2021年全国中考数学压轴题精练

2021年中考数学压轴题选编

1.(2021•北京市)在平面直角坐标系X。)，中，。。的半径为1.对于点A和线段8C,给出如下定义：假设将

线段8C绕点A旋转可以得到。。的弦分别是B,C的对应点)，那么称线段8C是。。的以

点A为中心的“关联线段”.

(1)如图，点A,当，皂,B2,C2,B3,C3的横、纵坐标都是整数.在线段BiG，B2c2,83c3中，。。的

以点A为中心的“关联线段”是;

(2)△ABC是边长为1的等边三角形，点4(0,t),其中t力0.假设BC是。。的以点A为中心的“关联

线段”，求/的值；

(3)在△48C中，AB=1,4c=2.假设3c是。0的以点A为中心的“关联线段”，直接写出。4的最

小值和最大值，以及相应的BC长.

2.(2021・天津市)抛物线y=a/—2ax+c(a,c为常数，a40)经过点C(0,-1),顶点为D

(1)当。=1时，求该抛物线的顶点坐标；

(口)当(1>0时，点后(0,1+61),假设DE=2&DC,求该抛物线的解析式；

(HI)当a<-l时，点F(O,l-a),过点C作直线/平行于u轴,是x轴上的动点,N(m+3,-l)

是直线/上的动点.当。为何值时，FM+CN的最小值为2同，并求此时点M,N的坐标.

3.(2021.河北省)在一平面内，线段4B=20,线段BC=CD=ZM=10,将这四条线段顺次首尾相接.把

A8固定，让绕点A从A8开始逆时针旋转角a(a>0。)到某一位置时，BC,CO将会跟随出现到相

应的位置.

论证：如图1,当AD//BC时，设AB与交于点O,求证：4。=10；

发现：当旋转角a=60。时，乙4DC的度数可能是多少？

尝试：取线段C。的中点M,当点M与点8距离最大时，求点例到A8的距离；

拓展：①如图2,设点Q与3的距离为d,假设NBCD的平分线所在直线交AB于点尸，直接写出2P

的长(用含d的式子表示)；

②当点C在AB下方，且与C。垂直时，直接写出a的余弦值.

B

备用图2

4.(2021♦山西省)如图，抛物线y=12+2工一6与犬轴交于43两点(点A在

点B的左侧)，与y轴交于点C,连接AC,BC.\|/.

(1)求A、B,C三点的坐标并直接写出直线4C,BC的函数表达式./

(2)点尸是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点尸作BC的平行线/,交\

线段AC于点。.\/C

①试探究：在直线/上是否存在点E,使得以点。，C,B,E为顶点的四

边形为菱形，假设存在，求出点E的坐标，假设不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线/交于点M,与直线AC交于点N.当SADMN=S-oc时，请直接写出DM的

长.

5.(2021•辽宁省辽阳市)如图,抛物线y=-32+以+。与》轴交于点4和点(?(一1,0),与丫轴交于点8(0,3),

连接AB,BC,点尸是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PDLx轴于点。，交4B于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,作PF1PZ)于点尸，使PF=IOA,以PE,P尸为邻边作矩形PEGF,当矩形PEGF的面积是

△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；

(3)如图2,当点P运动到抛物线的顶点时，点。在直线PO上，假设以点Q、A、B为顶点的三角形

是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标〃的取值范围.

6.(2021.吉林省)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/+故+。的图象经过点做0,一令，点8(1,》

(1)求此二次函数的解析式；

(2)当一2<xW2时，求二次函数y=x2+bx+c的最大值和最小值；

(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为，%过点P作PQ〃；d4，点。的横坐标为-2巾+1.点P

与点。不重合，且线段PQ的长度随机的增大而减小.

①求，”的取值范图；

②当PQ<7时，直接写出线段PQ与二次函数y=x2+bx+c(-2<x<$的图象交点个数及对应的

机的取值范围.

7.(2021.吉林省长春市)在平面直角坐标系中，抛物线y=2(x—m)2+2m(7n为常数)的顶点为A.

(1)当巾=［时，点A的坐标是，抛物线与y轴交点的坐标是；

(2)假设点A在第一象限，且。A=㈢，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x

的增大而减小时x的取值范围；

(3)当xW2nl时，假设函数y=2(x—m)2+m的最小值为3,求相的值；

(4)分别过点P(4,2)、(2(4,2-26)作〉轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N.当抛物线y=2(x-

m)2+2m与四边形尸QVM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点2、点C,且点B的纵坐标

大于点C的纵坐标.假设点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出，〃的值.

8.(2021.江苏省无锡市)四边形ABC。是边长为1的正方形，点E是射线8C上的动点，以AE为直角边在

直线BC的上方作等腰直角三角形AEF,AAEF=90°,设BE=m.

