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文档简介
21.2解一元二次方程同步训练2024—2025学年人教版数学九年级上册一、单选题1.对于实数定义新运算:,若关于的方程没有实数根,则的取值范围()A. B.C.且 D.且2.若关于的方程(为常数)有两个相等的实数根,则的值为()A. B.4 C. D.13.关于x的方程a−3xA.且 B.C.且 D.4.方程经配方后,可化为()A. B. C. D.5.关于方程x2+2x-4=0的根的情况,下列结论错误的是()A.有两个不相等的实数根 B.两实数根的和为2C.两实数根的差为± D.两实数根的积为-46.下列方程一定有实数根的是()A. B.C. D.7.关于x的方程ax2﹣2x﹣1=0有实数根,则a的取值范围是()A.a≥﹣1 B.a>﹣1C.a≥﹣1且a≠0 D.a>﹣1且a≠08.一元二次方程根的情况是()A.没有实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不等的实数根 D.只有一个实数根9.从a,b,c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数,根据不同的选择得到三个结果,,,称为一次操作.下列说法:①若,,,则,,三个数中最大的数是4;②若,,,且,,中最小值为,则;③给定a,b,c三个数,将第一次操作的三个结果,,按上述方法再进行一次操作,得到三个结果,,,以此类推,第n次操作的结果是,,,则的值为定值.其中正确的个数是()A.3 B.2 C.1 D.010.已知x,y为实数,且满足,记的最大值为M,最小值为m,则().A. B. C. D.二、填空题11.已知关于的一元二次方程,若这个方程没有实数根,则的取值范围是.12.方程的根是.13.在中,且关于的方程有两个相等的实数根,则边上的中线长为.14.设实数,,满足,则的最大值为.15.点是正方形边延长线上的一点,连接,,则的最大值是.三、解答题16.解方程:17.关于的一元二次方程是否存在,使方程求出的两根,一根加5,另一根减3,得到的两数互为相反数?如果有,求出,如果没有说明理由.18.已知关于的一元二次方程(1)求证:不论为何值,该方程总有两个实数根;(2)若方程的一个根是,求的值及方程的另一个根.19.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围.(2)若x₁,x₂分别是这个方程的两个根,且求k的值.20.某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质(a、b为常数)”时,进行了如下活动.【实验操作】取不同的x的值,计算代数式ax2+bx+3的值.x…﹣10123…ax2+bx+3…034…(1)根据上表,计算出a、b的值,并补充完整表格.(2)【观察猜想】实验小组组员,观察表格,提出以下猜想.同学甲说:“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”.同学乙说:“不论x取何值,代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”.
请你也提出一个合理的猜想:
(3)【验证猜想】我们知道,猜想有可能是正确的,也可能是错误的.
请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确,若不正确,请举出反例;若正确,请加以说理.21.已知△ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2-2(n-1)x+n2-2n=0的两个根,第三边BC的长是10.(1)求证:无论n取何值,此方程总有两个不相等的实数根.(2)当n为何值时,△ABC为等腰三角形?并求△ABC的周长.(3)当n为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?
答案解析部分1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】C10.【答案】C11.【答案】12.【答案】13.【答案】514.【答案】15.【答案】16.【答案】x1=-,x2=217.【答案】存在,218.【答案】(1)证明:∵,,,∴,∴不论为何值,该方程总有两个实数根;(2)解:将代入原方程得:,∴,∴原方程为,,∵,∴方程的另一个根为.19.【答案】(1)解:∵原方程有两个不相等的实数根,
∴b2-4ac>0即4-4(2k-5)>0
解之:k<3,
∴k的取值范围为k<3.(2)解:∵x₁+x₂=-2,x₁x₂=2k-5,
∴
∴4+2k-5=-3,
解之:k=-1.
∴k的值为-1.20.【答案】(1)解:当x=﹣1时,a﹣b+3=0;当x=1时,a+b+3=4.可得方程组.解得:.当x=2时,ax2+bx+3=3;当x=3时,ax2+bx+3=0.故答案是:3;0;(2)当x=﹣2和x=4时,代数式(ax2+bx+3)的值是相等的(答案不唯一)(3)解:甲的说法不正确.举反例:当x=1时,y=4;但当x=2时,y=3,所以y随x的增大而增大,这个说法不正确.乙的说法正确.证明:﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4.∵(x﹣1)2≥0.∴﹣(x﹣1)2+4≤4.∴不论x取何值,代数式ax2+bx+3的值一定不大于4.21.【答案】(1)证明:∵Δ=[-2(n-1)]2-4(n2-2n)=4>0,∴无论x取何值,此方程总有两个不相等的实数根;(2)解:由(1)得,无论x取何值,此方程总有两个不相等的实数根,∵第三边BC的长是10,当△ABC为等腰三角形时,x=10为一元二次方程的一个根,当x=10时,100-20(n-1)+n2-2n=0,解得n=12或10,①当n=12时,方程变为x2-22x+120=0,设等腰三角形的底为m,根据根与系数的关系,m+10=22,∴m=12,∴△ABC的周长为:10+10+12=32;②当n=10时,方程变为x2-18x+80=0,设等腰三角形的底为n,根据根与系数的关系,10+n=18,解得n=8,∴△ABC的周长为10+10+8=28;综上,当n=12时,△ABC是等腰三角形,此时△ABC的周长为32;当n=10时,△ABC是等腰三角形,此时△ABC的周长为28;(3)解:∵AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2-2(n-1)x+n2-2n=0的两个根,∴AB+AC=2(n-1),AB•AC=n2-2n,∵△ABC是以BC为斜边的直
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