专题1.6图形的变化（1）（上海中考18个考点真题训练）中考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）（解析版）

一．轴对称的性质（共1小题）1．（2004•上海）正六边形是轴对称图形，它有6条对称轴．【分析】根据轴对称图形的特点可直接求解．【解答】解：正六边形有6条对称轴，分别是3条对角线和三组对边的垂直平分线．∴正六边形是轴对称图形，它有6条对称轴．【点评】轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线．二．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共2小题）2．（2007•上海）如图，在直角坐标平面内，线段AB垂直于y轴，垂足为B，且AB＝2，如果将线段AB沿y轴翻折，点A落在点C处，那么点C的横坐标是﹣2．【分析】此题首先能够根据题意得到两点关于y轴对称，再进一步得到它们的横坐标互为相反数．【解答】解：根据题意，得两点关于y轴对称．则它们的横坐标互为相反数．即点C的横坐标是﹣2．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点的有关性质，学生需牢记有关性质．3．（2000•上海）点A（﹣3，4）和点B（3，4）关于y轴对称．【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．【解答】解：根据已知，得点A和点B横坐标互为相反数，纵坐标不变．再根据轴对称的性质，知两点关于y轴对称．【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．三．作图-轴对称变换（共1小题）4．（2005•上海）（1）在图1所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y轴对称的两个三角形的编号为①，②；关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为①，③；（2）在图2中，画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．【分析】（1）根据轴对称的性质，对应点到对称轴的距离相等，可知1，2两个图形是轴对称图形，根据中心对称的性质，对应点到原点的距离相等可知1，3是中心对称图形；（2）从三角形三个顶点向x轴引垂线并延长相同的长度，找到对应点，顺次连接．【解答】解：（1）：①，②；①，③；（2）如图：【点评】本题综合考查了轴对称图形，中心对称图形的性质以作图方法，注意解这类题目时，找对应点是关键．四．翻折变换（折叠问题）（共7小题）5．（2019•上海）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是2．【分析】由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到∠AEB＝∠EDF，进而得到tan∠EDF＝tan∠AEB＝＝2．【解答】解：如图所示，由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB＝∠AEF，∵正方形ABCD中，E是AD的中点，∴AE＝DE＝AD＝AB，∴DE＝FE，∴∠EDF＝∠EFD，又∵∠AEF是△DEF的外角，∴∠AEF＝∠EDF+∠EFD，∴∠EDF＝∠AEF，∴∠AEB＝∠EDF，∴tan∠EDF＝tan∠AEB＝＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．（2014•上海）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为2t（用含t的代数式表示）．【分析】根据翻折的性质可得CE＝C′E，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠EBC′＝30°，然后求出∠BGD′＝60°，根据对顶角相等可得∠FGE＝∠∠BGD′＝60°，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFG＝∠FGE，再求出∠EFG＝60°，然后判断出△EFG是等边三角形，根据等边三角形的性质表示出EF，即可得解．【解答】解：由翻折的性质得，CE＝C′E，∵BE＝2CE，∴BE＝2C′E，又∵∠C′＝∠C＝90°，∴∠EBC′＝30°，∵∠FD′C′＝∠D＝90°，∴∠BGD′＝60°，∴∠FGE＝∠BGD′＝60°，∵AD∥BC，∴∠AFG＝∠FGE＝60°，∴∠EFG＝（180°﹣∠AFG）＝（180°﹣60°）＝60°，∴△EFG是等边三角形，∵AB＝t，∴EF＝t÷＝t，∴△EFG的周长＝3×t＝2t．故答案为：2t．【点评】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出△EFG是等边三角形是解题的关键．7．（2013•上海）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC＝，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为．【分析】首先根据已知得出△ABC的高以及B′E的长，利用勾股定理求出BD即可．【解答】解：过点A作AQ⊥BC于点Q，∵AB＝AC，BC＝8，tanC＝，∴＝，QC＝BQ＝4，∴AQ＝6，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过B′点作B′E⊥BC于点E，∴B′E＝AQ＝3，∴＝，∴EC＝2，设BD＝x，则B′D＝x，∴DE＝8﹣x﹣2＝6﹣x，∴x2＝（6﹣x）2+32，解得：x＝，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：．故答案为：．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．8．（2012•上海）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为．【分析】由在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，利用三角函数，即可求得AC的长，又由△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，AD⊥ED，根据折叠的性质与垂直的定义，即可求得∠EDB与∠CDB的度数，继而可得△BCD是等腰直角三角形，求得CD的长，继而可求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AC＝＝＝，∵将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，∴∠ADB＝∠EDB，DE＝AD，∵AD⊥ED，∴∠CDE＝∠ADE＝90°，∴∠EDB＝∠ADB＝＝135°，∴∠CDB＝∠EDB﹣∠CDE＝135°﹣90°＝45°，∵∠C＝90°，∴∠CBD＝∠CDB＝45°，∴CD＝BC＝1，∴DE＝AD＝AC﹣CD＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．