2011年高考解析几何复习策略

PAGEPAGE32011年富源县第一中学高考解析几何复习策略李华老师一考试要求：=1\*Arabic1．直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域．（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．=2\*ROMANII．圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．了解椭圆的参数方程．双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）了解圆锥曲线的初步应用．特别注意：2011年高考数学考试大纲修订说明中文科的直线和圆的方程部分，将原考试要求中的“(6)掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程”改为“(6)掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程”。文科的圆锥曲线方程部分，将原考试要求中的“(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质.理解椭圆的参数方程”改为“(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质.了解椭圆的参数方程”。高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。二、重点难点热点直线与圆（共3课时）问题1：求直线方程.常用待定系数法，即根据已知条件，首先确定采用直线方程的形式，然后确定其中相关的待定常数，如斜率、截距等.例1．已知直线l经过点P（2,1），且直线l＇：x-2y+4=0的夹角为，求直线l的方程.思路分析：在l的斜率存在的前提下，可采用点斜式方程，若l的斜率不存在，则可直接写出方程.

解：若直线l的斜率存在，设其为k，则∴这时直线l的方程为3x+4y-11=0.若直线l的斜率不存在，其方程为x=1，经过验证，这时它与l＇的夹角为.因此，直线l的方程为3x+4y-11=0或x=1.点评：涉及用点斜式求直线方程的问题，一定要注意其斜是否存在；用截距式求方程时要讨论直线是否过原点.演变1：已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，直角边BC在直线2+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程点拨与提示：利用等腰直角三角形的性质，得出∠ABC＝45°，再利用夹角公式，求得直线AB的斜率，进而求得了直线AB的方程问题2：两直线的位置关系利用两条直线平行或垂直的条件判定它们平行或垂直，由直线到直线的角和夹角公式求直线到直线的角和夹角.例2抛物线有光学性质由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p＞0)一光源在点M(,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l2x－4y－17=0上的点N，再折射后又射回点M(如下图所示)(1)设P、Q两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，证明y1·y2=－p2；(2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由分析：对称问题是直线方程的又一个重要应用本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程等知识点及理解问题、分析问题、解决问题的能力解：(1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ必过抛物线的焦点F(，0)，设直线PQ的方程为y=k(x－)①由①式得x=y+,将其代入抛物线方程y2=2px中，整理，得y2－y－p2=0,由韦达定理，y1y2=－p2当直线PQ的斜率角为90°时，将x=代入抛物线方程，得y=±p,同样得到y1·y2=－p2(2)解因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点M(，4)关于l的对称点为M′(x′,y′)，则解得直线QN的方程为y=－1,Q点的纵坐标y2=－1，由题设P点的纵坐标y1=4，且由(1)知y1·y2=－p2,则4·(－1)=－p2,得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x(3)解将y=4代入y2=4x,得x=4，故P点坐标为(4，4)将y=－1代入直线l的方程为2x－4y－17=0,得x=,故N点坐标为(，－1)由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y－12=0,设M点关于直线NP的对称点M1(x1,y1)又M1(,－1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解，故抛物线上存在一点(，－1)与点M关于直线PN对称解题回顾：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键演变1：在ΔABC中，BC边上的高所在的直线方程是x─2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.点拨与提示：根据条件分析出图形，利用数形结合求解，是解决此题的关健.问题3：线性规划及应用准确找出及表示出已知条件下的线性约束条件及目标函数，利用线性约束条件所表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数的最值.例3：画出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－2y的最大值和最小值思路分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组；③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域直线AB的方程为x+2y－1=0，BC及CA的直线方程分别为x－y+2=0，2x+y－5=0在△ABC内取一点P（1，1），分别代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0因此所求区域的不等式组为作平行于直线3x－2y=0的直线系3x－2y=t（t为参数），即平移直线y=x，观察图形可知：当直线y=x－t过A（3，－1）时，纵截距－t最小此时t最大，tmax=3×3－2×（－1）=11；当直线y=x－t经过点B（－1，1）时，纵截距－t最大，此时t有最小值为tmin=3×（－1）－2×1=－5因此，函数z=3x－2y在约束条件x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值为11，最小值为－5点评：确定一个点是否在不等式表示的区域内，只要将该点代入不等式，若满足该不等式，则点在区域内；若不满足不等式，则该点就不在区域内.演变3：实系数方程f（x）=x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）的值域；（2）（a－1）2+（b－2）2的值域；（3）a+b－3的值域点拨与提示：由f（x）=x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，知f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，得到关于a,b的不等式组来求解.