备用图

(1)如图，假设点E在线段BC上运动，EF交CD于点、P,AF交CZ)于点Q,连结CF,

①当机=1时，求线段CF的长；

②在APQE中，设边QE上的高为〃，请用含，”的代数式表示/?,并求力的最大值；

(2)设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形4E尸截得的线段长为y,请直接写出y与机

的关系式.

9.（2021.江苏省南京市）在几何体外表上，蚂蚁怎样爬行路径最短?

（1）如图①，圆锥的母线长为12c牝，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，元的长为4兀cm.在图

②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径,并标出它的长（结果保存根号）.

①②

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.0是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，

设圆锥的母线长为/,圆柱的高为近

①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为（用含I,h的代数式表示）.

②设检的长为m点8在母线OC上，0B=b.圆柱的侧面展开图如下图④，在图中画出蚂蚁从点A

爬行到点8的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.

10.(2021•江苏省宿迁市)如图，抛物线y=-枭2+加；+(:与工轴交于4(—1,0),5(4,0),与y轴交于点C.连

接AC,BC,点P在抛物线上运动.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图①，假设点尸在第四象限，点。在PA的延长线上，当/CAQ=NCB4+45。时，求点P的坐

标；

(3)如图②，假设点P在第一象限，直线AP交BC于点F,过点尸作x轴的垂线交BC于点H,当4PFH

为等腰三角形时，求线段P”的长.

图①图②备用图

11.(2021•江苏省苏州市)如图，在矩形ABCO中，线段EF、GH分别平行于A。、AB,它们相交于点P,

7

点Pi、P2分别在线段刊、PH上,PP[=PG,PP2=PE,连接AH、P2F,PI”与「2/相交于点Q4G：

GD=AE：EB=1：2,设4G=a,AE=b.

(1)四边形E8HP的面积四边形GPBD的面积(填“>"、"="或)

(2)求证：&P、FQSAP2HQ；

(3)设四边形PP1QP2的面积为S「四边形C/。”的面积为S2,求兴的值.

12.(2021•江苏省连云港市)在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.

(：1)△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且4E=1,小亮以BE为边作等边三角形

(2)△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形8EF,

如图2.在点E从点C到点A的运动过程中，求点尸所经过的路径长;

(3)△4BC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以3M为边作等边三角形BMN,

如图3.在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；

cD

图3图4

(4)正方形ABC。的边长为3,E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点8的运动过程中，小亮以

8为顶点作正方形8FG”，其中点尸、G都在直线上，如图4.当点E到达点8时，点尸、G、H与

点B重合.那么点”所经过的路径长为，点G所经过的路径长为.

13.(2021•浙江省衢州市)【推理】

如图1,在正方形ABCO中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点尸处，连结

BE,CF,延长CF交AO于点G.

(1)求证：ABCESACDG.

【运用】

(2)如图2,在【推理】条件下，延长BF交A。于点儿假设黑=：,CE=9,求线段。E的长.

rir5

【拓展】

(3)将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠,连结CF,延长CF,BF交直线AO于G,H两点,假设黑=k,

DC

等=3求普的值(用含上的代数式表示).

nrbcC

14.(2021•浙江省宁波市)如图1,四边形ABC。内接于。。，8。为直径，检上存在点E,满足卷=%,

连结BE并延长交C£)的延长线于点尸，BE与交于点G.

(1)假设NDBC=a,请用含a的代数式表示乙4GB.

(2)如图2,连结CE,CE=BG.求证：EF=DG.

(3)如图3,在(2)的条件下，连结CG,AD=2.

①假设tan乙4DB=多求4FGD的周长.

②求CG的最小值.

图1

15.（2021•浙江省杭州市）如图，锐角三角形ABC内接于。。，/B4C的平分线

AG交。。于点G,交8c边于点F,连接2G.

（1）求证：^ABG-^AFC.

（2）48=a,AC=AF=b,求线段尸G的长（用含a,〃的代数式表示）.

（3）点E在线段AF上（不与点A,点尸重合），点。在线段AE上（不与点A,

点E重合），LABD=Z.CBE,求证：BG2=GEGD.

16.（2021•浙江省台州市）如图，8。是半径为3的。。的一条弦，BD=4VI,点A是。。上的一个动点（不

与点、B,。重合），以A,B,。为顶点作。4BCZ）.

(1)如图2,假设点A是劣弧崩的中点.

①求证：办8C。是菱形；

②求。ABCQ的面积.

(2)假设点A运动到优弧的上，且QABCQ有一边与。。相切.

①求的长；

②直接写出口48s对角线所夹锐角的正切值.

