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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数且的图象是()A. B.C. D.2.是平面上的一定点,是平面上不共线的三点,动点满足,,则动点的轨迹一定经过的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心3.等差数列的前项和为,若,,则数列的公差为()A.-2 B.2 C.4 D.74.已知偶函数在区间内单调递减,,,,则,,满足()A. B. C. D.5.已知函数,,且,则()A.3 B.3或7 C.5 D.5或86.设函数(,为自然对数的底数),定义在上的函数满足,且当时,.若存在,且为函数的一个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.7.的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为A.-40 B.-20 C.20 D.408.已知定义在上的函数的周期为4,当时,,则()A. B. C. D.9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B.3 C. D.410.双曲线的左右焦点为,一条渐近线方程为,过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,满足,则该双曲线的离心率为()A. B.3 C. D.211.已知平面向量满足与的夹角为,且,则实数的值为()A. B. C. D.12.已知等比数列的前项和为,且满足,则的值是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上,,是边长为2的正三角形,,则球的体积为__________.14.的展开式中常数项是___________.15.已知关于的方程在区间上恰有两个解,则实数的取值范围是________16.若,则的最小值是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知矩阵的一个特征值为4,求矩阵A的逆矩阵.18.(12分)已知函数,.(1)当时,求不等式的解集;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)已知椭圆的左焦点坐标为,,分别是椭圆的左,右顶点,是椭圆上异于,的一点,且,所在直线斜率之积为.(1)求椭圆的方程;(2)过点作两条直线,分别交椭圆于,两点(异于点).当直线,的斜率之和为定值时,直线是否恒过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理.20.(12分)已知数列{an}的各项均为正,Sn为数列{an}的前n项和,an2+2an=4Sn+1.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn,求数列{bn}的前n项和.21.(12分)已知曲线:和:(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.(1)求曲线的直角坐标方程和的方程化为极坐标方程;(2)设与,轴交于,两点,且线段的中点为.若射线与,交于,两点,求,两点间的距离.22.(10分)已知函数.(1)若函数,求的极值;(2)证明:.(参考数据:)

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】

先判断函数的奇偶性,再取特殊值,利用零点存在性定理判断函数零点分布情况,即可得解.【详解】由题可知定义域为,,是偶函数,关于轴对称,排除C,D.又,,在必有零点,排除A.故选:B.【点睛】本题考查了函数图象的判断,考查了函数的性质,属于中档题.2.B【解析】

解出,计算并化简可得出结论.【详解】λ(),∴,∴,即点P在BC边的高上,即点P的轨迹经过△ABC的垂心.故选B.【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用,根据条件中的角计算是关键.3.B【解析】

在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得,再由等差数列通项公式求得公差.【详解】在等差数列的前项和为,则则故选:B【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差,属于基础题.4.D【解析】

首先由函数为偶函数,可得函数在内单调递增,再由,即可判定大小【详解】因为偶函数在减,所以在上增,,,,∴.故选:D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递,属于中档题.5.B【解析】

根据函数的对称轴以及函数值,可得结果.【详解】函数,若,则的图象关于对称,又,所以或,所以的值是7或3.故选:B.【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题,属基础题6.D【解析】

先构造函数,由题意判断出函数的奇偶性,再对函数求导,判断其单调性,进而可求出结果.【详解】构造函数,因为,所以,所以为奇函数,当时,,所以在上单调递减,所以在R上单调递减.因为存在,所以,所以,化简得,所以,即令,因为为函数的一个零点,所以在时有一个零点因为当时,,所以函数在时单调递减,由选项知,,又因为,所以要使在时有一个零点,只需使,解得,所以a的取值范围为,故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题,难度较大.7.D【解析】令x=1得a=1.故原式=.的通项,由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80,由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为40,选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘,若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x,选3个提出;若第1个括号提出,从余下的括号中选2个提出,选3个提出x.故常数项==-40+80=408.A【解析】

因为给出的解析式只适用于,所以利用周期性,将转化为,再与一起代入解析式,利用对数恒等式和对数的运算性质,即可求得结果.【详解】定义在上的函数的周期为4,当时,,,,.故选:A.【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值,对数的运算性质,属于中档题.9.C【解析】

首先把三视图转换为几何体,该几何体为由一个三棱柱体,切去一个三棱锥体,由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.【详解】解:根据几何体的三视图转换为几何体为:该几何体为由一个三棱柱体,切去一个三棱锥体,如图所示:故:.故选:C.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式,考查了空间想象能力,属于基础题.10.A【解析】

设,直线的方程为,联立方程得到,,根据向量关系化简到,得到离心率.【详解】设,直线的方程为.联立整理得,则.因为,所以为线段的中点,所以,,整理得,故该双曲线的离心率.故选:.【点睛】本题考查了双曲线的离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力.11.D【解析】

由已知可得,结合向量数量积的运算律,建立方程,求解即可.【详解】依题意得由,得即,解得.故选:.【点睛】本题考查向量的数量积运算,向量垂直的应用,考查计算求解能力,属于基础题.12.C【解析】

利用先求出,然后计算出结果.【详解】根据题意,当时,,,故当时,,数列是等比数列,则,故,解得,故选.【点睛】本题主要考查了等比数列前项和的表达形式,只要求出数列中的项即可得到结果,较为基础.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