问题4：圆的方程的求法根据已知条件先确定采用标准方程还是一般方程，然后求出相应的参数，即采用待定系数法.例4：条件：(1)截轴弦长为2.(2)被轴分成两段圆弧，其弧长之比为3:1在满足(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线距离最小时圆的方程.解：设所求圆的方程为：，则由截轴的弦长为2得由被轴分成两段圆弦，其弧长之比为，∴圆心到直线的距离即当且仅当即或时，取“=”∴，此时所以，所求圆的方程为或点评：本题考查了用待定系数法求圆的方程，其中条件（1）和（2）的转化要注意利用圆的几何性质，只有这样才能既直观又准确地写出其代数关系式.演变4：一个圆和已知圆外切,并与直线:相切于点M（）,求该圆的方程点拨与提示：用待定系数法.问题5：直线与圆的位置关系利用它们的方程联立的方程组的解的情况（称为代数方程）或利用圆心到直线的距离与半径的大小关系（称之为几何方程）来求解.例5：一直线经过点P被圆截得的弦长为8,求此弦所在直线方程思路分析：利用圆中“半径、半弦、弦心距”构成直角三角形可解.解:(1)当斜率k不存在时,过点P的直线方程为,代入,得.∴ 弦长为,符合题意(2)当斜率k存在时,设所求方程为,即由已知,弦心距,解得所以此直线方程为,即所以所求直线方程为或点评:关于圆的弦长问题,可用几何法从半径、弦心距、半弦所组成的直角三角形求解,也可用代数法的弦长公式求解本题还要注意,斜率不存在时直线符合题意演变5：自点A(-3,3)发出的光线射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆相切,求光线所在的直线方程点拨与提示：求切线问题,可利用圆心到切线的距离等于圆的半径来求解.若由“”求切线方程，过程要复杂些演变6：如果实数满足,求的最大值、2x-y的最小值点拨与提示:（1）用圆的切线的性质来求解，（2）由圆的参数方程设圆上一点的坐标，代入2x-y，转化为三角函数的最值问题来求解.演变答案及点拨演变1：直线BC的斜率kBC＝－，∵直线AC与直线BC垂直，∴直线AC的方程为y－4＝（－5）即3－2y－7＝0∵∠ABC＝45°，∴kAB＝－5或kAB＝∴AB边所在的直线方程为:y－4＝（－5）或y－4＝－5（－5）即－5y＋15＝0或5＋y－29＝0演变2：由A(─1,0)又kAB=1,∵x轴是∠A的平分线,∴kAC=─1，∴AC:y=─(x+1),又kBC=─2,∴BC:y─2=─2(x─1)由C(5,─6)演变3：由题意知f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0b＞0，a+b+1＜0，a+b+2＞0如图所示A（－3，1）、B（－2，0）、C（－1，0）又由所要求的量的几何意义知，值域分别为（1）（，1）；（2）（8，17）；（3）（－5，－4）演变4:已知圆方程化为:,其圆心P（1,0）,半径为1设所求圆的圆心为C（a,b）,则半径为,因为两圆外切,,从而1+(1)又所求圆与直线：相切于M(),直线,于是,即（2）将（2）代入（1）化简,得a2-4a=0,a=0或a=4当a=0时,,所求圆方程为当a=4时,b=0,所求圆方程为演变5：由已知可得圆C：关于x轴对称的圆C‘的方程为，其圆心C‘（2，-2），则与圆C’相切，设:y-3=k(x+3),，整理得12k2+25k+12=0,解得或，所以所求直线方程为y-3=(x+3)或y-3=(x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0演变6:（1）问题可转化为求圆上一点到原点连线的斜率的最大值,由图形性质可知,由原点向圆作切线,其中切线斜率的最大值即为的最大值设过原点的直线为y=kx,即kx-y=0,由,解得或（2）x,y满足,另法：应用线性规划的思路，如图，2x-y的最小值或最大值就在直线2x-y＝b与圆的切点处达到.由,解得或专题小结1、求直线方程，常用待定系数法，即根据已知条件，首先确定采用直线方程的形式，然后确定其中相关的待定常数，如斜率、截距等.在注意斜率不存在情形.2、两直线的位置关系问题，利用两条直线平行或垂直的条件判定它们平行或垂直，由直线到直线的角和夹角公式求直线到直线的角和夹角.3、线性规划及应用问题，要准确找出及表示出已知条件下的线性约束条件及目标函数，利用线性约束条件所表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数的最值.4、求圆的方程，先根据已知条件先确定采用标准方程还是一般方程，然后求出相应的参数，即采用待定系数法.要注意圆的几何性质在解题中的运用.5、直线与圆的位置关系，利用它们的方程联立的方程组的解的情况（称为代数方程）或利用圆心到直线的距离与半径的大小关系（称之为几何方程）来求解.圆锥曲线（共5课时）问题1：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等.利用待定系数法求出相应的a，b，p等.例1．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线间的距离.思路分析：设所求椭圆方程为或.根据题意列出关于a,b,c方程组，从而求出a,b,c的值，再求离心率、准线方程及准线间的距离.解：设椭圆的方程为或，则，解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或，离心率；准线方程，两准线的距离为16.点评：充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.演变1：如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程点拨与提示本题考查待定系数法求双曲线的方程，利用点P在曲线上和△P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值问题2：圆锥曲线的几何性质由方程来讨论其性质.例2：设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，求的值.思路分析：由已知，F1不是直角顶点，所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.解法1：由已知，｜PF1｜＞｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，｜F1F2｜＝，若∠PF2F1为直角，则｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，这时.若∠F2PF1为直角，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时.解法2：由椭圆的对称性，不妨设P(x,y)（其中x>0,y>0），.若∠PF2F1为直角，则P（），这时｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，这时.若∠PF2F1为直角，则由，解得：.于是｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时.点评：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用｜PF1｜＝a+ex,｜PF2｜=a-ex来求解.