9．（2009•上海）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，M为边长BC上的点，连接AM，如图，如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是2．【分析】如图，作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，点D为AC的中点，根据折叠的性质得AD＝AB＝3，∠BAM＝∠CAM，则AC＝2AD＝6，根据角平分线定理得ME＝MF，然后利用面积法得到MF•AB+ME•AC＝AB•AC，即3ME+6ME＝3×6，解得ME＝2．【解答】解：如图，作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，点D为AC的中点，∵△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点D处，∴AD＝AB＝3，∠BAM＝∠CAM＝45°，∴AC＝2AD＝6，ME＝MF，∵S△ABM+S△AMC＝S△ABC，∴MF•AB+ME•AC＝AB•AC，∴3ME+6ME＝3×6，∴ME＝2，即点M到AC的距离是2．故答案为2．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．10．（2001•上海）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折至△AGE，那么△AGE与四边形AECD重叠部分的面积是2﹣2．【分析】阴影部分面积＝S△ABG﹣S△COG﹣S△ABE．【解答】解：在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，故AE＝，由折叠易得△ABG为等腰直角三角形，∴S△ABG＝BA•AG＝2，S△ABE＝1，∴CG＝2BE﹣BC＝2﹣2，∵AB∥CD，∴∠OCG＝∠B＝45°，又由折叠的性质知，∠G＝∠B＝45°，∴CO＝OG＝2﹣．∴S△COG＝3﹣2，∴重叠部分的面积为2﹣1﹣（3﹣2）＝2﹣2．【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，找到所求量的等量关系是解决问题的关键注意运用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．11．（2005•上海）如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB，AC分别相交于点D和点E，则折痕DE的长为1．【分析】先根据，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3求出AB的长，再根据图形翻折变换的性质可知DE⊥AB，AE＝BE＝AB，再在Rt△ADE中，由DE＝AE•tan∠A即可得出DE的长．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，∴AB＝＝＝2，∵△BDE是△ADE翻折而成，DE为折痕，∴DE⊥AB，AE＝BE＝AB＝×2＝，在Rt△ADE中，DE＝AE•tan∠A＝×tan30°＝×＝1．故答案为：1．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及三角函数的定义，熟知“折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等”是解答此题的关键．五．平移的性质（共1小题）12．（2020•上海）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFDC重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形，故选：A．【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．六．旋转的性质（共6小题）13．（2021•上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，OP＝2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为2﹣≤d≤1．【分析】由题意以及正方形的性质得OP过正方形ABCD各边的中点时，d最大，OP过正方形ABCD的顶点时，d最小，分别求出d的值即可得出答案．【解答】解：如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时d＝PE最大，OP过顶点A时，点O与边AB上所有点的连线中，OA最大，此时d＝PA最小，如图①：∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，∴OE＝1，∵OP＝2，∴d＝PE＝1；如图②：∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，∴OA＝，∵OP＝2，∴d＝PA＝2﹣；∴d的取值范围为2﹣≤d≤1．故答案为：2﹣≤d≤1．【点评】本题考查正方形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大、最小时点P的位置是解题的关键．14．（2017•上海）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180），如果EF∥AB，那么n的值是45．【分析】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．【解答】解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE＝∠A＝45°，∴旋转角n＝45时，EF∥AB．②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A＝180°，∴∠ACE＝135°∴旋转角n＝360﹣135＝225，∵0＜n＜180，∴此种情形不合题意，故答案为45【点评】本题考查旋转变换、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．（2016•上海）如图，矩形ABCD中，BC＝2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为．【分析】设AB＝x，根据平行线的性质列出比例式求出x的值，根据正切的定义求出tan∠BA′C，根据∠ABA′＝∠BA′C解答即可．【解答】解：设AB＝x，则CD＝x，A′C＝x+2，∵AD∥BC，∴＝，即＝，解得，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1（舍去），∵AB∥CD，∴∠ABA′＝∠BA′C，tan∠BA′C＝＝＝，∴tan∠ABA′＝，故答案为：．【点评】本题考查的是旋转的性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义，掌握旋转前、后的图形全等以及锐角三角函数的定义是解题的关键．16．