17.(2021.浙江省金华市)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-/疗,0),点B在直线/：y-|x.t,过点

B作A8的垂线，过原点O作直线/的垂线，两垂线相交于点C.

(1)如图，点8,C分别在第三、二象限内，BC与4。相交于点。.

①假设B4=B。，求证：CD=CO.

②假设“BO=45。，求四边形ABOC的面积.

(2)是否存在点2,使得以A,B,C为顶点的三角形与ABCO相似？假设存在，求OB的长；假设不存

备用图

在，请说明理由.

18.(2021.浙江省温州市)如图，在平面直角坐标系中，OM经过原点0,分别交x轴、y轴于点4(2,0),8(0,8),

连结4B.直线CM分别交0M于点£>,E(点。在左侧)，交x轴于点C(17,0),连结AE.

(1)求OM的半径和直线CM的函数表达式；

(2)求点。，E的坐标；

(3)点P在线段AC上，连结PE.当N2EP与AOBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长.

19.(2021•浙江省嘉兴市)小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形

ABCD绕点A顺时针旋转a(0。<a<90°),得到矩形AB'C'D',连结BD.

［探究1］如图1,当a=90。时，点C'恰好在延长线上.假设48=1,求BC的长.

［探究2］如图2,连结4C',过点。'作交80于点M.线段D'M与。M相等吗？请说明理由.

［探究3］在探究2的条件下，射线力8分别交AD',AC'于点尸，N(如图3),发现线段0MMN,尸N存

在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.

20.(2021•浙江省丽水市)如图，在菱形A8CO中，乙4BC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A

按逆时针方向旋转，交直线CD于点E

(1)当4EJ_BC,NE4F=zL4BC时，

①求证：AE=AF；

②连结8£>,EF,假设霹=：，求户匚的值；

JBD53菱形ABCD

(2)当NE4F=时，延长BC交射线AF于点M,延长。C交射线AE于点M连结AC,MN,

假设4B=4,AC=2,那么当CE为何值时，AAMN是等腰三角形.

D

21.(2021.浙江省湖州市)在平面直角坐标系xO)，中，点A是反比例函数y=：(x＞0)图象上的一个动点,

连结A。，A。的延长线交反比例函数y=：(卜＞0,芯＜0)的图象于点8,过点A作4E_Ly轴于点E.

图1图2

(1)如图1,过点B作BF1x轴，于点F,连接EF.

①假设k=l,求证：四边形AEF。是平行四边形;

②连结3E,假设k=4,求△BOE的面积.

(2)如图2,过点E作EP〃/18,交反比例函数y=式卜＞0/＜0)的图象于点「，连结。P.试探究：对

于确定的实数A,动点A在运动过程中，APOE的面积是否会发生变化？请说明理由.

22.(2021.福建省)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点.

(1)假设抛物线过点P(0,l),求a+b的最小值；

(2)点七(一2,1),P2(2,-l),。3(2,1)中恰有两点在抛物线上.

①求抛物线的解析式；

②设直线/：y=kx+1与抛物线交于M,N两点，点A在直线y=—l上，且4M4N=90。，过点A

且与x轴垂直的直线分别交抛物线和/于点B,C.求证：与AMBC的面积相等.

23.(2021•山东省东营市)点O是线段AB的中点，点P是直线/上的任意一点，分别过点A和点8作直线

/的垂线，垂足分别为点C和点。.我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”.

(1)［猜测验证］如图1,当点P与点。重合时，请你猜测、验证后直接写出“足中距"OC和。。的数

量关系是.

(2)［探究证明］如图2,当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距"OC和。。的数量关系是否依然

成立，假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由.

(3)［拓展延伸］如图3,①当点尸是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距"OC和。。的数量关系

是否依然成立，假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由；

②假设4。。。=60°,请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系.

D

D.

OB

图1图2图3

24.(2021.山东省枣庄市)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-1x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,

抛物线y=^%2+bx+c经过坐标原点和点A,顶点为点M.

(1)求抛物线的关系式及点M的坐标；

(2)点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB,EA,当△E4B的面积等于g时，求E点的坐标：

(3)将直线A3向下平移，得到过点M的直线y=7nx+n,且与x轴负半轴交于点C,取点。(2,0),连

接DM,求证：/.ADM-/.ACM=45°.

25.(2021•山东省荷泽市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a-+版一4交x轴于4(一1,0)、8(4,0)两

备用图

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点P为第四象限内抛物线上一点，连接尸8,过点C作CQ〃BP交x轴于点Q,连接PQ,求△PBQ面

积的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，将抛物线丫=a/+bx-4向右平移经过点G，0)时，得到新抛物线y=%/+

bix+q,点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F,使得以A、P、E、尸为顶点的

四边形为矩形，假设存在，请直接写出点尸的坐标：假设不存在，请说明理由.

