4-1-1 圆的标准方程

第页第4章4.14一、选择题1．已知A(－4，－5)、B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116[答案]B[解析]圆心为AB的中点(1，－3)，半径为eq\f(|AB|,2)＝eq\f(1,2)eq\r((6＋4)2＋(－1＋5)2)＝eq\r(29)，故选B.2．与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的方程为()A．(x－1)2＋y2＝18 B．(x－1)2＋y2＝9C．(x－1)2＋y2＝6 D．(x－1)2＋y2＝3[答案]A[解析]已知圆半径R＝6，设所求圆的半径为r.则eq\f(πr2,πR2)＝eq\f(1,2)，∴r2＝18，又圆心坐标为(1,0)，故选A.3．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则A．|a|<1 B．a<eq\f(1,13)C．|a|<eq\f(1,5) D．|a|<eq\f(1,13)[答案]D[解析]由题意得(5a)2＋(12a)2<1即a2<eq\f(1,169)∴|a|<eq\f(1,13)，故选D.4．(09·重庆文)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1[答案]A[解析]设圆心C(0，y)，由条件知eq\r((1－0)2＋(2－y)2)＝1，解之得y＝2，∴圆方程为x2＋(y－2)2＝1.[点评]观察数字特征可见，圆心在y轴上，过点(1,2)且半径为1，∴圆心与点(1,2)纵坐标相同，即圆心(0,2)，故选A.5．点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t,1＋t2)，\f(1－t2,1＋t2)))与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．在圆内 B．在圆外C．在圆上 D．与t的值有关[答案]C[解析]∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t,1＋t2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t2,1＋t2)))2＝1，∴P在圆x2＋y2＝1上．6．过点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10C．(x＋2)2＋y2＝10 D．(x－2)2＋y2＝10[答案]D[解析]由圆心在x轴上知b＝0，排除A、B，将C(－1,1)的坐标代入C、D检验知，选D.7．方程|x|－1＝eq\r(2y－y2)表示的曲线为()A．两个半圆 B．一个圆C．半个圆 D．两个圆[答案]A[解析]两边平方整理得：(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，由|x|－1≥0得x≥1或x≤－1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1(x≥1)或(x＋1)2＋(y－1)2＝1(x≤－1)，∴为两个“半圆”，选A.8．已知M(x，y)是圆x2＋y2＝1上任意一点，则eq\f(y,x＋2)的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))B．[－eq\r(3)，eq\r(3)]C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))D．(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\r(3)，＋∞)[答案]A[解析]eq\f(y,x＋2)表示圆上点(x，y)与点(－2,0)所在直线的斜率．设过点(－2,0)与单位圆相切的直线方程y＝k(x＋2)与x2＋y2＝1联立，解得k＝±eq\f(\r(3),3)，所以k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).9．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1[答案]B[解析]∵圆C1的圆心为(－1,1)，半径为1(－1,1)关于x－y－1＝0对称点为(2，－2)则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.10．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋2)＝1D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1[答案]A[解析]方法1：因为点(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)，所以圆C为(－x＋2)2＋(－y－1)2＝1，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.方法2：已知圆的圆心是(－2,1)，半径是1，所以圆C的圆心是(2，－1)，半径是1.所以圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.二、填空题11．以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为__________．[答案]x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20[解析]令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝2，∴直线与两轴交点坐标为A(0,4)和B(2,0)，以A为圆心过B的圆方程为x2＋(y－4)2＝20，以B为圆心过A的圆方程为(x－2)2＋y2＝20.12．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程是______．[答案](x－2)2＋(y＋3)2＝5[解析]圆心C在AB的中垂线y＝－3上，又在直线2x－y－7＝0上，∴C(2，－3)，半径r＝|AC|＝eq\r(5)，∴圆方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.13．过点(－1,2)且与圆x2＋y2＝5相切的直线方程为__________________．[答案]x－2y＋5＝0[解析]显然点(－1,2)在圆上，设切线方程为y－2＝k(x＋1)，即：kx－y＋k＋2＝0，圆心(0,0)到切线距离为eq\f(|k＋2|,\r(1＋k2))＝eq\r(5)，∴k＝eq\f(1,2).14．在x轴上的截距为－1和9，且半径为13的圆的方程是________．[答案](x－4)2＋(y±12)2＝169[解析]由已知得圆心横坐标为4，纵坐标为±12，圆方程为(x－4)2＋(y±12)2＝169.三、解答题15．圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，求(1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．[解析](1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)为圆心，半径r＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\r(10).则圆的方程为：x2＋(y－1)2＝10.(2)解法1：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝eq\f(1,3)x.即x－3y＋3＝0由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋3＝0，,2x－y－4＝0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2.))即圆心坐标是C(3,2)．r＝|AC|＝eq\r((3－1)2＋(2＋2)2)＝2eq\r(5).∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.解法2：待定系数法设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((1－a)2＋(－2－b)2＝r2，,(－1－a)2＋(4－b)2＝r2，,2a－b－4＝0.))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2，,r2＝20.))∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20.[点评]∵圆心在直线2x－y－4＝0上，故可设圆心坐标为C(x0,2x0－4)，∵A，B在圆上，∴|CA|＝|CB|可求x0，即可求得圆的方程，自己再用此思路解答一下．*16.设P(0,0)、Q(5,0)、R(0，－12)，求△PQR的内切圆的方程和外接圆方程．[解析]由题意知△PQR是直角三角形．又|QR|＝eq\r(52＋122)＝13，内切圆的半径是r1＝eq\f(5＋12－13,2)＝2，其圆心为C1(2，－2)．∴内切圆方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝4，外接圆半径r2＝eq\f(13,2)，圆心为C2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－6)).∴外接圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))2＋(y＋6)2＝eq\f(169,4).17．已知圆的半径为eq\r(10)，圆心在直线y＝2x上，圆截直线x－y＝0所得的弦长为4eq\r(2)，求圆的方程．[解析]设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，∵圆心在直线y＝2x上，∴b＝2a 根据圆的几何性质，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，由勾股定理，可得弦心距d＝eq\r