演变2：已知双曲线的方程为,直线通过其右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来，求|F1A|·|F1B|的最小值点拨与提示：由双曲线的定义得：|AF1|=(x1+)=x1+2，|BF1|=x2+2,|F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4，将直线方程和双曲线的方程联立消元，得x1+x2=,x1x2=─.本题要注意斜率不存在的情况.问题3：有圆锥曲线的定义的问题利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.例3：已知某椭圆的焦点F1（－4,0），F2（4,0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦点为B，且＝10，椭圆上不同两点A（x1,y1）,C(x2,y2)满足条件｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标.思路分析：因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离，所以可以从椭圆的定义入手.解：（1）由椭圆的定义及已知条件知：2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10，所以a=5,又c＝3，故b=4.故椭圆的方程为.由点B（4，y0）在椭圆上，得｜F2B｜＝｜y0|＝，因为椭圆的右准线方程为，离心率.所以根据椭圆的第二定义，有.因为｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列，＋，所以：x1+x2=8,从而弦AC的中点的横坐标为点评：涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.演变3：已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1，其右焦点F2和右准线分别是抛物线的顶点和准线.⑴求椭圆C的方程；⑵若点P为椭圆上C的点，△PF1F2的内切圆的半径为，求点P到x轴的距离；⑶若点P为椭圆C上的一个动点，当∠F1PF2为钝角时求点P的取值范围.点拨与提示：本题主要复习圆锥曲线的基本知识，待定系数法和定义法等通性通法的运用.根据抛物线确定抛物线的顶点和准线方程，从而得到椭圆的标准方程.解题时注意椭圆的定义的运用.问题4：直线与圆锥曲线位置关系问题利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.例4：抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.思路分析：将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程，用韦达定理来求解.解：（Ⅰ）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，准线方程为．（Ⅱ）证明：设直线的方程为，直线的方程为．点和点的坐标是方程组的解．将②式代入①式得，于是，故③又点和点的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得．于是，故．由已知得，，则．⑥设点的坐标为，由，则．将③式和⑥式代入上式得，即．∴线段的中点在轴上．（Ⅲ）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为．由③式知，代入得．将代入⑥式得，代入得．因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为，．于是，，．因为钝角且、、三点互不相同，故必有．求得的取值范围是或．又点的纵坐标满足，故当时，；当时，．即点评：解析几何解题思维方法比较简单，但对运算能力的要求比较高，平时练习要注意提高自己的运算能力.演变4.(05年重庆)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围.问题5：轨迹问题根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，求轨迹是根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.。求轨迹方程常用的方法有：直译法、相关点法、参数法等。求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性例6．已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程； （2）求动弦AB的中点P的轨迹方程. 分析：本题考察圆的性质与直线的方程，以及平面几何知识的简单运用。解:（1）由，可得由射影定理，得在Rt△MOQ中，，故，所以直线AB方程是 （2）连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得由射影定理得即把（*）及（**）消去a，并注意到，可得解题回顾：有关圆的问题，往往要运用圆的几何性质，如弦中点与圆心的连线与弦所在直线垂直等，适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。点评：本题命题意图是考查解析几何中求轨迹方程的方法,考查建立坐标系,数形结合数学思想方法,勾股定理,两点间距离公式等相关知识点,及分析推理、计算化简技能、技巧等.演变7：已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线演变8：如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程点拨与提示：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程演变7：建立坐标系如图所示，设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0)设M(x,y）是轨迹上任意一点则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴)(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0点M的轨迹是以(－，0）为圆心，为半径的圆演变8设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因为R是弦AB的中点，依垂径定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程例5.（05年江西）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹思路分析：（1）由直线MF（或ME）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点E的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M点的坐标将E、F点的坐标表示出来，进而表示出G点坐标，消去y0即得到G的轨迹方程（参数法）.OABEFM解：（1）设M（y,y0），直线MEOABEFM则直线MF的斜率为－k，方程为∴由，消解得∴(定值)所以直线EF的斜率为定值.（2）直线ME的方程为由得同理可得设重心G（x,y），则有消去参数得点评：这是一道重要的数学问题,几乎是高考数学每年的必考内容之一,此类问题一定要“大胆假设,细心求解”,根据题目要求先将题目所涉及的未知量都可以设出来,然后根据题目把所有的条件都变成等式,一定可以求出来,当然求的过程中,采取适当的小技巧,例如化简或适当分类讨论,可以大为简化过程,而且会尽量多多得分,同时这一类题目也需要很强的计算能力.