2022-上半年教资统考《高中数学》真题

2022年上半年教师资格统考《数学学科（高中）》试题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.下列选项中，运算结果一定是无理数的是（）。

A.有理数与无理数的和

B.有理数与有理数的差

C.无理数与无理数的和

D.无理数与无理数的差

2.在空间直角坐标系中，由参数方程听确定的曲线的一般方程是（）。

A.

B.

C.

D.

3.已知空间直角坐标与球坐标的坐标变换公式为

A.柱面B.

圆面C.

半平面D.

半锥面

4.设A为n阶方阵，B是A经过若干次初等行变换后得到的矩阵，则下列结论正确的是（）。

A.1A|=|B|

B.1A|^|B|

C.若|A|=0,则一定有⑻=0

D.若|A|〉0,则一定有|B|〉0

5.

A.-1

B.0

C.1

D.兀

6.有三个线性无关的特征向量，入=2是A的二重特征根，则（）。A.x=-2.尸2

B.x=l,y=-l

C.x=2,y=-2

D.x=-l,y=l

7.下列表述属于数学直观想象素养的是（）。

①利用图形描述，分析数学问题；

②借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化和运动规律；

③建立形与数的关系，构建数学问题直观模型，探索解决问题的思路；

④在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，建立模型。

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④

8.下列描述为演绎推理的是（）。

A.从一般到特殊的推理

B.从特殊到一般的推理

C.通过实验验证结论的推理

D.通过观察猜想得到结论的推理

二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）

9.一次实践活动中，某班甲、乙两个小组各20名学生在综合实践基地脱玉米粒，一天内每人完

成脱粒数量（千克）的数据如下：

甲组：57,59,63,63,64,71,71,71,72,75,

75,78,79,82,83,83,85,86,86,89„

乙组：50,53,57,62,62,63,65,65,67,68,

69,73,76,77,78,85,85,88,94,96„

问题：

⑴分别计算甲、乙两组学生脱粒数量（千克）的中位数；（2分）

（2）比照甲、乙两组数据，请你给出2种信息，并说明实际意义。（5分）

10.在空问直角坐标系下，试判定直线

系，并求这两条直线间的距离。

11.在平面直角坐标系下，

(1)三次多项式函数的图像过四个点Pl(0,1),P2(l,3),P3(-1,3),P4(2,15),求该三

次多项式函数的表达式；(4分)

(2)设Pi(xi,yi)(i=l,2,•••,n)是平面上满足条件xl〈x2〈…〈xn的n个点，则由这n个点

所唯一确定的多项式函数的最高次数是多少喻要说明理由。(3分)

12.高中数学课程是培养公民素质的基础性课程，简述“基础性”的含义，并举例说明。

13.评价学生的数学学习应该采用多样化的方式，请列举四种不同类型的评价方式。

三、解答题(本大题1小题，10分)

14.设R2为二维欧氏平面，F是R2到R2的映射，如果存在一个实数P,0<P<L使得对于

任意的P,QCR2,有d(F(P),F(Q))Wpd(P,Q)(其中d(P,Q)表示P,Q两点间的距离)，

则称F是压缩映射。

设映射T：R2->R2

(1)证明：映射T是压缩映射；(4分)

⑵设P0=P0(x0,y0)为R2中任意一点，令Pn=T(Pn-l),n=l,2,3,­••,证明：当n-8时,

(6分)

四、论述题(本大题1小题，15分)

15.函数是中学数学课程的主线，请结合实例谈谈如何用函数的观点来认识中学数学课程中的方

程、不等式、数列等内容。

五、案例分析题(本大题1小题，20分)

