2013年度本科生毕业论文 - woxiugai1

PAGE红河学院本科毕业论文（设计）PAGE2013年度本科生毕业论文（设计）利用F-EXP方法求Boussinesq方程的精确解院－系：数学学院专业：数学与应用数学年级：2009级学生姓名：毛龙丽学号：200905050148导师及职称：丁玉敏（教授）2013年5月2013AnnualGraduationThesis(Project)oftheCollegeUndergraduateF-ExpMethodforSolvingExactSolutionsofBoussinesqEquationDepartment:CollegeofMathematicsMajor:MathematicsandAppliedofMathematicsGrade:2009Student’sName:MaoLongliStudentNo.:200905050148Tutor:DingYumin（Professor）May,2013毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。

作者签名：指导教师签名：日期：日期：毛龙丽毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注何斌教授数学学院主席（组长）芮伟国教授数学学院组员丁玉敏教授数学学院组员摘要利用方法并借助数学软件,获得了Boussinesq方程的许多行波解,包括孤立波解及三角函数周期解.并用数学软件获得几种典型的波形图.本所使用用的方法还可以用到其他的非线性发展方程的求解中去.关键词:Boussinesq方程;-展开法;-函数法;方法;行波解;齐次平衡原则ABSTRACTInthispaper,withtheaidsofthesymbolicmathematicalsoftware-Maple,weobtainedtravelingwavesolutionsoftheBoussinesqequations.Thesetravelingwavesolutionsincludesolitarywavesolutionsandtrigonometricfunctionsperiodicsolution.Sometypicalwaveformsofthesetravelingwavesolutionsareobtainedbymathematicalsoftware-Maple.Obviously,themethodwhichhasbeenusedinthispaperisalsocanbeusedtosolveothernonlinearevolutionequations.Keywords:Boussinesqequation;F-expansionmethod;Theexp-functionmethod;F-Expmethod;Travelingwavesolution;Homogeneousbalanceprinciple

目录第一章引言 81.1方程介绍 81.2方法简述 9第二章Boussinesq方程的精确解 112.1Boussinesq方程的一般解 112.2利用Exp-方法求辅助方程的精确解 132.3Boussinesq方程的精确解 222.4几种典型的波形图 30第三章结论 33参考文献 34致谢 35 第一章引言随着科学技术的飞速发展,现代科学研究的核心是非线性微分问题。以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分方程的研究，不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代数学的一个重要组成部分。他是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁，研究工作一直十分活跃，研究领域日益扩大。目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程（NLPDE）。很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归纳为非线性偏微分方程的研究。现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE，另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求精确解得研究工作就显示出了重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的的求精确解的方法，因此用何种方法求解这些非线性偏微分方程成为广大数学和物理工作者致力于研究的重要课题。因为只有首先求得了描述系统的精确解,才能谈得上对系统的性态和行为进行比较具体的分析,也才能谈得上对系统有了比较准确的了解和把握.1.1方程介绍Boussinesq方程是用来描述浅水中具有色散性和非线性性的一类波动方程出自文献[1]，其色散性介于无色散的浅水非线性长波和Stokes色散波之间。