数学-湖北省武汉市重点中学5G联合体2023-2024学年高二下学期期末考试试题和答案

2023-2024学年度下学期武汉市重点中学5G联合体期末考试高二数学试卷符合题目要求的.x2+1A.2.设f(x)是可导函数，且=2，则f在x=1处的切线的斜率等于()A.2B.C.-1D.-23.已知变量x与y的数据如下表所示，若y关于x的经验回归方程是=1.2x+8.4，则表中m=()x12345ym4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况()A.24B.36C.54D.605x+x+y)的展开式中xy5A.20B.30C.40D.506.柯西分布（Cauchydistribution）是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X~C(Y,x0)，其中当Y=1，x0=0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为A.B.C.D.7.已知函数=xlnx-ax2-x2，则“f有两个极值”的一个必要不充分条件是()8.已知x,y,θ∈R,若ex-2≤(x-y-1)ey,则x2+y2-2xcosθ-2ysinθ的最小值等于() 9.下列命题正确的是()A.命题“对任意x∈R，x2+x+1<0”的否定是“存在xR，使得x2+x+1≥0”的充分不必要条件是“a>1”C.设x,y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件D.设a,b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的充分不必要条件A.共有256种放法B.恰有一个盒子不放球，共有72种放法C.恰有两个盒子不放球，共有84种放法D.没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有9种11.下列选项中正确的是()A.已知随机变量X服从二项分布B.口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望C.某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是8次D.设A，B是一个随机试验中的两个事件P(A则12.某市的5个区县A，B，C，D，E地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有种.13.某学校组织学生进行数学强基答题比赛，已知共有2道A类试题，4道B类试题，6道C类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对A,B,C这3类试题的概率分别为学生甲答对试题的概率为.2x-2≥m2-3m成立.（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α-β)，sinαsinβ=-cos(α+β)-cos(α-β)这组公式被称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的《天文学基础》一书中.在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算.在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数.为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表：合格不合格合计高三年级的学生54高一年级的学生合计（1）请完成2×2列联表，依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？（2）以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为X，求X的分布列和数学期望.α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.82817.甲、乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分．已知甲在每局中获胜、平局、负的概率均为，且各局比赛结果相互独立.（1）若比赛共进行了三局，求甲获胜一局的概率；（2）若比赛共进行了三局，求甲得3分的概率；（3）规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望.时，求f的单调区间；（2）若关于x的方程f(x)=lnx(x>0)有两根x1,x2（其中x1<x2①求a的取值范围；②当x2<ex1时，求x1的取值范围.*19.某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有n(n∈N)份血液样本（数量足够大*有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验n次；方式二：混合检验，将其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为(k+1)次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概（1）现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2.①若E(ξ1)=E(ξ2)，求P关于k的函数关系式p=f(k)；1②已知p=1-e-8，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？2023-2024学年度下学期武汉市重点中学5G联合体期末考试高二数学试卷符合题目要求的.x2+1A.【答案】C【解析】【分析】分别求两个集合，再求并集.{yy故选：C2.设f(x)是可导函数，且=2，则f在x=1处的切线的斜率等于()A2B.2C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据条件得到再利用导数的几何意义，即可求出结果.因为所以由导数的几何意义知，f(x)在x=1处的切线的斜率为，故选：B.3.已知变量x与y的数据如下表所示，若y关于x的经验回归方程是=1.2x+8.4，则表中m=()x12345ym【答案】A【解析】【分析】利用样本中心点求解即可.,因为经验回归方程经过样本中心(x,y)，故选：A.4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况()A.24B.36C.54D.60【答案】C【解析】【分析】首先根据条件得到排列的要求，再按照受限制元素优先的原则，进行排列，即可求解.