16.案例：

下面提供的案例是教师A和教师B在《方程的根与函数的零点》教学中的“课堂提问”。

问题：

⑴请对两位教师的课堂提问进行评价，并简述理由；（15分）

⑵请对两位教师“概念引入”环节的课堂提问给出改进建议。（5分）

六、教学设计题（本大题1小题，30分）

17.“简单随机抽样（第一课时）”的教学目标设计如下。

目标一：学会从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题，理解随机抽样的必要

性：

目标二：结合具体的实际问题情境，体会简单随机抽样的重要性；

目标三：以“问题链”的形式理解样本是否具有代表性。

要求：

⑴请针对上述教学目标，完成下列任务：

①根据教学目标一，设计两个问题，并说明设计意图；（8分）

②根据教学目标二，给出一个实例，并说明设计意图；（4分）

③根据教学目标三，设计“问题链”（至少包含两个问题），并说明设计意图。（6分）

（2）请针对“简单随机抽样”的内容，回答下列问题：

①这节课的教学重点是什么？（4分）

②作为高中阶段“统计”学习的起始课，其难点是什么？（4分）

③这节课对后续哪些内容的学习有直接影响？（4分）

2022年上半年教师资格统考《数学学科（高中）》试题

答案解析

一、单选题

LA【解析】

本题考查有理数与无理数的性质。（1）有理数与有理数：和、差、积、商均为有理数（求商时

除数不为零）。（2）有理数与无理数：①一个有理数和一个无理数的和、差为无理数；②一个

非零有理数与一个无理数的积、商为无理数。（3）无理数与无理数：和、差、积、商可能是有理

数，也可能是无理数。故本题选Ao

2.B【解析】

本题考查空间曲线的方程。由

所以将参数方程化成一般方程式为故本题选B。

3.D【解析】

本题考查直角坐标与球坐标变换。

（方法一）设球坐标中任意一点P（P,0,）,根据题目中空间直角坐标与球坐标的变换公

式可知，表示原点。与点P之间的径向距离，。表示0P'到0P的有向角，其中0P'是0P

在xOy坐标面上的投影，表示Ox轴到0P'的有向角，如图1所示。因此，9=表示以

原点为顶点，以射线0P为母线，以z轴为中心轴的半锥面，如图2所示。故本题选D。

4.C【解析】

本题考查矩阵初等变换及行列式的性质。若n阶矩阵A作如下三种行（列）变换得到矩阵B：

①互换矩阵的两行（列）；②用一个非零数k乘矩阵的某一行（列）；③把矩阵某一行（列）的k倍

加到另一行（列）上。则对应行列式的关系依次为⑻壬|A|,闾三k|A|,|B|=|A|,所以若n阶

矩阵A经若干次初等变换得到矩阵曰，则有|B|=k|A1,k是一个非零常数。因此当|A|=0时，

定有|B|=k|A|=0。故本题选C。

5.B【解析】

本题考查泰勒级数的相关知识。因为

6.【解析】

本题考查矩阵特征向量的相关知识。因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量，且入=2是A

的二重特征根，所以齐次线性方程组（2E-A）x=0有两个线性无关的解向量，则3-r（2E-A）=2,

7.A【解析】

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，

理解和解决数学问题的素养。主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运

动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探

索解决问题的思路。④中的描述属于数学建模素养。

8.【解析】

演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事物应遵循的规律，即从

一般到特殊的推理。归纳推理是由个别、特殊到一般的推理，通过实验验证结论和通过观察

猜想得到结论的推理，都是归纳推理。故本题选Ao

二、简答题

9.【解析】

(1)根据中位数的定义可知，甲组学生脱粒数量的中位数是，乙组学生脱粒数量的

中位数是。

(2)①通过两组数据能够求出甲、乙两组学生脱粒数量的平均值甲=74.6,乙=71.65根

据平均数的大小比较可知，甲组脱玉米粒速度更快。

②根据两组数据的波动情况，能够看出甲组数据更为稳定，而乙组数据波动很大。进而可知，

甲组学生的脱玉米粒能力差不多，而乙组学生脱玉米粒的能力存在很大的个体差异性。10.

【解析】

本题考查空间直线的位置关系、异面直线之间的距离的计算。

1L【解析】

(1)设三次多项式的表达式为

⑵平面上n个不同的点所唯一确定的多项式函数的最高次数为n-l»

1个未知量ai(i=O,1,2,m),当这m+1个未知量唯一确定时，多项式函数唯一确定。

因为n个不同的点都是多项式函数上的点所以把点坐标代入多项式函数可得一个有m+1个未知

量、n个不同方程的非齐次线性方程组，且其一定有解。

因为非齐次线性方程组一定有解，所以关于其解的情况只需对非齐次线性方程组的系数矩阵

当mWn-1时，根据范德蒙行列式的性质可知r(A)=m+l(存在m+1阶不等于0的子式，且r(A)