（2011•上海）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0°＜m＜180°）后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝80°或120°．【分析】本题可以把图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B′，交直角边AC于B″，此时DB′＝DB，DB″＝DB＝2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt△B″CD中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数．【解答】解：如图，在线段AB取一点B′，使DB＝DB′，在线段AC取一点B″，使DB＝DB″，∴①旋转角m＝∠BDB′＝180﹣∠DB′B﹣∠B＝180°﹣2∠B＝80°，②在Rt△B″CD中，∵DB″＝DB＝2CD，∴∠CDB″＝60°，旋转角∠BDB″＝180°﹣∠CDB″＝120°．故答案为：80°或120°．【点评】本题考查了旋转的性质．关键是将图形的旋转转化为点的旋转，求旋转角．17．（2010•上海）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为1或5．【分析】题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况，即一个是逆时针旋转，一个顺时针旋转，根据旋转的性质可知．【解答】解：旋转得到F1点，∵AE＝AF1，AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE≌△ABF1，∴F1C＝1；旋转得到F2点，同理可得△ABF2≌△ADE，∴F2B＝DE＝2，F2C＝F2B+BC＝5．【点评】本题主要考查了旋转的性质．18．（2000•上海）在等腰三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm．如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，那么点B′与点B的原来位置相距2cm．【分析】根据旋转的性质可知，点B′与B重合，那么点B′与点B的原来位置的距离是2OB，由勾股定理可得OB的大小．【解答】解：如图，∵∠C＝90°，BC＝2cm，O为AC的中点，∴OB＝，∵根据旋转的性质可知，点B与B′重合，∴点B′与点B的原来位置的距离B′B＝2cm．故答案为2．【点评】此题主要考查等腰直角三角形的性质和旋转的性质，得出BB′＝2OB是关键．七．中心对称图形（共2小题）19．（2017•上海）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．菱形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．等腰梯形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、菱形既是轴对称又是中心对称图形，故本选项正确；B、等边三角形是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误；C、平行四边形不是轴对称，是中心对称图形，故本选项错误；D、等腰梯形是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．20．（2000•上海）在函数、y＝x+5、y＝x2图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．【解答】解：y＝x+5的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y＝x2图象不是中心对称图形；只有函数符合条件．故选：B．【点评】本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质．八．关于原点对称的点的坐标（共1小题）21．（2001•上海）点A（1，3）关于原点的对称点坐标是（﹣1，﹣3）．【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【解答】解：根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可知点A（1，3）关于原点的对称点坐标是（﹣1，﹣3）．【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．九．利用旋转设计图案（共1小题）22．（2006•上海）在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性．如图是一个破损花窗的图形，请把它补画成中心对称图形．如答图．【分析】本题可通过画中心对称图形来完成，找出关键点这里半径长，画弧，连接关键点即可．【解答】解：【点评】本题考查画中心对称图形．比较简单，关键是利用中心对称图形的性质画图．一十．比例线段（共1小题）23．（2000•上海）已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是12（只需填写一个数）．【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．【解答】解：根据比例的性质列方程，设这个数是x，则根据题意可知3x＝6×6，解得x＝12，或6x＝9，或x2＝18，故填12．【点评】主要考查了线段的比．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的性质：a：b＝b：c，即b2＝ac．一十一．平行线分线段成比例（共4小题）24．（2013•上海）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5【分析】先由AD：DB＝3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC＝BD：AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：CB＝CE：AC，则可求得答案．【解答】解：∵AD：DB＝3：5，∴BD：AB＝5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC＝BD：AB＝5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB＝CE：AC＝5：8．故选：A．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．25．（2009•上海）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根据平行线分线段成比例确定出对应线段，进行判断即可．【解答】解：由平行线分线段成比例可知是被平行线所截的线段才有可能是对应线段，∴CD、EF不是对应线段，故C、D不正确；∵BC和AD对应，CE和DF对应，∴＝，故A正确；故选：A．【点评】本题主要考查平行线段成比例定理，确定出对应线段是解题的关键．26．（2021•上海）如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，则＝．