【详解】由条件可知，甲和乙都不是第一名，乙也不是最后一名，所以先排乙有3种方法，再排甲有3种方法，其他就是全排列A种方法，所以5人的名次排列有3×3×A=54种方法.故选：Cx2+x+y)5的展开式中x3y3的系数是()A.20B.30C.40D.50【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理的通项公式确定r的值即可求出系数.5【详解】因为(x2+x+y)的展开式中，通项公式Tr+1=Cy5-r(x2+x)r,52=Cy3x2+xx2+x22所以x3y3的系数为2C=20.故选：A.6.柯西分布（Cauchydistribution）是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X~C(Y,x0)，其中当Y=1，x0=0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为2A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据概率密度函数的对称性，结合条件，即可求解.函数f关于y轴对称，由可知，P则，所以P故选：D7.已知函数=xlnx-ax2-x2，则“f有两个极值”的一个必要不充分条件是()【答案】A【解析】【分析】由题意可知f,(x)=0有两个不等的实数解，转化为方程有两个实根，再次转化为的图象与y=a有两个不同的交点，然后利用导数g(x)的单调区间，画出g(x)的图象，结合图象求解即可.【详解】f(x)的定义域为(0,+∞)，则f,(x)=lnx+1-2ax-x，因为f(x)有两个极值，所以f,(x)=0有两个不等的实数解，所以g(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，所以当x→0时，g→-当x→+∞时，g→-所以g(x)的图象如图所示，由图可知当-<a<0时，y=a的图象与g(x)的图象有两个不同的交点，即f(x)有两个极值，因为是的真子集，所以“f(x)有两个极值”的一个必要不充分条件是-1<a<1，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查函数的极值，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为两函数图象有两个交点，考查数形结合的思想，属于较难题.8.已知x,y,θ∈R,若ex-2≤(x-y-1)ey,则x2+y2-2xcosθ-2ysinθ的最小值等于() A.3-2·2B.2-22【答案】B【解析】【分析】先变形为ex-y-2-(x-y-2)-1=0，证明x-y-2=0，再把问题转化为求直线上的动点到圆上动点距离的最小值.【详解】由题设ex-y-2-(x-y-2)-1≤0，设f(x)=ex-x-1,则f,(x)=ex-1，当x∈(-∞,0),f,(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(0,+∞),f,(x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)≥f(0)=0，即ex-y-2-(x-y-2)-1≥0，综上，ex-y-2-(x-y-2)-1=0，即f(x-y-2)=0，所以x-y-2=0，设P是直线x-y-2=0上的点，Q(cosθ,sinθ)是圆x2+y2=1上的点，而目标式为x2+y2-2xcosθ-2ysinθ=(x-cosθ)2+(y-sinθ)2-1=|PQ|2-1，-1=2-2故选：B.9.下列命题正确的是()A.命题“对任意x∈R，x2+x+1<0”的否定是“存在xR，使得x2+x+1≥的充分不必要条件是“a>1”C.设x,y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件D.设a,b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的充分不必要条件【答案】BC【解析】【分析】对于A选项，用量词命题的否定可得解；对于B选项，用集合法可以判断；对于C选项，用充分条件和必要条件的定义可以判断，对于D选项，用等价法可以判断.A错误；不必要条件，故B正确；≥4，但“x≥2且y≥2”不成立，所以不具有必要性，所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故C正确；对于D选项，因为“ab=0”是“a=0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D错误.故选：BCA.共有256种放法B.恰有一个盒子不放球，共有72种放法C.恰有两个盒子不放球，共有84种放法D.没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有9种【答案】ACD【解析】【分析】按照分步乘法计数原理判断A，B，先分组、再分配，即可判断C，先确定编号为1的球的放法，再确定与1号球所放盒子的编号相同的球的放法，按照分步乘法计数原理判断D.【详解】若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有44=256种放法，故A正确；恰有一个盒子不放球，先选一个盒子，再选一个盒子放两个球，则C.C.C恰有两个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将四个球分为3，1或2，2两种情况，编号为1的球有3种放法，编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号或其他两个盒子，故选：ACD.11.下列选项中正确的是()A.已知随机变量X服从二项分布B.口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望C.某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是8次D.设A，B是一个随机试验中的两个事件则P(BA)=【答案】ABD【解析】【分析】根据二项分布方差公式，以及方差的性质，即可判断A；代入超几何分布的期望公式，即可判断B；根据二项分布的概率，结合不等式，即可求解，判断C；根据和事件概率公式，以及条件概率公式，即可判断D.A.X~B=5，故A正确；B.X为超几何分布，所以E，故B正确；k9-kk9-k故选：ABD12.某市的5个区县A，B，C，D，E地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有种.【答案】96【解析】【分析】利用分步计数原理与分类计数原理可得结论.