Wmin{n,m+l}=m+l),此时系数矩阵的秩等于未知量的个数，非齐次线性方程组有唯一解，

即唯一确定一个多

当m>nT时，非齐次线性方程组方程的个数小于未知量的个数，此时非齐次线性方程组有无穷

多解，不能唯一确定一个多项式函数。

综上，平面上n个不同的点所唯一确定的多项式函数的最高次数为n-l„

【解析】

高中数学课程的基础性具有以下几点含义。

①高中数学课程在课程内容上包含了数学中最基本的部分。在义务教育阶段之后，为满足给

学生提供更高水平的数学基础的需求，面向全体学生提供了学生现阶段学习及未来发展所需

要的数学基础知识，为学生的未来发展奠定基础。

②高中数学课程为学生进一步学习提供了选修内容。例如，高中数学设有选修与必修课程，

必修课程是为了满足所有学生的共同数学需求，选修系列课程是为了满足学生的不同数学需

求，它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程。

③高中数学课程为学生适应未来社会生活、高等教育和职业发展等提供必需的数学基础。例

如，大学阶段理工科类的学生需要更多的数学知识，而高中数学课程为大学数学的学习提供

了必备的基础知识。

④高中数学课程也为学生学习其他学科的课程，如高中物理、化学、技术等，提供了必要的

知识准备。

13•【解析】

数学学习评价的形式多样，主要有口头测验、书面测验、开放式问题研究、活动报告、课堂

观察、课后访谈、课内外作业、建立成长记录袋等。下面列举几种不同的评价方式进行阐述。

①口头测验，是指在教学过程中教师通过与学生之间的言语互动，及时地了解学生的数学学

习情况，找出问题并及时纠正。

②书面测验，是指教师对学生的作业或者其他测验报告所做的书面性的评价。这种评价方式

可以帮助教师了解学生的数学学习状态以及知识掌握水平。

③书面评语评价，教师对学生的作业或者其他活动报告所做的书面性的评价，评分形式不仅

仅是分数或者等级，评语一般以鼓励为主，用以帮助学生认识与解决问题。

④课后访谈，是指教师通过课后与学生的沟通交流了解学生数学学习情况的一种评价方式。

这种评价方式可以帮助教师更直接地了解到学生的数学学习情况。

⑤建立成长记录袋，是指将学生的数学学习过程进行有效记录而形成的书面存档。这种评价

方式既可以帮助教师随时了解学生数学学习的成长经历，也可以有效地帮助学生确立今后的

学习目标与方向。

三、简答题

14.【解析】

(1)证明：设P(xp,yp),Q(xQ,yQ)是R2上任意的两点，贝。

(2)(方法一)设0(0,0)是二维欧氏空间R2的原点。当P0是原点时，有

四、论述题

15.【解析】

函数是中学数学课程的主线，它贯穿于整个中学数学课程中，方程、不等式、数列等内容均

与函数有非常密切的联系。

(1)函数与方程。中学数学课程中一元二次方程的求解问题，可以转化成求对应函数的零点问

题。例如，求方程似ax2+bx+c=0(a#0)的实数根，可以转化为求函数y=ax2+bx+c与x轴交

点的横坐标的值，即求函数的零点问题。由此可以看出，方程可看作函数的局部性质，求方程的根就

变成了思考函数图形与x轴的交点问题。利用函数的整体性质可以研究方程的根的性质，判断根

的个数，并估计根所在的区间。

⑵函数与不等式。用函数的观点看，不等式就是确定使函数图像y=f(x)在x轴上方或下方

的x的区域。中学数学课程中的一元二次不等式的求解问题，可以借助二次函数的图像找到不

等式的解集。例如，求不等式x2-3x+2>0的解集，可以通过画出函数f(x)=x2-3x+2的图像找到

使函数值大于0的所有x组成的集合，而这个集合就是该不等式的解集。

⑶函数与数列。数列是一种特殊的函数，它的定义域为自然数集或自然数子集。数列是离散的

函数，表现在坐标系中是一些离散的点的集合。中学数学课程主要涉及等差数列和等比数列，

等差数列的通项公式是一次函数的离散化，等差数列的前n项和公式是二次函数的离散化，等

比数列的通项公式以及前n项和公式都是指数函数的离散化，因此可以借助函数的性质来研究