【分析】过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，由四边形BMDN是矩形，可得DM＝BN，＝，根据AD∥BC，可得＝＝，＝，即可得到＝．【解答】解：过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，如图：∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，∴四边形BMDN是矩形，DM＝BN，∵＝，∴＝，∴＝，∵AD∥BC，∴＝＝，∴＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定与性质，掌握同（等）底三角形面积比等于高之比，同（等）高的三角形面积比等于底之比是解题的关键．27．（2012•上海）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF＝∠DAE，AE与BD交于点G．（1）求证：BE＝DF；（2）当＝时，求证：四边形BEFG是平行四边形．【分析】（1）证得△ABE与△AFD全等后即可证得结论；（2））利用＝得到，从而根据平行线分线段成比例定理证得FG∥BC，进而得到∠DGF＝∠DBC＝∠BDC，最后证得BE＝GF，利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADF，∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF＝∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE＝∠DAF，∴△BAE≌△DAF∴BE＝DF；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△ADG∽△EBG∴＝又∵BE＝DF，＝∴＝＝∴，又∠BDC＝∠GDF故△BDC∽△GDF，再由对应角相等有∠DBC＝∠DGF∴GF∥BC（同位角相等则两直线平行）∴∠DGF＝∠DBC∵BC＝CD∴∠BDC＝∠DBC＝∠DGF∴GF＝DF＝BE∵GF∥BC，GF＝BE∴四边形BEFG是平行四边形【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质，特别是第二问如何利用已知比例式进行转化是解决此题的关键．一十二．相似三角形的性质（共1小题）28．（2008•上海）如果两个相似三角形的相似比是1：3，那么这两个三角形面积的比是1：9．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：3，又∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴这两个三角形面积的比是1：9．故答案为：1：9．【点评】本题考查了相似三角形的性质，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．一十三．相似三角形的判定（共2小题）29．（2010•上海）下列命题中，是真命题的为（）A．锐角三角形都相似 B．直角三角形都相似 C．等腰三角形都相似 D．等边三角形都相似【分析】可根据相似三角形的判定方法进行解答．【解答】解：A、锐角三角形的三个内角都小于90°，但不一定都对应相等，故A选项错误；B、直角三角形的直角对应相等，但两组锐角不一定对应相等，故B选项错误；C、等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，故C选项错误；D、所有的等边三角形三个内角都对应相等（都是60°），所以它们都相似，故D选项正确；故选：D．【点评】此题考查的是相似三角形的判定方法．需注意的是绝对相似的三角形大致有三种：①全等三角形；②等腰直角三角形；③等边三角形．30．（2007•上海）如图，E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交边CD于点F．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：△AFD∽△EFC（或△EFC∽△EAB，或△EAB∽△AFD）．【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB∥CD∴△AFD∽△EFC∽△EAB．故答案为：△AFD∽△EFC（答案不唯一）．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．一十四．相似三角形的判定与性质（共10小题）31．（2018•上海）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是．【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH＝3，设正方形DEFG的边长为x，则GF＝x，MH＝x，AM＝3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得＝，然后解关于x的方程即可．【解答】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，∵△ABC的面积是6，∴BC•AH＝6，∴AH＝＝3，设正方形DEFG的边长为x，则GF＝x，MH＝x，AM＝3﹣x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝，即正方形DEFG的边长为．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．32．（2012•上海）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED＝∠B，如果AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为3．【分析】由∠AED＝∠B，∠A是公共角，根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可证得△ADE∽△ACB，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，然后由AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，即可求得AB的长．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A是公共角，∴△ADE∽△ACB，∴，∵△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，∴△ABC的面积为9，∵AE＝2，∴，解得：AB＝3．故答案为：3．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方．33．（2010•上海）如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，若AC＝2，AD＝1，则DB＝3．【分析】由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答．