专题19.1.1变量与函数（备课件）八年级数学下册系列（人教版）

19.1函数第十九章一次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结

八年级数学下册（人教版）

教学课件19.1.1变量与函数情境引入学习目标1.了解变量与常量的意义.（重点）2.在实际问题中，会区分常量与变量，能够建立变量之间的关系式.（难点）3.了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系．4.能根据简单的实际问题写出函数解析式，并确定自变量的取值范围．（重点、难点）5.会根据函数解析式求函数值.早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜，说明__________随______的变化而变化.高处不胜寒，说明____________随____________的变化而变化.天气温度时间高山气温海拔高度

万物皆变，大到天体、小到分子都处在不停的运动变化之中,如何从数学的角度来刻画这些运动变化并寻找规律呢?讲授新课常量与变量一汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，填下面的表:请说明你的道理：60120180240300问题一速度×时间路程=____________1．在以上这个过程中，变化的量是________________．不变化的量是_____________．2．试用含t的式子表示s．s=_______．时间t、速度60千米/时60t

这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程.路程sst问题二每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？若设一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y？1.早场票房收入=日场票房收入=晚场票房收入=请说明道理：票房收入=10×205=2050（元）10×150=1500（元）10×310=3100（元）售价×售票张数10x2．在以上这个过程中，变化的量是________________________．不变化的量是_________．3．试用含x的式子表示y，y=_________

售票张数x、票房收入y售价10元yx这个问题反映了票房收入____随售票张数_____的变化过程．S=πR2圆面积S与圆的半径R之间的关系式是————————；

其中变化的量是—————；不变化的量是————————.πS，R如图所示，圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径R分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少？怎样用半径r来表示面积S?问题三圆的面积S半径R这个问题反映了

_________随________的变化过程．注意：此处的2是一种运算数值发生变化的量变量数值始终不变的量常量上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？思考归纳S=60ty=10x变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.

常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.请指出上面各个变化过程中的常量、变量.y=5–xS=πr2在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：发生了变化和始终不变.知识要点典例精析例

指出下列事件过程中的常量与变量(1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是

，变量是

；(2)周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是

，变量是

；(3)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式中，其中常量是

，变量是

；5a，m2，πC，r注意：π是一个确定的数，是常量S，h指出下列事件过程中的变量和常量：

（1）汽油的价格是7.4元/升，加油

x

升，车主加油付油费为

y元；

（2）小明看一本200页的小说，看完这本小说需要t天，平均每天所看的页数为

n；

（3）用长为40cm的绳子围矩形，围成的矩形一边长为

xcm，其面积为

Scm2．（4）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β=90－α.练一练例

阅读并完成下面一段叙述：⒈某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是

,变量是

.⒉s米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间为t分，其中常量是

,变量是

.3.根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的论：

.

在不同的条件下，常量与变量是相对的at，ssa，t

区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.方法

怎样用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度

L(cm)?例

弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：解：由题意可知m每增加1，L增加0.5，所以L=10+0.5m.重物的质量(kg)12345弹簧长度(cm)10.51111.51212.5确定两个变量之间的关系二

则用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度

L(cm)为

.如果弹簧原长为12cm，每1kg重物使弹簧压缩0.5cm，L=12-0.5m练一练函数的相关概念三想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？

情景一下图反映了摩天轮上的一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的关系.t/min012345…h/m…(1)根据左图填表：(2)对于给定的时间t，相应的高度h能确定吗？10374537310

瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？

填写下表：

12345……1361015对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？有几个y值和它对应？层数n物体总数y唯一一个y值情景二一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到

-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273，T≥0.(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？(2)给定任一个大于-273℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？230K、246K、273K、291K唯一一个T值解：当t=-43时，T=-43+273=230（K）情景三思考：上面的三个问题中，各变量之间有什么共同特点？①时间

t

、相应的高度h

；②层数n、物体总数y；③摄氏温度t

、热力学温度T.共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.

一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.

如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.知识要点

函数一语，起用于公元1692年，最早见自德国数学家莱布尼兹的著作.他是德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。知识拓展填表并回答问题：（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？答：

.

