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin2(x−A.最小正周期为π B.值域为[0,1]

C.图象关于直线x=−π6对称 D.在11.四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1，动点M在线段PC上(不含端点)，点M到平面ABCD和平面PAD的距离分别为d1，d2，则(

)A.过M，A，D三点的截面为直角梯形

B.△BDM的面积最小值为63

C.四棱锥P−ABCD外接球的表面积为6π

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(3,−1).若a⊥b13.如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转、连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形边长为4，“四角反棱台”高为3，则该几何体体积为______．14.已知α，β是函数f(x)=13sin(2x+π3)−12在(0,π2)上的两个零点，且α<β，则α+β=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1，AB=2A1B1=4，侧棱AA1=216.(本小题15分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点B，C在单位圆上，且满足∠AOB=α，∠AOC=β，α，β∈[0,π)．

(1)若B(−45,35)，求cos(α−π6)17.(本小题15分)

如图，在三棱锥A−BCD中，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，AB⊥CD．

(1)证明：CD⊥平面ABC；

(2)若AB=AC，AO与平面BCD所成的角为60°，求三棱锥A−BCD的体积．18.(本小题17分)

△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，已知(acosB−bsinA)c=a2−b2．

(1)求A；

(2)设BC的中点为D，a=219.(本小题17分)

已知定义域为R的函数ℎ(x)满足：对于任意的x∈R，都有ℎ(x+π)=ℎ(x)+ℎ(π)，则称函数ℎ(x)具有性质P．

(1)若一次函数f(x)具有性质P，且f(2)=1，求f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)=cos(ωx+φ)(其中ω∈(1,3)，φ∈(0,π))具有性质P，求g(x)的单调递增区间；

(3)对于(1)(2)中的函数f(x)，g(x)，求函数F(x)=f(x−π)g(x)+1在区间[−2π,4π]上的所有零点之和．

参考答案1.D

2.A

3.C

4.B

5.D

6.A

7.A

8.C

9.BC

10.BCD

11.ACD

12.3

13.40

14.π6

−15.证明：(1)如图，连接AC，A1C1，设AC∩BD=O，连接OC1，

由正四棱台ABCD−A1B1C1D1，易知A1C1/​/AC，

因为AB=2A1B1=4，所以A1C1=AO=22，

所以四边形A1C1OA为平行四边形，

所以AA1//OC1，又AA1⊄平面BDC1，OC1⊂平面BDC1，

所以AA1/​/平面BDC1；

(2)连接A1O，同理可得四边形A1C116.解：(1)∵B(−45,35),∠AOB=α，

∴sinα=35,cosα=−45，

∴cos(α−π6)=cosα⋅32+sinα⋅12=3−4310；

(2)17.解：(1)证明：∵△OCD是边长为1的等边三角形，

O为BD的中点，∴OB=OC=OD=CD=1，∠BOC=120°，

∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠BCD=90°，

∴CD⊥BC，

又CD⊥AB，AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC，

∴CD⊥平面ABC；

(2)由(1)知CD⊥平面ABC，且CD⊂平面BCD，

∴平面ABC⊥平面BCD，

取BC的中点E，连接AE，OE，

∵AB=AC，∴AE⊥BC，平面ABC∩平面BCD=BC，

∴AE⊥面BCD，

∴∠AOE即为AO与平面BCD所成的角，∴∠AOE=60°，

∵O

E为△BCD的中位线，∴OE=12CD=12，

在Rt△AOE中，tan60°=AEOE，∴AE=3218.解：(1)法一：由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得(acosB−bsinA)c=c2−2bccosA，

∴acosB−bsinA=c−2bcosA，

由正弦定理，得sinAcosB−sinBsinA=sinC−2sinBcosA，

∵C=π−(A+B)，∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinAcosB−sinBsinA=sinAcosB−sinBcosA，

∴−sinBsinA=−sinBcosA，

∵sinB≠0，∴sinA=cosA，∴tanA=1，

可得A=π4；

法二：由正弦定理，得(sinAcosB−sinBsinA)sinC=sin2A−sin2B，

∴sin2B=sinA(sinA+sinBsinC−sinCcosB)，

∵A=π−(B+C)，∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

∴sin2B=sinA(sinBcosC+sinBsinC)，

∵sinB≠0，∴sinB=sinAcosC+sinAsinC，

∵B=π−(A+C)，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴cosAsinC=sinAsinC⋅∵sinC≠0，∴sinA=cosA，∴tanA=1，

可得A=π4；

(2)19.解：(1)设f(x)=ax+b(a≠0)，则f(x+π)=a(x+π)+b，f(x)+f(π)=ax+b+aπ+b=a(x+π)+2b

由f(x+π)=f(x)+f(π)，得b=0，

又∵f(2)=1，∴a=12，

∴f(x)=12x；

(2)由g(x+π)=g(x)+g(π)，得g(0+π)=g(0)+g(π)，∴g(0)=0，

∴cosφ=0，又∵φ∈(0,π)，∴φ=π2，

∴g(x)=cos(ωx+π2)=−sinωx，

由g(x+π)=g(x)+g(π)，得g(π+π)=g(π)+g(π)，

即g(2π)=2g(π)，

∴−sin2πω=−2sinπω，∴sinπωcosπω=sinπω，∴sinπω=0，或cosπω=1，

又∵ω∈(1,3)，∴πω∈(π,3π)，∴πω=2π，ω=2，∴g(x)=−sin2x，

令2kπ