21.2 解一元二次方程同步训练　　2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.2解一元二次方程同步训练2024—2025学年人教版数学九年级上册一、单选题1．对于实数定义新运算：，若关于的方程没有实数根，则的取值范围（）A． B．C．且 D．且2．若关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，则的值为（）A． B．4 C． D．13．关于x的方程a−3xA．且 B．C．且 D．4．方程经配方后，可化为（）A． B． C． D．5．关于方程x2+2x-4=0的根的情况，下列结论错误的是（）A．有两个不相等的实数根 B．两实数根的和为2C．两实数根的差为± D．两实数根的积为-46．下列方程一定有实数根的是（）A． B．C． D．7．关于x的方程ax2﹣2x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．a＞﹣1C．a≥﹣1且a≠0 D．a＞﹣1且a≠08．一元二次方程根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不等的实数根 D．只有一个实数根9．从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，，称为一次操作．下列说法：①若，，，则，，三个数中最大的数是4；②若，，，且，，中最小值为，则；③给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第n次操作的结果是，，，则的值为定值．其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．010．已知x，y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则（）.A． B． C． D．二、填空题11．已知关于的一元二次方程，若这个方程没有实数根，则的取值范围是．12．方程的根是．13．在中，且关于的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为．14．设实数，，满足，则的最大值为．15．点是正方形边延长线上的一点，连接，，则的最大值是．三、解答题16．解方程：17．关于的一元二次方程是否存在，使方程求出的两根，一根加5，另一根减3，得到的两数互为相反数？如果有，求出，如果没有说明理由．18．已知关于的一元二次方程（1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根；（2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围.（2）若x₁，x₂分别是这个方程的两个根，且求k的值.20．某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质（a、b为常数）”时，进行了如下活动．【实验操作】取不同的x的值，计算代数式ax2+bx+3的值．x…﹣10123…ax2+bx+3…034…（1）根据上表，计算出a、b的值，并补充完整表格．（2）【观察猜想】实验小组组员，观察表格，提出以下猜想．同学甲说：“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”．

请你也提出一个合理的猜想：

（3）【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．

请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以说理．21．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】D7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】12．【答案】13．【答案】514．【答案】15．【答案】16．【答案】x1=-，x2=217．【答案】存在，218．【答案】（1）证明：∵，，，∴，∴不论为何值，该方程总有两个实数根；（2）解：将代入原方程得：，∴，∴原方程为，，∵，∴方程的另一个根为．19．【答案】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，

∴b2-4ac＞0即4-4（2k-5）＞0

解之：k<3，

∴k的取值范围为k＜3.（2）解：∵x₁+x₂=-2，x₁x₂=2k-5，

∴

∴4+2k-5=-3，

解之：k=-1.

∴k的值为-1.20．【答案】（1）解：当x＝﹣1时，a﹣b+3＝0；当x＝1时，a+b+3＝4．可得方程组．解得：．当x＝2时，ax2+bx+3＝3；当x＝3时，ax2+bx+3＝0．故答案是：3；0；（2）当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的（答案不唯一）（3）解：甲的说法不正确．举反例：当x＝1时，y＝4；但当x＝2时，y＝3，所以y随x的增大而增大，这个说法不正确．乙的说法正确．证明：﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．∵（x﹣1）2≥0．∴﹣（x﹣1）2+4≤4．∴不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4．21．【答案】（1）证明：∵Δ＝[-2（n-1）]2-4（n2-2n）＝4＞0，∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，∵第三边BC的长是10，当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，当x＝10时，100-20（n-1）+n2-2n＝0，解得n＝12或10，①当n＝12时，方程变为x2-22x+120＝0，设等腰三角形的底为m，根据根与系数的关系，m+10＝22，∴m＝12，∴△ABC的周长为：10+10+12＝32；②当n＝10时，方程变为x2-18x+80＝0，设等腰三角形的底为n，根据根与系数的关系，10+n＝18，解得n＝8，∴△ABC的周长为10+10+8＝28；综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n＝0的两个根，∴AB+AC＝2（n-1），AB•AC＝n2-2n，∵△ABC是以BC为斜边的直