数列。例如，求等差数列的前n项和Sn=n2-4n在第几项取得最小值，可以将其转化为求函数

f(x)=x2-4x的顶点横坐标问题，根据函数的顶点坐标公式可知，当x=2时，函数f(x)取得最小

值，即Sn在第2项取得最小值。

总之，在方程、不等式、数列等内容中，可以用函数思想去思考、解决问题，用函数的概念

和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

五、案例分析题

16.【解析】

⑴课堂提问要遵循目的性、启发性、适度性、兴趣性、循序渐进性、全面性、充分思考性、

及时评价性等八个原则。

A教师的课堂提问遵循了目的性、循序渐进性、充分思考性等几个原则。但没有涉及启发性、适

度性、兴趣性、全面性、及时评价性等原则。首先，A教师提出的问题相对比较难，比较抽象，

适合中等以上的学生，没有考虑全体学生的水平，所以违背了适度性和全面性原则。其次，在A

教师的教学中，例子相对较少，更多的是直接提问知识层面上的问题，让学生直接思考，没有考

虑从学生的兴趣出发，调动学生的积极性。最后，A教师在教学中没有体现出对学生的回答及时

做出评价。

B教师在课堂提问中遵循了目的性、启发性、适度性、兴趣性、循序渐进性、充分思考性、全

面性等原则，但没有涉及及时评价性原则。B教师在整个教学过程中，充分地利用例子，通过

循序渐进的提问，帮助学生一步一步地理解函数的零点概念以及方程的根与零点之间的关系。但

是在提问的过程中，B教师没有对学生的回答及时做出评价。

⑵A教师的概念引入部分的提问没有遵循循序渐进的原则，问题的设置要考虑学生的认知水

平，问题的设置应该由浅入深，由易到难。

建议A教师应该先这样提问：同学们，在初中你是如何判断一个方程是否有实数根的？(回顾之

前学过的方法)用初中的方法能判断方程lnx+2x-6=0是否有实数根吗？(引发学生的认知冲

突）回顾一下初中的时候一元二次方程与对应的二次函数之间有什么关系呢？（引导学生思考

方程和函数之间的关系）B教师的概念引入虽然给出了三组实例，但还需在函数的类型上进行改

进，不应该只呈现一元二次方程及其对应的二次函数，还可以增加一次方程及其对应函数让学生

进行观察。

六、教学设计题

17•【解析】

（1）①问题一：生活中，在检测某食品卫生达标情况时，食品卫生工作人员一般抽取部分该食品进

行检测。

你认为这种抽样方法科学吗?你还能举出生活中需要运用这种抽样方法的其他例子吗？

【设计意图】让学生初步了解生活中需要运用到统计方法的实例，可以使其了解简单随机抽

样方法的价值。让学生举出其他生活实例，可以培养学生提出问题、发现问题的能力，并使

其深切感受到随机抽样方法在解决实际问题中的重要性。

问题二：某校领导要了解全校学生的视力情况（近视和不近视），随机抽取50名学生，统计出

这50名学生的视力情况，最后估计出全校学生的视力情况。你认为这种抽样方法有什么优缺点？

在随机抽取的过程中应该注意什么？

【设计意图】该问题一方面可以使学生初步了解简单随机抽样这一抽样方法，并感受其实际

意义；另一方面使学生自主探究简单随机抽样方法需要注意的问题，可以培养其发现问题和

解决问题的能力。

②实例：经消费者反映，某食品店小包装饼干存在细菌超标问题。针对该问题，食品卫生工

作人员需要对该食品店小包装饼干进行卫生达标检验。但是，若食品卫生工作人员对该食品

店所有小包装饼干进行逐一检测，将面临巨大的工作量。因此，食品卫生工作人员只能随机

抽取该食品店部分饼干进行卫生检测。

【设计意图】将实际生活问题作为实例进行教学，不仅可以使学生对简单随机抽样方法有更

深的理解，还可以使其感受在面对总体数量较多时，简单随机抽样方法的重要性。

③师：在1936年美国总统选举前，某杂志工作人员做了一次民意测验，即调查兰顿和罗斯福谁

将成为美国的下一届总统。该调查者通过电话簿和车辆登记簿上面的名单（只有少数富人拥有）给一大

批人发了调查表，通过分析调查表数据，从而做出预测。

问题一：该杂志工作人员运用了什么抽样方法?研究的总体和样本分别是什么?该抽样方法具

有