演变5：已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.点拨与提示：本题在求点T的轨迹用的是代入法：即用T点的坐标将Q点的坐标表示出来，再代入Q所满足的曲线方程即可.问题6：与圆锥曲线有关的定值、最值问题建立目标函数，转化为函数的定值、最值问题.例6：点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值.OF2F1AOF2F1A2A1PM[解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)设点P(,),则={+6,},={－4,},由已知可得则2+9－18=0,=或=－6.由于>0,只能=,于是=.∴点P的坐标是(,)(2)直线AP的方程是－+6=0.设点M(,0),则M到直线AP的距离是.于是=,又－6≤≤6,解得=2.椭圆上的点(,)到点M的距离有,由于－6≤≤6,∴当=时,d取得最小值点评：解决有关最值问题时，首先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率等），建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解.演变6：（05年浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．点拨与提示：（1）待定系数法；（2）利用夹角公式将∠F1PF2的正切值用y0表示出来，利用基本不等式求其最值.演变7：（05年全国）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.点拨与提示：（1）将AB的方程与椭圆方程联立成方程组，然后求解；（2）将M点的坐标用A、B的坐标表示出来，代入到椭圆方程，结合韦达定理求解.问题7：与圆锥曲线有关的对称问题利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.例7：过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程思路分析：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解；解法二，用韦达定理解法一由e=,得,从而a2=2b2,c=b设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,设AB中点为(x0,y0)，则kAB=－，又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是－=－1，kAB=－1，设l的方程为y=－x+1.右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=∴所求椭圆C的方程为=1,l的方程为y=－x+1解法二由e=,从而a2=2b2,c=b设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－直线ly=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=－1若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一点评：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题，成为解决本题的关键.注意在设直线方程时要对直线斜率是否存在进行讨论.演变8：（05年湖南）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.点拨与提示：（1）由A、B的坐标求出M点的坐标（x0,y0），代入椭圆的方程即可；（2）利用等腰三角形的性质|PF1|=|F1F2|来求λ的值.演变答案及点拨演变1：建立坐标系如图所示，设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0)设M(x,y）是轨迹上任意一点则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴)(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0点M的轨迹是以(－，0）为圆心，为半径的圆演变2设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因为R是弦AB的中点，依垂径定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程演变3：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图的直角坐标系设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0)由e2=，得∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=－x点坐标为(),又点P在双曲线=1上，所以=1,即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①即x1x2= ②由①、②得a2=4,b2=9，故双曲线方程为=1演变4：设A(x1,y1),B(x2,y2)，A到双曲线的左准线x=─=─的距离d=|x1+|=x1+，由双曲线的定义，=e=,∴|AF1|=(x1+)=x1+2,同理，|BF1|=x2+2,∴|F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4(1)双曲线的右焦点为F2(,0),(1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为：y=k(x─)，由消去y得(1─4k2)x2+8k2x─20k2─4=0,∴x1+x2=,x1x2=─,代入(1)整理得|F1A|·|F1B|=+4=+4=+4=+∴|F1A|·|F1B|>;(2)当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF2|=|BF2|=,∴|AF1|=|BF1|=2a+=(双曲线的第一定义),∴|F1A|·|F1B|=由(1),(2)得：当直线AB垂直于x轴时|F1A|·|F1B| 取最大值演变5：⑴抛物线的顶点为(4,0)，准线方程为,设椭圆的方程为,则有c=4，又，∴∴椭圆的方程为⑵设椭圆内切圆的圆心为Q，则设点P到x轴的距离为h，则∴.⑶设点P的坐标为(x0,y0)，由椭圆的第二定义得：由∠F1PF2为钝角知：∴即为所求.演变6：（Ⅰ）设双曲线方程为由已知得故双曲线C的方程为（Ⅱ）将由直线l与双曲线交于不同的两点得即①设，则而于是②由①、②得故k的取值范围为演变7：（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以证法二：设点P的坐标为记则由（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是解法二：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得. 又，所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为（），则，因此① 由得②将①代入②，可得③④综上所述，点T的轨迹C的方程是③④（Ⅲ）解法C上存在点M（）使S=的充要条件是： 由④得上式代入③得 于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M. 