【详解】第一步：从4种颜色中选3种颜色对A,B,C三个区域着色有A=24种方法，第二步：对D,E着色分两类，当D与B同色有1种方法，对E着色有2种方法，当D与B不同色时有1种方法，对E着色有2种方法，故不同的染色方案共有24(2+2)=96种.故答案为：96种.13.某学校组织学生进行数学强基答题比赛，已知共有2道A类试题，4道B类试题，6道C类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对A,B,C这3类试题的概率分别为学生甲答对试题的概率为.【答案】##0.125【解析】【分析】利用全概率公式进行求解.【详解】学生甲答对试题的概率为故答案为：【答案】##e-2【解析】【分析】由题意可得<，令f(x)=，则f(x2)<f(x1)，则可得f(x)在(0,m)上递增，然后利用导数求出f(x)的递增区间，从而可求出m的最大值.【详解】因为x1>x2，所以x2-x1<0，2(lnx1所以f(x)在(0,m)上递增，由f,(x)>0，得-lnx-2>0，得lnx<-2，解得0<x<，所以f的递增区间为，所以m的最大值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数求函数的单调区间，解题的关键是将原不等式变形，然后构造函数，利用导数求函数的单调区间，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.2x-2≥m2-3m成立.（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.【解析】2min即可.(2x-2)max≥m2-3m即可.【小问1详解】-x2+2x+3min即可.-x2+2x+3min【小问2详解】，(2x-2)max≥m2-3m即可.]p、q有且只有一个是真命题，则3或.16.sinαcosβ=，cosαsinβ=cosαcosβ=，sinαsinβ=-这组公式被称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的《天文学基础》一书中.在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算.在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数.为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表：合格不合格合计高三年级的学生54高一年级的学生合计（1）请完成2×2列联表，依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？（2）以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为X，求X的分布列和数学期望.α0.1000.0500.0100.001xα2706..6.63510.828【答案】（1）列联表见解析，认为“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”有关（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据卡方的计算与临界值比较即可求解，（2）利用二项分布的概率公式即可求解概率以及期望公式求解.【小问1详解】由100名学生中高三年级的学生占，可知高三年级的学生有60人，高一年级的学生有40人.补充完整的列联表，如下：合格不合格合计高三年级的学生54660高一年级的学生2440合计7822提出零假设H0：“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”无关.根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H₀不成立，即认为“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.【小问2详解】由（1）得，高一年级的学生对公式的掌握情况合格的频率为.依题意，得X~B，所以X的分布列为X0123P8 2717.甲、乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分．已知甲在每局中获胜、平局、负的概率均为，且各局比赛结果相互独立.（1）若比赛共进行了三局，求甲获胜一局的概率；（2）若比赛共进行了三局，求甲得3分的概率；（3）规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望.（3）分布列见解析【解析】【分析】（1）利用独立事件概率公式，列式求解；（2）首先分析甲得3分的事件，再根据互斥事件概率公式和独立事件概率公式，列式求解；（3）由题意可知，X=2,3,4,5，根据随机变量表示事件的意义，根据概率求分布列，以及数学期望.【小问1详解】设“三局比赛后，甲胜一局”为事件A，甲胜一局包含以下情形：三局中甲一胜两平局，三局中甲一胜两负，三局中甲一胜一平一负，,234所以甲胜一局的概率为9【小问2详解】设“三局比赛后，甲得3分”为事件B，甲得3分包含以下情形：三局均为平局，三局中甲一胜一平一负，所以 所以甲得3分的概率为.27【小问3详解】依题意知，X的可能取值为2，3，4，5，344P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=1---=，故X的分布列为：X2345P29 42741（1）当a=时，求f(x)的单调区间；（2）若关于x的方程f(x)=lnx(x>0)有两根x1,x2（其中x1<x2①求a的取值范围；②当x2<ex1时，求x1的取值范围.【答案】（1）f(x)的单调递增区间为(0,+∞),f(x)的单调递减区间为(-∞,0)【解析】【分析】（1）对f(x)求导，并判断导函数的正负，即可得到f(x)的单调性；单调性，得到a=，令h(x)=，借助h(x)的单调性，得到h(x)的大致图象，即可求得a的取值范围；②借助h(x)的单调性，有解不等式即可.【小问1详解】当a=时，f(x)=e-x，所以f,(x)=e-，由f,(x)>0解得x>0，由f,(x)<0解得x<0，故f(x)的单调递增区间为(0,+∞),f(x)的单调递减区间为(-∞,0).【小问2详解】所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，故g(ax)=g(lnx)等价于ax=lnx，即在上有两根x1,x2，，所以h(x)在区间(0,e)上单调递增，在区间(e,+∞)上单调递减，其图象如图所示：所以a的取值范围为.②由①得a=在上有两根x1,x2，所以a=在区间(0,e)上单调递增，在区间(e,+∞)上单调递减，【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形