【解答】解：∵∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴，∵AC＝2，AD＝1，∴，解得DB＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查相似三角形的性质及对应边长成比例，难点在于找对应边．34．（2020•上海）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．【分析】（1）由菱形的性质得出CD＝CB，∠D＝∠B，证明△CDF≌△CBE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DCF＝∠BCE，得出∠H＝∠BCE，则可得出结论．（2）利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，∵DF＝BE，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠DCF＝∠BCE，∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF，∴∠H＝∠BCE，∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH．（2）证明：∵BE2＝AB•AE，∴，∵CB∥DG，∴＝，∴＝，∵BC＝AB，∴AG＝BE，∵△CDF≌△CBE，∴DF＝BE，∴AG＝DF．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．35．（2019•上海）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．【分析】（1）连接BC，根据AB＝AC，OB＝OA＝OC，即可得出AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线性质求出即可；（2）根据相似三角形的性质和判定求出∠ABO＝∠ADB＝∠BAO，求出BD＝AB，再根据菱形的判定推出即可．【解答】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC，∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，∵OB＝OA＝OC，∴O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BD＝CD；（2）如图2，连接OB，∵AB2＝AO•AD，∴＝，∵∠BAO＝∠DAB，∴△ABO∽△ADB，∴∠OBA＝∠ADB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠OAB＝∠BDA，∴AB＝BD，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝AC＝BD＝CD，∴四边形ABDC是菱形．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．36．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF＝AE﹣BE；（2）连接BF，如果＝．求证：EF＝EP．【分析】（1）利用正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝90°，根据等角的余角相等得到∠1＝∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE＝AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用＝和AF＝BE得到＝，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4＝∠3，再证明∠4＝∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF＝EP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA＝∠AFD＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE＝AF，∴EF＝AE﹣AF＝AE﹣BE；（2）如图，∵＝，而AF＝BE，∴＝，∴＝，∴△BEF∽△DFA，∴∠4＝∠3，而∠1＝∠3，∴∠4＝∠1，∵∠5＝∠1，∴∠4＝∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF＝EP．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．37．（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE＝CD•DE．【分析】（1）由平行四边形的性质得到BO＝BD，由等量代换推出OE＝BD，根据平行四边形的判定即可得到结论；（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO＝∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，∵OE＝OB，∴OE＝OD，∴∠OBE＝∠OEB，∠OED＝∠ODE，∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE＝180°，∴∠BEO+∠DEO＝∠BED＝90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE＝∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠CEO＝∠CDE，∵OB＝OE，∴∠DBE＝∠OEB，∴∠DBE＝∠CDE，∵∠BED＝∠DEC，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD•CE＝CD•DE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．38．（2014•上海）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE＝∠ABD．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）连接AE，交BD于点G，求证：＝．【分析】（1）证△BAD≌△CDA，推出∠ABD＝∠ACD＝∠CDE，推出AC∥DE即可；（2）根据平行得出比例式，再根据比例式的性质进行变形，即可得出答案．【解答】证明：（1）∵梯形ABCD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠BAD＝∠CDA，在△BAD和△CDA中∴△BAD≌△CDA（SAS），∴∠ABD＝∠ACD，∵∠CDE＝∠ABD，∴∠ACD＝∠CDE，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵AD∥BC，∴＝，＝，∴＝，∵平行四边形ACED，AD＝CE，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝．【点评】本题考查了比例的性质，平行四边形的判定，平行线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．39．（2012•上海）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD＝t，点E在第二象限，∠ADE＝90°，tan∠DAE＝，EF⊥OD，垂足为F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当∠ECA＝∠OAC时，求t的值．【分析】（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）关键是证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解；（3）如解答图，通过作辅助线构造一对全等三角形：△GCA≌△OAC，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值．【解答】解：（1）二次函数y＝ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），∴，解得，∴这个二次函数的解析式为：y＝﹣2x2+6x+8；（2）∵∠EFD＝∠EDA＝90°∴∠DEF+∠EDF＝90°，∠EDF+∠ODA＝90°，∴∠DEF＝∠ODA∴△EDF∽△DAO∴．∵，∴＝，∴，∴EF＝t．同理，∴DF＝2，∴OF＝t﹣2．（3）∵抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+6x+8，∴C（0，8），OC＝8．如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．∵∠ECA＝∠OAC，在△GCA与△OAC中，，∴△GCA≌△OAC，∴CG＝4，AG＝OC＝8．如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，∴EM＝OF＝t﹣2，AM＝OA+OM＝OA+EF＝4+t，由勾股定理得：∵AE2＝AM2+EM2＝；在Rt△AEG中，由勾股定理得：∴EG＝＝＝∵在Rt△ECF中，EF＝t，CF＝OC﹣OF＝OC﹣EM＝8﹣（t﹣2）＝10﹣t，CE＝CG+EG＝+4由勾股定理得：EF2+CF2＝CE2，即，解得t1＝10，t2＝6，∵当t＝10时，CF＝10﹣10＝0，∴不合题意舍去，∴t＝6．另解：延长CE至x轴交于点K．∵∠ECA＝∠OAC（已知）∴AK＝CK（等角对等边）设OK＝x，则AK＝4+x．在Rt△COK中，CO＝8，OK＝x根据勾股定理得，CK＝＝，∴根号64+x2＝4+x，解得x＝6，∵△CEF∽△CKO（两角对应相等）∴EF：KO＝CF：CO，即0.5t：6＝10﹣t：8，解得t＝6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和待定系数法求二次函数解析式等多个知识点，难度较大．第（3）问中，涉及到无理方程的求解，并且计算较为复杂，注意不要出错．40．（2011•上海）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．【分析】（1）本题需先根据已知条件得出AC的值，再根据CP⊥AB求出CP，从而得出CM的值．（2）本题需先根据EN，设出EP的值，从而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出＝，求出a的值，即可得出y关于x的函数关系式，并且能求出函数的定义域．（3）本题需先设EP的值，得出则EM和MP的值，然后分①点E在AC上时，根据△AEP∽△ABC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长；②点E在BC上时，根据△EBP∽△ABCC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴AC＝，＝，＝40，∵CP⊥AB，∴＝，∴＝，∴CP＝24，∴CM＝，＝，＝26；（2）∵，∴设EP＝12a，则EM＝13a，PM＝5a，∵EM＝EN，∴EN＝13a，PN＝5a，∵△AEP∽△ABC，∴＝，∴，∴x＝16a，∴a＝，∴BP＝50﹣16a，∴y＝50﹣21a，＝50﹣21×，＝50﹣x，∵当E点与A点重合时，x＝0．当E点与C点重合时，x＝32．∴函数的定义域是：（0＜x＜32）；（3）①当点E在AC上时，如图2，设EP＝12a，则EM＝13a，MP＝NP＝5a，∵△AEP∽△ABC，∴，∴，∴AP＝16a，∴AM＝11a，∴BN＝50﹣16a﹣5a＝50﹣21a，∵△AME∽△ENB，∴，∴＝，∴a＝，∴AP＝16×＝22，②当点E在BC上时，如图（备用图），设EP＝12a，则EM＝13a，MP＝NP＝5a，∵△EBP∽△ABC，∴＝，即＝，解得BP＝9a，∴BN＝9a﹣5a＝4a，AM＝50﹣9a﹣5a＝50﹣14a，∵△AME∽△ENB，∴，即＝，解得a＝，∴AP＝50﹣9a＝50﹣9×＝42．所以AP的长为：22或42．【点评】本题主要考查了相似三角形、勾股定理、解直角三角形的判定和性质，在解题时要注意知识的综合应是解本题的关键．一十五．相似三角形的应用（共1小题）41．（2020•上海）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为7米．【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴，∴＝，∴AC＝7（米），故答案为：7．图形是解题的关键．一十六．作图-相似变换（共1小题）42．（2001•上海）如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．答案如图．【分析】在4×4的方格纸中，使△A1B1C1与格点三角形ABC相似，根据对应边相似比相等，对应角相等，可知要画一个135度的钝角，钝角的两边只能缩小，又要在格点上所以要缩小为1和2，画出这样的两边长后，三角形的三点就确定了．【解答】解：如图【点评】本题主要考查了相似三角形的画法，根据的主要是相似三角形的性质．注意根据本题中的要求只能画缩小的相似图形．一十七．相似形综合题（共2小题）43．（2021•上海）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E．（1）当点E在CD上，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值；（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠DCA，由平行线的性质得出∠DAC＝∠ACB，由直角三角形的性质得出∠OBC＝∠OCB，根据相似三角形的判定定理可得出结论；②得出∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．过点D作DH⊥BC于点H，设AD＝CD＝2m，则BH＝AD＝2m，则可得出答案；（2）①如图3，当点E在AD上时，证明四边形ABCE是矩形．设AD＝CD＝x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案；②如图