当时，记， 由知，所以演变8：（Ｉ）设椭圆方程为（），半焦距为c,则,,由题意，得,解得，故椭圆方程为（II）设P(当时，当时,，只需求的最大值即可.直线的斜率，直线的斜率当且仅当=时，最大，演变9：设椭圆方程为 则直线AB的方程为 化简得. 令则 共线，得又，∴∴即，∴∴，故离心率为（II）证明：由（I）知，所以椭圆可化为.设，由已知得 在椭圆上， 即① 由（I）知∴ ∴又又，代入①得故为定值1.演变10：（Ⅰ）因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是所以因为点M在椭圆上，所以即解得（Ⅱ）解：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|.设点P的坐标是，则由|PF1|=|F1F2|得两边同时除以4a2，化简得从而于是.即当时，△PF1F2为等腰三角形.专题小结1、求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a，b，p等.要充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.2、涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.3、直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.4、对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.5、与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.三、典型例题分析（包括分析、求解、回顾）第一课时直线与圆【例1】函数y=asinx+2bcosx图象的一条对称轴方程为x=eq\f(π,4)，则直线ax+by+1=0与直线x+y+2=0夹角大小为（B）A．arctan3B．arctanC．arctan D．π－arctan（－3）分析：由题意知，整理得（a－2b）2=0，a=2b，－eq\f(a,b)=－2，即ax+by+1=0的斜率为－2，x+y+2=0的斜率为－1，两直线夹角的正切值tanα=eq\f(-2-(-1),1+(-2)×(-1))=eq\f(1,3)，故选B．变式题函数y=asinx－bcosx的一条对称轴方程为x=eq\f(π,4)．则直线ax－by+c=0的倾斜角为（）A．45°B．60°C．120°D．135°【例2】实数x、y满足不等式组，则w=eq\f(y-1,x+1)的取值范围是（D）A．［－1，eq\f(1,3)］B．［－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)］C．［－eq\f(1,2)，+∞］D．［－eq\f(1,2)，1］分析：点（x，y）在图4－16－1中阴影部分，w=eq\f(y-1,x+1)表示动点（x，y）与定点A（－1，1）连线的斜率，l1为斜率k1=kAB=－eq\f(1,2)．l2与x－y=0平行，∴w∈［－eq\f(1,2)，1］【例2备选题】已知有三个居民小区A、B、C构成三角形ABC，这三个小区分别相距BC=800m、AB=700m、AC=300m，为解决居民就业、服务小区生活，在与A、B、C三个小区距离相等处建造一个食品加工厂，同时为了不影响小区居民的正常生活和休息，在厂房的四周需要安装隔音窗或建造隔音围墙．根据以往经验，机器从厂房发出的噪音是85分贝，而维持居民正常生活和休息时的噪音不得超过50分贝，每安装一道隔音窗降低3分贝，花费3万元．隔音窗不能超过3道；每建造一堵隔音墙降低15分贝，花费10万元；距离厂房平均每25m噪音均匀降低1分贝．（1）求加工厂距A区的距离；（≈1.732，精确到1m）（2）怎样建造隔音设备，使其隔音设备成本最低？【例3】抛物线有光学性质由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p＞0)一光源在点M(,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l2x－4y－17=0上的点N，再折射后又射回点M(如下图所示)(1)设P、Q两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，证明y1·y2=－p2；(2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由分析：对称问题是直线方程的又一个重要应用本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程等知识点及理解问题、分析问题、解决问题的能力解：(1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ必过抛物线的焦点F(，0)，设直线PQ的方程为y=k(x－)①由①式得x=y+,将其代入抛物线方程y2=2px中，整理，得y2－y－p2=0,由韦达定理，y1y2=－p2当直线PQ的斜率角为90°时，将x=代入抛物线方程，得y=±p,同样得到y1·y2=－p2(2)解因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点M(，4)关于l的对称点为M′(x′,y′)，则解得直线QN的方程为y=－1,Q点的纵坐标y2=－1，由题设P点的纵坐标y1=4，且由(1)知y1·y2=－p2,则4·(－1)=－p2,得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x(3)解将y=4代入y2=4x,得x=4，故P点坐标为(4，4)将y=－1代入直线l的方程为2x－4y－17=0,得x=,故N点坐标为(，－1)由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y－12=0,设M点关于直线NP的对称点M1(x1,y1)又M1(,－1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解，故抛物线上存在一点(，－1)与点M关于直线PN对称解题回顾：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键【例4】已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程. 分析：本题考察圆的性质与直线的方程，以及平面几何知识的简单运用。解:（1）由，可得由射影定理，得在Rt△MOQ中，，故，所以直线AB方程是 （2）连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得由射影定理得即把（*）及（**）消去a，并注意到，可得解题回顾：有关圆的问题，往往要运用圆的几何性质，如弦中点与圆心的连线与弦所在直线垂直等，适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。第二课时圆锥曲线的基本问题【例5】已知椭圆C1∶=1的一条通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线C2：y2=2px（p＞0）的通径重合，则椭圆的离心率为（A）A．eq\r(2)－1B．C．eq\r(3)－1D．分析：由已知得=2p，c=，则b2=2ac，∴a2－c2=2ac，∴1－e2=2e，即e2+2e－1=0，则e=eq\r(2)－1，故选A．【例5备选题】（2005年·全国卷Ⅱ）已知双曲线=1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为（）A． B．