2023届重庆第二外国语学校高高三数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数的图象上两点，关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（）A．2 B． C． D．3．已知集合的所有三个元素的子集记为．记为集合中的最大元素，则（）A． B． C． D．4．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数，则()A．， B．，C．， D．，5．若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知为等腰直角三角形，，，为所在平面内一点，且，则（）A． B． C． D．7．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．8．若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．的虚部为 B． C．的共轭复数为 D．为纯虚数9．已知向量，，且，则（）A． B． C．1 D．210．已知向量，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件11．已知函数满足，当时，，则（）A．或 B．或C．或 D．或12．若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则的值为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数是定义在上的奇函数，且周期为，当时，，则的值为___________________．14．在中，，，，则绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.15．已知实数、满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数的取值范围为______，若目标函数的最小值为-1，则实数等于______.16．若函数为自然对数的底数）在和两处取得极值，且，则实数的取值范围是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；（Ⅱ）求函数的定义域和值域.18．（12分）已知函数.（1）若，，求函数的单调区间；（2）时，若对一切恒成立，求a的取值范围.19．（12分）已知函数.（1）若，且，求证：；（2）若时，恒有，求的最大值.20．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．求的值；设的平分线与边交于点，已知，，求的值.21．（12分）数列满足，且.（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.22．（10分）已知函数的图象向左平移后与函数图象重合.（1）求和的值；（2）若函数，求的单调递增区间及图象的对称轴方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由题可知，可转化为曲线与有两个公共点，可转化为方程有两解，构造函数，利用导数研究函数单调性，分析即得解【详解】函数的图象上两点，关于直线的对称点在上，即曲线与有两个公共点，即方程有两解，即有两解，令，则，则当时，；当时，，故时取得极大值，也即为最大值，当时，；当时，，所以满足条件．故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.2、D【解析】

以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值．【详解】以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得，设，由，可得，即，则，当时，的最小值为．故选D．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．3、B【解析】

分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.【详解】集合含有个元素的子集共有，所以．在集合中：最大元素为的集合有个；最大元素为的集合有；最大元素为的集合有；最大元素为的集合有；所以．故选：．【点睛】此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.4、C【解析】

根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.【详解】表示取出的为一个白球，所以.表示取出一个黑球，，所以.表示取出两个球，其中一黑一白，，表示取出两个球为黑球，，表示取出两个球为白球，，所以.所以，.故选：C【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.5、B【解析】

求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.【详解】函数的导数为，令，则或，上单调递减，上单调递增，所以0或是函数y的极值点，函数的极值为：，函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：.故选B.【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.6、D【解析】

以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点的坐标，进而求得，由平面向量的数量积可得答案.【详解】如图建系，则，，，由，易得，则.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.7、C【解析】

根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.【详解】由双曲线，则渐近线方程：，，连接，则，解得，所以，解得.故双曲线方程为.故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.8、D【解析】

将复数整理为的形式，分别判断四个选项即可得到结果.【详解】的虚部为，错误；，错误；，错误；，为纯虚数，正确本题正确选项：【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.9、A【解析】

根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】由于向量，，且，所以解得.故选：A【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.10、A【解析】

向量，，，则，即，或者-1，判断出即可．【详解】解：向量，，，则，即，或者-1，所以是或者的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.11、C【解析】

简单判断可知函数关于对称，然后根据函数的单调性，并计算，结合对称性，可得结果.【详解】由，可知函数关于对称当时，，可知在单调递增则又函数关于对称，所以且在单调递减，所以或，故或所以或故选：C【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：，，考验分析能力，属中档题.12、C【解析】

利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.【详解】，又的实部与虚部相等，，解得.故选:C【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由题意可得：，周期为，可得，可求出，最后再求的值即可.【详解】解：函数是定义在上的奇函数，.由周期为，可知，，..故答案为：.【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于基础题.14、【解析】

由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积计算公式可得.【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在中，，，，如下图所示，底面圆的半径为，则所形成的几何体的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.15、【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数的最小值，利用数形结合即可得到结论.【详解】作出可行域如图，则要为三角形需满足在直线下方，即，；目标函数可视为，则为斜率为1的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点时，此时，直线：，与：的交点为，该点也在直线：上，故，故答案为：；.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.16、【解析】