（2）y是x的函数吗？为什么？x14916y=+2x2和－28和－818和－1832和－32不是答：不是，因为y的值不是唯一的.练一练关键词：两个变量，给一个x，得一个y.易错点：顺序不要反.典例精析例

下列关于变量x，y的关系式：

y=2x+3；

y=x2+3；

y=2|x|；④；⑤y2-3x=10，其中表示y是x的函数关系的是

．

判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.方法一个x值有两个y值与它对应做一做下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量.（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之变化；（2）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积y

（单位：m2）随这个村人数n的变化而变化；（3）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为x，它对应的实数为y，y随x的变化而变化．

解：（1）S是x的函数，其中x是自变量.（2）y是n的函数，其中n是自变量.（3）y不是x的函数.例如，到原点的距离为1的点对应实数1或-1,例

已知函数(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；(2)求当x取什么值时，函数的值为0.把自变量x的值带入关系式中，即可求出函数的值.解：（1）当x=2时，y=;

当x=3时，y=;

当x=-3时，y=7.

（2）令解得x=

即当x=

时，y=0.

问题：请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：（1）汽车以60km/h

的速度匀速行驶，行驶的时间为t（单位：h），行驶的路程为s（单位：km）；（2）多边形的边数为n，内角和的度数为y．问题（1）中，t取-2有实际意义吗？

问题（2）中，n取2有意义吗？确定自变量的取值范围四根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？

在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．例

汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.（1）写出表示y与x的函数关系的式子.解:(1)函数关系式为:y=50－0.1x0.1x表示的意义是什么？叫做函数的解析式（2）指出自变量x的取值范围；(2)由x≥0及50－0.1x≥0

得0≤x≤500∴自变量的取值范围是0≤x≤500确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.归纳汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少油？(3)当x=200时,函数

y的值为y=50－0.1×200=30.因此,当汽车行驶200km时,油箱中还有油30L.想一想：下列函数中自变量x的取值范围是什么？.0.-1.-2-2x取全体实数使函数解析式有意义的自变量的全体.课堂练习

【答案】B【点睛】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．2．（2022·安徽·全椒县隆兴中学一模）刘老师每天从家去学校上班行走的路程为1200米，某天他从家去学校上班时以每分钟40米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟50米的速度行走完了剩下的路程，那么刘老师距离学校的路程（米）与他行走的时间t（分）（t＞15）之间的函数关系为（

）A．y=-50t+1350 B．y=50t-150C．y=-40t+1350 D．y=-10t+1350【答案】A【详解】解：∵以每分钟40米的速度行走了前半程，∴以每分钟40米的速度行走了600米，∴600÷40＝15（分），∴剩下路程所需时间为（t﹣15）分，∴1200﹣y＝600+50（t﹣15），整理得y＝﹣50t+1350，故选：A．【点睛】本题考查函数关系式，能够通过题中条件获取信息，并能将所得信息转化为数学关系式是解题的关键．【答案】A【详解】解：∵输入x的值是4时，输出的y的值为7，∴7=2×4+b，解得：b=-1，若输入x的值是2，则输出的y的值是：y=-1×2+3=1．故选：A．【点睛】此题主要考查了函数值，正确得出b的值是解题关键．

【答案】x≠-2【详解】由题意得：x+2≠0，解得：x≠-2．故答案为：x≠-2．【点睛】本题主要考查的是函数自变量的取值范围，明确函数表达式里有分式时，分母不能为零，是解题的关键．

【答案】x≥0且x≠1【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．6．（2022·贵州贵阳·模拟预测）如图，用大小相等的小正方形按一定规律拼成一组图形，则第n个图形中小正方形的个数y与n的关系式为___________．【答案】y＝n2＋2n

7．（2021·山东泰安·期末）如图所示，在一个边长为10cm的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？(2)如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积ycm2，请写出y与x的关系式；(3)当小正方形的边长由1cm变化到2.5cm时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？【答案】(1)自变量是小正方形的边长，因变量为阴影部分的面积(2)y=100-4x2(3)由96cm2变为75cm2【解析】【分析】（1）