C．D．【例6】双曲线的虚轴长为4，离心率，F1、F2分别是它的左，右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|为（）.A、B、C、D、8分析:利用双曲线定义，∵AB在左支上，∴|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a,又∵2|AB|=|AF2|+|BF2|,|AF1|+|BF1|=|AB|∴2|AB|-|AB|=4a.|AB|=4a,而得，∴，选A.解题回顾：利用好定义，是解圆锥曲线基本问题的方法之一。【例6备选题】1、设F1、F2为椭圆两焦点，点P是以F1，F2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF1F2=5∠PF2F1，则椭圆离心率为（）.A、B、C、D、分析:P在以F1F2为直径的圆上，则∠F1PF2=90，而∠PF1F2=5PF2F1，∴∠PF1F2=75，∠PF2F1=15，∴，，而|PF2|+|PF2|=2a,∴.2、F1、F2为椭圆两个焦点，Q为椭圆上任一点，以任一焦点作∠F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹为（）.A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线分析:延长F2P交F1Q的延长线为M，由椭圆定义及角平分线，∵∴|F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a,则点M(x0,y0)的轨迹方程为①设P点坐标(x,y),∵P为F2M中点，∴，代入①，得(2x-c+c)2+(2y)2=4a2,∴x2+y2=a2,选A.3、双曲线的左支上一点P，⊙O'为ΔPF1F2的内切圆，则圆心O'的横坐标为（）.A、aB、-aC、D、分析:设PF1，PF2，F1F2与内切圆⊙O'的切点分别为M，N，Q，由双曲线定义，∵|PF2|-|PF1|=2a,∴|PN|+|NF2|-(|PM|+|MF1|)=2a,而|DN|=|PM|，|MF1|=|QF1|,|NF2|=|QF2|∴|QF2|-|QF1|=2a又|QF2|+|QF1|=2c,∴|QF2|=a+c=c-xQ,∴xQ=-a,∵O'Q⊥F1F2,∴xQ'=xQ=-a，选B.【例7】（02北京）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）分析：本题主要考查圆锥曲线的几何性质，即椭圆、双曲线焦点求法和双曲线渐近线方程求法.由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴椭圆焦点，双曲线焦点，∴，∴，又∵双曲线渐近线为.∴代入，，得，∴选D.【例7备选题】1、（02全国文11）设，则二次曲线x2cotθ-y2tanθ=1的离心率的取值范围为（）分析：本题主要考察三角函数和二次曲线的基本知识以及基本的推理计算技能.有一定的综合性，涉及的知识面比较大.解一：因为，所以cotθ>0，tanθ>0，方程所表示的二次曲线是双曲线，离心率必然大于1.从而排除A、B、C，得D.解二：依题设知二次曲线是双曲线，半实轴长a和半虚轴长b分别为，.所以半焦距，离心率为，因为，所以e的取值范围为，选D.2、（湖北卷）双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为 （A） A． B． C． D．【例8】（江西卷）以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线； ②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线有相同的焦点. 其中真命题的序号为③④（写出所有真命题的序号）分析（略）第三课时求曲线方程的方法说明：求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念【例9】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程分析：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程可利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，解设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因为R是弦AB的中点，依垂径定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程解题回顾：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程【例10】设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线分析：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程及直线与抛物线的位置关系解法一设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)(x≠0)直线AB的方程为x=my+a由OM⊥AB，得m=－由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0所以y1y2=－4pa,x1x2=所以，由OA⊥OB，得x1x2=－y1y2所以故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点解法二设OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得∴AB的方程为，过定点，由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点解法三设M(x,y)(x≠0)，OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得由OM⊥AB，得M既在以OA为直径的圆……①上，又在以OB为直径的圆……②上（O点除外），①+②得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点解题回顾：当设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时，注意对“x1=x2”的讨论将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系【例10备选题】已知直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2（m，a∈R）交于A、B两点．（1）设eq\o(OP,\s\up5(→))=eq\o(OA,\s\up5(→))+eq\o(OB,\s\up5(→))，当a=－2时，求点P的轨迹方程；（2）是否存在常数a，对于任意m∈R，都有eq\o(OA,\s\up5(→))·eq\o(OB,\s\up5(→))=－2？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．（3）是否存在常数m，对任意a∈R+，都有eq\o(OA,\s\up5(→))·eq\o(OB,\s\up5(→))为常数？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．