因而，它在水波运动、天气预报、海洋环境保护等研究领域有着广泛的应用。Boussinesq于1871年考虑垂向流速及压强分布的影响，假定垂向流速从底面零线性增加到自由表面的最大值，得到了Boussinesq方程。1967年Peregrine推导了变水深条件下浅水区波浪传播的Boussinesq方程。此文献[1]中是以齐次平衡原则和试探函数法为基础，给出函数变换与双线性算子相结合的方法，构造了Boussinesq方程新的精确解，并得出相应性质。在文献[2]中是通过齐次平衡法和借助一个辅助的常微分方程研究了Boussinesq方程的椭圆函数解，其中包括了Jacobi正弦函数解、余弦函数解，第三类Jacobi椭圆函数解及其组合函数形式解。这种方法可用于其他的非线性演化方程的求解。文献[3]研究了一类Boussinesq方程解的结构问题—同宿分岔.首先,通过线性稳定性分析,说明解存在分岔点.其次,利用Hirota方法求出了方程的孤立子解和同宿轨解,然后在此基础上讨论了解的同宿分岔现象,通过研究解的同宿分岔,从而把握解的结构。文献[4-6]在F-展开法和直接代数法的基础上，通过线性变换，将Boussinesq方程约化为标准椭圆方程。再由标准方程的行波解的结构和参数假设法求出原方程的解。从而得到了Boussinesq方程的丰富精确解。文献[7]运用扩展映射法，结合辅助方程，利用计算机代数系统求出约化为标准椭圆Boussinesq方程一系列新的精确周期解，这些精确解在极限情况下(m→1)退化为相应的孤解。该方法也可用来求解其他非线性演化方程。文献[8-9]求解出了广义Boussinesq方程的无穷序列周期波解和新精确解，给深入了解并应用Boussinesq方程铺平了道路。在本文中,所研究的Boussinesq方程[1]如下:(1-1-1)对此方程,李文清,孟红丽在文献[10]中利用正弦函数模型假设与齐次平衡原则[11~12]，同时借助辅助方程,求得了该方程精确孤立波解.1.2方法简述方法[13]是把-展开法[14~15]和-函数法[16~17]巧妙的结合起来.即考虑非线性偏微分方程（NLPDE）,以含两个自变量的为例：（1-2-1）其中为其变元的多项式，包含了非线性项和高阶偏导数项。（1）令（1-2-2）其中为待定常数,将（1-2-2）代入到（1-2-1）中,可将其化为关于的常微分方程:（1-2-3）其中分别表示对求一阶，二阶，三阶导数.（2）设（1-2-4）其中为待定常数,非负整数由（1-2-3）式中具有支配地位的非线性项与最高阶导数项之间通过齐次平衡原则来确定,且,满足下列两个辅助方程:(1-2-5)(1-2-6)其中为待定常数.将（1-2-4）代入（1-2-3）并利用（1-2-5）或(1-2-6)可将（1-2-3）的左边化为关于的多项式.令的各次幂的系数为零,得到关于,,的代数方程组,解此代数方程组,并将结果代入（1-2-4）式中,就得到方程（1-1-1）的用表示的行波解的一般形式.（3）用-函数法求出方程（1-2-5），(1-2-6)的指数函数解,代入第（2）步中所得到的一般解中，从而得到方程（1-1-1）的指数函数解或孤立波解.第二章Boussinesq方程的精确解2.1Boussinesq方程的一般解将(1-2-2)代入方程(1-1-1)得到关于的常微分方程（ODE）:（2-1-1）其中分别表示对求一阶、二阶、四阶导数.由方程（2-1-1）中具有支配地位的最高阶导数项与非线性项(或)之间通过齐次平衡，可得.由此可表示为:（2-1-2）其中为待定常数,且,满足方程（1-2-5）和（1-2-6）.将（2-1-2）代入（2-1-1）中并利用（1-2-5）或（1-2-6）可将(2-1-1)的左边化为关于的多项式,令的各次幂的系数为零,得到关于,的代数方程组:（1）利用（1-2-5）得到关于,的代数方程组一:解上述代数方程组得到:（2-1-3）将（2-1-3）代入（2-1-2）中得到:（2-1-4）（2）利用（1-2-6）得到关于,的代数方程组二:解上述代数方程组得到:（2-1-5） （2-1-6）将（2-1-5）,（2-1-6）分别代入（2-1-2）中分别得到得到:（2-1-7）（2-1-8）2.2利用Exp-方法求辅助方程的精确解根据-函数法，设（2-2-1）其中为待定常数,将（2-2-1）代入（1-2-5）或（1-2-6）中,有（2-2-2）其中为各次即:,令（2-2-2）中的系数为零,有（2-2-3）解关于的代数方程组（2-2-3）得到如下多组参数值,相应就得到方程（1-2-5）和（1-2-6）的多组解如下（表一）和(表二):（表一）:辅助方程(1-2-5)的解序号参数值方程（1-2-5）的解1当时，可化为:23当时，可化为:4当时，可化为:5当时,可化为:6789当时，可化为：101112当时，可化为：1314当时,可化为:1516