7.9用空间向量求空间角和距离

7.9用空间向量求空间角和距离课标要求精细考点素养达成1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用2.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的距离计算问题利用空间向量求异面直线所成的角通过求异面直线所成的角培养直观想象、数学运算素养利用空间向量求直线与平面所成的角通过求直线与平面所成的角培养直观想象、数学运算素养利用空间向量求平面与平面所成的角通过求平面与平面所成的角培养直观想象、数学运算素养利用空间向量求距离通过求解直线与直线、直线与平面、平面与平面的距离计算问题培养直观想象、数学运算素养1.(概念辨析)下列结论正确的是().A.两条直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角B.直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角C.两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角D.两条异面直线所成的角的范围是0,π2,直线与平面所成角的范围是2.(对接教材)如图,已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直,AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120°,则二面角ABDC的余弦值为.

3.(对接教材)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则点B到平面B1CD1的距离为.

4.(易错自纠)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,侧棱长为22,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为.

5.(真题演练)(2023·新高考Ⅰ卷)如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.点P在棱BB1上,当二面角PA2C2D2为150°时,求B2P.利用空间向量求异面直线所成的角典例1在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为().110 B.25 C.3010 用向量法求异面直线所成角一般有两种方法1.基底法的一般步骤:(1)选择已知的三个不共线向量作为基底;(2)将所求的两条直线的方向向量用基底表示;(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;(4)两条异面直线所成角的余弦值等于两个向量夹角余弦值的绝对值.2.建系法的一般步骤:(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;(2)分别确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量;(3)利用向量的夹角坐标公式求出向量夹角的余弦值;(4)两条异面直线所成角的余弦值等于两个向量夹角余弦值的绝对值.训练1如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,AF=λAD,若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为3210,则实数λ的值为利用空间向量求直线与平面所成的角典例2如图,在三棱锥SBCD中,平面SBD⊥平面BCD,A是线段SD上的点,△SBD为等边三角形,∠BCD=30°,CD=2DB=4.若直线BA与平面SCD所成角的正弦值为4195用向量法求直线与平面所成的角的主要方法1.分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).2.通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角.训练2如图,四棱锥PABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.利用空间向量求平面与平面所成的角典例3如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD,△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO=66(1)求证:PA⊥平面PBC.(2)求二面角BPCE的余弦值.1.用法向量求二面角的四个步骤:(1)建立适当的坐标系,写出相应点的坐标;(2)分别求出两个半平面的法向量n1,n2;(3)设二面角的平面角为θ,则|cosθ|=|cos<n1,n2>|;(4)根据图形判断θ是钝角还是锐角,从而求出θ(或其三角函数值).2.利用与棱垂直的直线的方向向量求二面角的方法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.训练3(2023·新高考Ⅱ卷)如图,在三棱锥ABCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.(1)证明:BC⊥DA.(2)点F满足EF=DA,求二面角DABF的正弦值.利用空间向量求距离典例4(1)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为BC和CD的中点,则两条平行线EF和B1D1的距离为.

(2)已知长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,E,F分别为BB1,CD的中点,则点F到平面A1D1E的距离为.

用空间向量求空间距离的方法(1)求点到直线的距离有三种方法(该点与直线上的一点为端点的向量为参考向量):①求参考向量在直线与其同一平面内的法向量上的投影;②求参考向量与直线方向向量的夹角的正弦值与参考向量模的积;③设过点P的直线l的方向向量为单位向量n,A为直线l外一点,点A到直线l的距离d=|PA(2)点到平面的距离:设A为平面α内的一点,n为平面α的法向量,P为平面α外一点,点P到平面α的距离d=|AP用向量法求点P到平面α的距离的三个步骤:①在平面α内取一点A,确定向量PA的坐标表示;②确定平面α的法向量n;③代入公式d=|PA(3)平行线间距离转化为点到直线的距离,线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.训练4(1)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为().A.36 B.33 C.23(2)如图,在正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中,AA1=2AB=2,则BC到平面ADC1B1的距离为.

空间轨迹问题立体几何中的轨迹问题既是热点问题,也是难点问题,既有定性判断,也有定量计算,轨迹可能是线段、圆弧以及圆锥曲线,还可以是圆面、球面等等,多出现在多选题中,难度一般较大.典例(多选题)如图,设Q是正方体底面ABCD内一动点,若直线D1Q与直线D1C所成的角为θ0<θA.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆处理空间轨迹问题主要方法:1.几何法:运用曲线的定义及性质,定性判断曲线类型;2.解析法:通过建系求出动点的坐标满足的方程,再判断轨迹的类型,将几何问题代数化.处理空间轨迹问题主要思想:全域思想,先找出轨迹的完整图形,再通过平面截取,将空间问题平面化.训练(多选题)如图,圆柱OO1的底面半径和母线长均为3,AB是底面直径,点C在圆O上且OC⊥AB,点E在母线BD上,BE=2,点F是上底面的一个动点,则().A.存在唯一的点F,使得AF+FE=213B.若AE⊥CF,则点F的轨迹长为4C.若AF⊥FE,则四面体ACEF的外接球的表面积为40πD.若AF⊥FE,则点F的轨迹长为26π一、单选题1.在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=2,BC=2AB=4,且四边形ABCD是矩形,E是PD的中点,则异面直线BE与PC所成角的余弦值是().A.618 B.26 C.618如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为().A.12 B.23 C.33 3.如图,在四棱锥SABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥CD,AD⊥CD,SD=CD,AB=AD,CD=2AD,M是BC的中点,N是线段SA上的点,设MN与平面SAD所成的角为α,则sinα的最大值为().A.357 B.337C.24.如图,点C在圆锥PO的底面圆O上,AB是直径,AB=8,∠BAC=30°,圆锥的母线与底面所成的角为60°,则点A到平面PBC的距离为().A.855 B.26C.8155二、多选题5.如图,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,AB=2,BC=23,AC=4,点A到平面PBC的距离为45A.PA=4B.三棱锥PABC的外接球的表面积为32πC.直线AB与直线PC所成角的余弦值为2D.AB与平面PBC所成角的正弦值为2(2023·江苏宿迁期末市统测)如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱长AA1=3,P为底面ABCD内的动点,且A1P与BB1所成的角为30°,则下列命题正确的是().A.动点P的轨迹长度为πB.当B1P∥平面A1C1D时,B1P到平面A1C1D的距离为7C.直线C1P与底面ABCD所成角的最大值为πD.二面角PA1C1D的范围是π三、填空题7.(2023·江苏苏州统考)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA=90°,AC=CC1=2,M是A1B1的中点,以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.若A1B⊥C1M,则异面直线CM与A8.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=AB=2,BC=1,点P在侧面A1ABB1上,若点P到直线AA1和CD的距离相等,则A1P的最小值是.

四、解答题9.(2024·江苏镇江期初考试)如图,已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,AA1=6,AB=4,∠BAD=60°,E为线段B1D1的中点.求CE与平面BC1D所成角的正弦值.(2023·江苏常州联考)如图所示的几何体ABCDE中,平面DAB⊥平面EAB,AB=AD=AE=2BC=2,BE=BD=22,CB∥DA,若M为CE的中点,N