【解】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则eq\o(OP,\s\up5(→))=eq\o(OA,\s\up5(→))+eq\o(OB,\s\up5(→))=（x1+x2，y1+y2）由eq\b\lc\{(\a\ac(y=mx+1,-2x2+y2=2))消去y，得（m2－2）x2+2mx－1=0①依题意有eq\b\lc\{(\a\a(m2-2≠0,,Δ=(2m)2+4(m2-2)＞0.))解得m2＞1且m2≠2，即m＜－1或m＞1且m≠±eq\r(2)，y1+y2=mx1+1+mx2+1=m（x1+x2）+2=eq\f(4,2-m2)，∴点P的坐标为：eq\b\lc\{(\a\ac(x=eq\f(2m,2-m2),,y=eq\f(4,2-m2)))消去m得2x2－y2+2y=0，即（y－1）2－eq\f(x2,\f(1,2))=1．由y=eq\f(4,2-m2)得m2=eq\f(2y-4,y)，由eq\b\lc\{(\a\ac(\f(2y-4,y)＞1,\f(2y-4,y)≠2))解得y＜0或y＞4．∴点P的轨迹方程为（y－1）2－eq\f(x2,\f(1,2))=1（y＜0或y＞4）．（2）假设存在这样的常数a，由eq\b\lc\{(\a\ac(y=mx+1,ax2+y2=2))消去y，得（m2+a）x2+2mx－1=0，②x1+x2=－eq\f(2m,m2+a)，x1x2=－eq\f(1,m2+a)eq\o(OA,\s\up5(→))·eq\o(OB,\s\up5(→))=x1x2+y1y2=x1x2+（mx1+1）·（mx2+1）=（m2+1）x1·x2+m（x1+x2）+1=（m2+1）·（eq\f(-1,m2+a)）+m·（eq\f(-2m,m2+a)）+1=eq\f(-3m2-1,m2+a)+1=－2．解得a=eq\f(1,3)．当a=eq\f(1,3)时，m2+eq\f(1,3)≠0，且方程②判别式Δ=4m2+4（m2+eq\f(1,3)）＞0．故存在，a的值为eq\f(1,3)．（3）假设存在常数m，对任意a∈R+，都有eq\o(OA,\s\up5(→))·eq\o(OB,\s\up5(→))为常数，将y=mx+1代入ax2+y2=2，整理（a+m2）x2+2mx－1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=－eq\f(2m,a+m2)，x1x2=－eq\f(1,a+m2)y1y2=（mx1+1）（mx2+1）=eq\f(a-2m2,a+m2)，eq\o(OA,\s\up5(→))·eq\o(OB,\s\up5(→))=eq\f(-2m2+a-1,a+m2)，若对任意a∈R+，都有eq\o(OA,\s\up5(→))·eq\o(OB,\s\up5(→))为常数，则m2=－2m2－1，3m2=－1不可能∴不存在常数m满足条件．【例11】(2004北京东城)已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1，其右焦点F2和右准线分别是抛物线的顶点和准线。⑴求椭圆C的方程；⑵若点P为椭圆上C的点，△PF1F2的内切圆的半径为，求点P到x轴的距离；(此问在原题基础上添加的)⑶若点P为椭圆C上的一个动点，当∠F1PF2为钝角时求点P的取值范围。(此问也可改成求∠F1PF2的最大值)分析：主要复习圆锥曲线的基本知识，待定系数法和定义法等通性通法的运用。可能出现的问题：学生能够知道抛物线的开口方向，在定位顶点和准线时易出错，所以在和学生一起解决问题时，在有些易出错的地方故意出错，来加深学生对问题的理解。解：⑴抛物线的顶点为(4,0)，准线方程为,设椭圆的方程为,则有c=4，又，∴∴椭圆的方程为⑵设椭圆内切圆的圆心为Q，则设点P到x轴的距离为h，则∴。⑶设点P的坐标为(x0,y0)，由椭圆的第二定义得：由∠F1PF2为钝角知：∴即为所求。（此题也可以用向量的方法解决，也可将椭圆的方程与圆的方程联立消去得）解题回顾：对椭圆定义、基本量的熟练掌握是解题不易出错的前提。【例12】已知双曲线的中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴,离心率为,且双曲线上动点P到点(2,0)的最近距离为1.⑴证明:满足条件的双曲线的焦点不可能在y轴上；⑵求此双曲线的方程；⑶设此双曲线的左右焦点分别是F1、F2，Q是双曲线右支上的动点，过F1作∠F1QF2的平分线的垂线，求垂足M的轨迹。分析：本题考查逻辑推理能力，和利用定义、待定系数法求圆锥曲线方程。解：⑴用反证法，设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，则由，得。若双曲线焦点在y轴上，法1：则其双曲线方程为，求出(用表示)，然后利用的最小值为1，推出矛盾。法2：焦点在在y轴上的双曲线的渐近线为，A到渐近线的距离，∴不可能。⑵设双曲线的方程为：，则P到A的距离为：若，即当时，，不可能。若，即当时，有最小值，解得（舍去）或，所以所求双曲线为：。⑶设M，延长QF2与F1M交于点T，连接OM。∵点Q是双曲线右支上的动点，∴∴M在以O为圆心，为半径的圆上。圆的方程为(注意讲清的范围)。解题回顾：可能出现的问题：解决推理问题时说理不清，因果关系不明显，导致失分。对问题⑶要但考虑轨迹的限制条件，准确求出x的范围。在几何画板上，拖动Q时，当拖到无穷远处，QM趋近于双曲线的渐近线，向左点M的极限位置（不可能达到的位置）是渐近线与过F1且垂直的直线的交点，联立和得。所以可得的范围。第四课时直线与圆锥曲线的位置关系（一）（圆锥曲线中有关平面图形的问题）【例13】设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求的值。解题思路分析：当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。法一：当∠PF2F1=900时，由得：，∴当∠F1PF2=900时，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2∴法二：当∠PF2F1=900，∴∴P（）又F2（，0）∴|PF2|=∴|PF1|=2a-|PF2|=当∠F1PF2=900，由得：P（）。下略。解题回顾：由|PF1|>|PF2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。【例13备选题】过点作直线与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。分析：若直接用点斜式设的方程为，则要求的斜率一定要存在，但在这里的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。解：设A（x1，y1），B（x2，y2），：把代入椭圆方程得：，即，，∴，此时令直线的倾角为，则即△OAB面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。【例14】20、（广东卷）在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图４所示）．（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．xxyOAB解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则…（1）∵OA⊥OB∴,即，……(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得∴所以重心为G的轨迹方程为（II）由（I）得当且仅当即时，等号成立。所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；解题回顾：本题考查三角形重心坐标公式、几何关系与代数关系的转化以及重要不等式的运用，对考生的转化能力、综合能力有一定要求。