当时，可化为:1718当时,可化为：1920当时可化为:21222324当时,可化为:2526当时可化为：2728293031当时,可化为：323334当时可化为:35当时，可化为:36当时，可化为:（表二）:辅助方程(1-2-6)的解序号参数值方程（1-2-6）的解12当时，可以化为：3当时，可以化为：45当时，可以化为：67当时，可以化为：91011121314当时，可以化为：15当时，可以化为：16171819当时，可以化为：20212.3Boussinesq方程的精确解2.3.1Boussinesq方程的第一组精确解将表一中的代入（2-1-4）式中,得到方程（1-1-1）的第一组精确解中的53个精确解:如下：令,且,则可得到如下的三角函数周期解:2.3.2Boussinesq方程的第二将表二中的代入（2-1-7）式中,得到方程（1-1-1）的第二组精确解中的27个精确解:如下:,令,且,则可得到如下的三角函数周期解:2.3.3Boussinesq方程的第三将表一中的代入（2-1-8）式中,得到方程（1-1-1）的第三组精确解中的27个精确解:如下:令,且,则可得到如下的三角函数周期解:2.4几种典型的波形图利用软件,我们绘出了几种孤立子解和周期波解的三维空间波形图,如图所示:(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)(j)(a):(b)(c):(d)::(e):(f):(g):(h):(i):(j):第三章结论本文利用一种新的求解精确解的方法:方法,即将展开法和函数法巧妙结合,求解Boussinesq方程的精确解,其中包括孤立波解及三角函数周期解.所得的这些解都是不同于文献[12]的新解,值得一提的是此方法同样可用到求其他的一些非线性偏微分方程的精确解行波解中去.首先，本文使用F-展开法求解得到Boussinesq方程(1-1-1)的一般解(2-1-4)、(2-1-7)、(2-1-8)。此外，本文值得一提的是：采用了两个辅助方程求解Boussinesq方程的精确解，提高了精确解的精确度。参考文献［1］杨琼芬、杜先云、杨立娟.Boussinesq方程新的精确解［J］.武汉理工大学学报（交通科学与工程版）2011,35(4):870－871.［2］闻小永．Boussinesq方程的Jacob椭圆函数精确解［J］.北京机械工业学院学报，2007，22(1):23－25．［3］李正彪,戴正德.经典Boussinesq方程的新同宿轨和孤立子解[J].云南大学学报:自然科学版.2006.28(4):285.［4］刘式达,刘式适,叶其孝.非线性演化方程的显式行波解[J].数学的实践与认识,1998,28(4):289-300.［5］黄文华，张解放，盛正卯．Boussinesq方程的新显式精确行波解［J］．浙江大学学报:理学版，2003，30(2):145－149．［6］李志斌,张善卿.非线性波方程孤立波解的符号计算[J].数学物理学报,1997,1:81-89.［7］纪建成，信春刚，韩家骅.扩展映射法与Boussinesq方程新的精确解[J].安徽大学学报,2011,35(5):46-51.［8］套格图桑,斯仁道尔吉.广义Boussinesq方程的无穷序列新精确解[J].物理学报,2010,59(7):4413-4419.［9］DeiftP,TomeiC,TrubowitzE.InversesctteringandtheBoussniesqequation[J].PureApplMath,1982，35（5）：567－628．［10］李文清,孟红丽.Boussinesq方程的新精确解及应用[J].河南工程学院学报:自然科学版.2008.20(4):65－67.［11］MingliangWang.SolitarywavesolutionsforvariantBoussniesqquations[J].Phys.Lett.A,1995,199:69-172.[12]SenthilvelanM．Ontheextendedapplicationsofhomogenousbalancemethod［J］.Appl．Math．Comput．，2001，123:381－388．[13]张金华,丁玉敏.F-展开法结合指数函数法求解一族非线性三阶扩散偏微分方程[J]西南民族大学学报,2010,36(4):535-540.[14]WANGML,LIXZ.ApplicationsofF-expansiontoperiodicwavesolutionsforanewHamiltonianamplitudeequation[J].chaos,solitonsandfractals,2005,24:1257-1268[15]WuX.-H.,HeJ.-H.Solitarysolution,periodicsolutionsandcompacton-likesolutionsusingtheF-expansionmethod[J