由题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直,则它的外接球就是棱长为的正方体的外接球,求出正方体的对角线的长,就是球的直径,然后求出球的体积.【详解】解:因为,为正三角形,所以,因为,所以三棱锥的三条侧棱两两垂直,所以它的外接球就是棱长为的正方体的外接球,因为正方体的对角线长为,所以其外接球的半径为,所以球的体积为故答案为:【点睛】此题考查球的体积,几何体的外接球,考查空间想象能力,计算能力,属于中档题.14.-160【解析】试题分析:常数项为.考点:二项展开式系数问题.15.【解析】

先换元,令,将原方程转化为,利用参变分离法转化为研究两函数的图像交点,观察图像,即可求出.【详解】因为关于的方程在区间上恰有两个解,令,所以方程在上只有一解,即有,直线与在的图像有一个交点,由图可知,实数的取值范围是,但是当时,还有一个根,所以此时共有3个根.综上实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查学生运用转化与化归思想的能力,方程有解问题转化成两函数的图像有交点问题,是常见的转化方式.16.8【解析】

根据,利用基本不等式可求得函数最值.【详解】,,当且仅当且,即时,等号成立.时,取得最小值.故答案为:【点睛】本题考查基本不等式,构造基本不等式的形式是解题关键.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17..【解析】

根据特征多项式可得,可得,进而可得矩阵A的逆矩阵.【详解】因为矩阵的特征多项式,所以,所以.因为,且,所以.【点睛】本题考查矩阵的特征多项式以及逆矩阵的求解,是基础题.18.(1)(2)【解析】

(1)当时,,当或时,,所以可转化为,解得,所以不等式的解集为.(2)因为,所以,所以,即,即.当时,因为,所以,不符合题意.当时,解可得,因为当时,不等式恒成立,所以,所以,解得,所以实数的取值范围为.19.(1)(2)直线过定点【解析】

(1),再由,解方程组即可;(2)设,,由,得,由直线MN的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系,代入计算即可.【详解】(1)由题意知:,又,且解得,,∴椭圆方程为,(2)当直线的斜率存在时,设其方程为,设,,由,得.则,(*)由,得,整理可得(*)代入得,整理可得,又,∴,即,∴直线过点当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,,,其中,∴,由,得,所以∴当直线的斜率不存在时,直线也过定点综上所述,直线过定点.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程以及直线与椭圆位置关系中的定点问题,在处理直线与椭圆的位置关系的大题时,一般要利用根与系数的关系来求解,本题是一道中档题.20.(1)an=2n+1;(2)2.【解析】

(1)根据题意求出首项,再由(an+12+2an+1)﹣(an2+2an)=4an+1,求得该数列为等差数列即可求得通项公式;(2)利用错位相减法进行数列求和.【详解】(1)∵an2+2an=4Sn+1,∴a12+2a1=4S1+1,即,解得:a1=1或a1=﹣1(舍),又∵an+12+2an+1=4Sn+1+1,∴(an+12+2an+1)﹣(an2+2an)=4an+1,整理得:(an+1﹣an)(an+1+an)=2(an+1+an),又∵数列{an}的各项均为正,∴an+1﹣an=2,∴数列{an}是首项为1、公差为2的等差数列,∴数列{an}的通项公式an=1+2(n﹣1)=2n+1;(2)由(1)可知bn,记数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=1•5•(2n+1)•,Tn=1•5••…+(2n﹣1)•(2n+1)•,错位相减得:Tn=1+2(•)﹣(2n+1)•=1+2,∴Tn()=2.【点睛】此题考查求等差数列的基本量,根据递推关系判定等差数列,根据错位相减进行数列求和,关键在于熟记方法准确计算.21.(1),;(2)1.【解析】

(1)利用正弦的和角公式,结合极坐标化为直角坐标的公式,即可求得曲线的直角坐标方程;先写出曲线的普通方程,再利用公式化简为极坐标即可;(2)先求出的直角坐标,据此求得中点的直角坐标,将其转化为极坐标,联立曲线的极坐标方程,即可求得两点的极坐标,则距离可解.【详解】(1):可整理为,利用公式可得其直角坐标方程为:,:的普通方程为,利用公式可得其极坐标方程为(2)由(1)可得的直角坐标方程为,故容易得,,∴,∴的极坐标方程为,把代入得,.把代入得,.∴,即,两点间的距离为1.【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的转化,涉及参数方程转化为普通方程,以及在极坐标系中求两点之间的距离,属综合基础题.22.(1)见解析;(1)见证明【解析】

(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(1)问题转化为证ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,根据xlnx≤x(x﹣1),问题转化为只需证明当x>0时,ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),根据函数的单调性证明即可.【详解】(1),,当,,当,,在上递增,在上递减,在取得极大值,极大值为,无极大值.(1)要证f(x)+1<ex﹣x1.即证ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,先证明lnx≤x﹣1,取h(x)=lnx﹣x+1,则h′(x)=,易知h(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,故h(x)≤h(1)=0,即lnx≤x﹣1,当且仅当x=1时取“=”,故xlnx≤x(x﹣1),ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1,故只需证明当x>0时,ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),则k′(x)=ex﹣4x+1,令F(x)=k′(x),则F′(x)=ex﹣4,令F′(x)=0,解得:x=1ln1,∵F′(x)递增,故x∈(0,1ln1]时,F′(x)≤0,F(x)递减,即k′(x)递减,x∈(1ln1,+∞)时,F′(x)>0,F(x)递增,即k′(x)递增,且k′(1ln1)=5﹣8ln1<0,k

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