先将函数在和两处取得极值，转化为方程有两不等实根，且，再令，将问题转化为直线与曲线有两交点，且横坐标满足，用导数方法研究单调性，作出简图，求出时，的值，进而可得出结果.【详解】因为，所以，又函数在和两处取得极值，所以是方程的两不等实根，且，即有两不等实根，且，令，则直线与曲线有两交点，且交点横坐标满足，又，由得，所以，当时，，即函数在上单调递增；当，时，，即函数在和上单调递减；当时，由得，此时，因此，由得.故答案为【点睛】本题主要考查导数的应用，已知函数极值点间的关系求参数的问题，通常需要将函数极值点，转化为导函数对应方程的根，再转化为直线与曲线交点的问题来处理，属于常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）函数的定义域为，值域为【解析】

（1）由为第二象限角及的值，利用同角三角函数间的基本关系求出及的值，再代入中即可得到结果.（2）函数解析式利用二倍角和辅助角公式将化为一个角的正弦函数，根据的范围，即可得到函数值域.【详解】解：（1）因为是第二象限角，且，所以.所以，所以.（2）函数的定义域为.化简，得，因为，且，，所以，所以.所以函数的值域为.（注：或许有人会认为“因为，所以”，其实不然，因为.）【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.18、（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）【解析】

（1）求导，根据导数与函数单调性关系即可求出.（2）解法一：分类讨论：当时，观察式子可得恒成立；当时，利用导数判断函数为单调递增，可知；当时，令，由，，根据零点存在性定理可得，进而可得在上，单调递减，即不满足题意；解法二：通过分离参数可知条件等价于恒成立，进而记，问题转化为求在上的最小值问题，通过二次求导，结合洛比达法则计算可得结论.【详解】（1）当，，，，令，解得，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增.（2）解法一：当时，函数，若时，此时对任意都有，所以恒成立；若时，对任意都有，，所以，所以在上为增函数，所以，即时满足题意；若时，令，则，所以在上单调递增，，，可知，一定存在使得，且当时，，所以在上，单调递减，从而有时，，不满足题意；综上可知，实数a的取值范围为.解法二：当时，函数，又当时，，对一切恒成立等价于恒成立，记，其中，则，令，则，在上单调递增，，恒成立，从而在上单调递增，，由洛比达法则可知，，，解得.实数a的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，考查了分类与整合的解题思想，涉及分离参数法等技巧、涉及到洛比达法则等知识，注意解题方法的积累，属于难题.19、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）利用导数分析函数的单调性，并设，则，，将不等式等价转化为证明，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，通过推导出来证得结论；（2）构造函数，对实数分、、，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最小值，再通过构造新函数，利用导数求出函数的最大值，可得出的最大值.【详解】（1），，所以，函数单调递增，所以，当时，，此时，函数单调递减；当时，，此时，函数单调递增.要证，即证.不妨设，则，，下证，即证，构造函数，，所以，函数在区间上单调递增，，，即，即，，且函数在区间上单调递增，所以，即，故结论成立；（2）由恒成立，得恒成立，令，则.①当时，对任意的，，函数在上单调递增，当时，，不符合题意；②当时，；③当时，令，得，此时，函数单调递增；令，得，此时，函数单调递减...令，设，则.当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.所以，函数在处取得最大值，即.因此，的最大值为.【点睛】本题考查利用导数证明不等式，同时也考查了利用导数求代数式的最值，构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于难题.20、；.【解析】

利用正弦定理化简求值即可；利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出的值.【详解】解：，由正弦定理得：，，，，，又，为三角形内角，故，，则，故，；（2）平分，设，则,,，，则，，又，则在中，由正弦定理：，.【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.21、（1）证明见解析，；（2）【解析】

（1）利用，推出，然后利用等差数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）知，利用裂项法，即可求解数列的前n项和.【详解】（1）由题意，数列满足且可得，即，所以数列是公差，首项的等差数列，故，所以.（2）由（1）知，所以数列