【例15】(05全国卷II)、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1将此式代入椭圆方程得(2+)+2－1=0设P、Q两点的坐标分别为QPNMFO(，)，(QPNMFO则从而亦即当≠0时，MN的斜率为－，同上可推得故四边形面积令=得∵=≥2当=±1时=2，S=且S是以为自变量的增函数∴②当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=。∴S=|PQ||MN|=2综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为。【例16】（05湖南卷）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；（Ⅱ）若，△PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是.所以点M的坐标是（）.由即证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是所以因为点M在椭圆上，所以即解得（Ⅱ）当时，，所以由△MF1F2的周长为6，得所以椭圆方程为（Ⅲ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即设点F1到l的距离为d，由得所以即当△PF1F2为等腰三角形.解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，设点P的坐标是，则由|PF1|=|F1F2|得两边同时除以4a2，化简得从而于是.即当时，△PF1F2为等腰三角形.解题回顾：圆锥曲线中涉及平面图形问题时，一定要利用好平面图形的性质第五课时直线与圆锥曲线的位置关系（二）（圆锥曲线中的参数问题）【例17】点P到M（-1，0），N（1，0）的距离之差为2m，到x轴、y轴的距离之比为2，求m取值范围。分析：根据题意，从点P的轨迹着手。解：∵||PM|-|PN||=2m∴点P轨迹为双曲线，方程为（|m|<1）①又y=±2x（x≠0）②①②联立得：将此式看成是关于x的二次函数式，下求该二次函数值域，从而得到m的取值范围。根据双曲线有界性：|x|>m，x2>m2∴又0<m2<1∴1-5m2>0∴且m≠0∴解题回顾：利用双曲线的定义找到点P轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函数思想，建立函数关系式。【例18】如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.分析：本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0.由y=x2，①得y＇=x.∴过点P的切线的斜率k切=x1，∴直线l的斜率kl=－=－，∴直线l的方程为y－x12=－(x－x1)，方法一：联立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.∵M是PQ的中点x0==-，∴y0=x12－(x0－x1).消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，则x0==kl=-，∴x1=－，将上式代入②并整理，得y0=x02++1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).（Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则.由消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0.③则方法一：∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.∵y1、y2可取一切不相等的正数，∴的取值范围是（2，+）.方法二：∴=|b|=|b|.当b>0时，=b==+2>2；当b<0时，=－b=.又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，于是k2+2b>0，即k2>－2b.所以>=2.∵当b>0时，可取一切正数，∴的取值范围是（2，+）.方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，即=.则x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).于是b==－x1x2.22∴==+=+≥2.22∵可取一切不等于1的正数，∴的取值范围是（2，+）.解题回顾：建立参数的函数关系式求最值或利用基本不等式求最值是求参数范围、最值的基本手段。【例19】(05重庆卷)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。解：（Ⅰ）设双曲线方程为由已知得故双曲线C的方程为（Ⅱ）将由直线l与双曲线交于不同的两点得即①设，则而于是②由①、②得故k的取值范围为【例19备用题】(重庆卷)已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围。解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则故C2的方程为（II）将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即①.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得解此不等式得③由①、②、③得故k的取值范围为【例20】如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值分析：本题主要考查直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值，利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0)故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)考虑方程组,消去y得(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)整理得(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上∴|AB|=|xB－xA|==(xB－xA)·,|CD|=(xD－xC)∴||AB|－|CD||=|xB－xA+xD－xC|=|(xB+xC)－(xA+xD)|又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0∴||AB|－|CD||=|xB+xC|·=||·=(2≤m≤5)故f(m)=，m∈［2,5］(2)由f(m)=，可知f(m)=又2－≤2－≤2－，∴f(m)∈［］故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5解题回顾：在第(1)问中，要注意验证当2≤m≤5时，直线与椭圆恒有交点若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将||AB|－|CD||化简第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法【例20备选题】如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|