参考：假设点Pi(x1,yi)、P2(x2,y2),那么线段「止2的中点％的坐标为(弩，空),

26.(2021.山东省临沂市)如图，正方形ABC。，点E是8C边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点8落在

/处，连接BF并延长，与4。4尸的平分线相交于点H,与AE,CZ)分别相交于点G,M,连接HC.

(1)求证：AG=GH；

(2)假设4B=3,BE=1,求点。到直线的距离；

(3)当点E在8C边上(端点除外)运动时，N8HC的大小是否变化？为什么？

27.(2021.山东省泰安市)如图1,。为半圆的圆心，C、。为半圆上的两点，且的=/.连接4C并延长,

与BD的延长线相交于点E.

(1)求证：CD=ED；

(2)4。与OC,BC分别交于点凡H.

①假设CF=CH，如图2,求证：CF-AF=FOAH-,

②假设圆的半径为2,BD=1,如图3,求AC的值.

E

E

图1

28.(2021.湖北省黄石市)抛物线y=ax2-2bx+b(a*0)与y轴相交于点C(0,—3),且抛物线的对称轴为

%=3,。为对称轴与x轴的交点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、尸两点，假设ADEF是等腰直角三

角形，求AOEF的面积；

(3)假设P(3,t)是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求尸。的最小值(用含，的代数式表示).

B

29.(2021.湖北省襄阳市)如图，直线y="+l与x,y轴分别交于点B,A,顶点为P的抛物线旷=aM一

2ax+c过点A.

(1)求出点4,8的坐标及c的值；

(2)假设函数y=ax2-2ax+c在3<%<4时有最大值为a+2,求a的值；

(3)连接AP,过点A作AP的垂线交x轴于点时.设4BMP的面积为5.

①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；

②结合S与a的函数图象，直接写出S>E时a的取值范围.

30.(2021・湖北省)如图1,ARPQ=45°,ZkABC中，AACB=90°,动点尸从点A出发，以2西cm/s的速

度在线段AC上向点C运动，PQ,PR分别与射线AB交于E,尸两点，且PE14B,当点P与点C重

合时停止运动，如图2,设点P的运动时间为％s,4RPQ与△4BC的重叠局部面积为ycm2,y与工的

函数关系由Ci(0<%<5)和C2(5<%<九)两段不同的图象组成.

(1)填空：①当％=5s时，EF=cm,

@sinA=；

(2)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围;

(3)当y236cm2时，请直接写出x的取值范围.

31.(2021.湖北省鄂州市)如图，直线y=-|尤+6与x轴交于点与y轴交于点A,点尸为线段AB的中

点，点。是线段。4上一动点(不与点。、4重合).

(1)请直接写出点A、点反点尸的坐标；

(2)连接PQ,在第一象限内将4OPQ沿PQ翻折得到^EPQ,点、O的对应点为点E.假设4QE=90°,

求线段A。的长；

(3)在(2)的条件下，设抛物线y=ax2-2a2x+a3+a+l(a*0)的顶点为点C.

①假设点C在APQE内部(不包括边)，求a的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点C,使|CQ-CE|最大？假设存在，请直接写出点C的坐标；假设

不存在，请说明理由.

32.(2021•湖北省恩施土家族苗族自治州)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABC。为正方形，点A,B

在x轴上，抛物线y=/+bx+c经过点8,。(一4,5)两点，且与直线。C交于另一点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q,F,E,8为顶点的四

边形是以BE为边的菱形,假设存在，请求出点尸的坐标；假设不存在，请说明理由；

(3)P为)，轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为例，连接用E,BP,探究EM+MP+PB是

否存在最小值.假设存在，请求出这个最小值及点M的坐标；假设不存在，请说明理由.

备用图

33.(2021•湖北省十堰市)抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于点4(一1,0)和8(-5,0),与y轴交于点C,顶点

为P,点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连4V交抛物线于仞，连AC、CM.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,当tan乙4cM=2时，求"点的横坐标；

(3)如图2,过点P作x轴的平行线/,过M作MC_U于。，假设MD=bMN,求N点的坐标.

34.(2021•湖北省随州市)在平面直角坐标系中，抛物线、=£1/+族+。与》轴交于点4(-1,0)和点8,与

y轴交于点C,顶点。的坐标为(1,一4).

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图1,假设点P在抛物线上且满足4PCB=NCBD,求点P的坐标；

(3)如图2,M是直线BC上一个动点，过点M作MN1x轴交抛物线于点N,。是直线AC上一个动点，

当^QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点。的坐标.

35.(2021•湖北省宜昌市)在平面直角坐标系中，抛物线％=—(X+4)(%-71)与x轴交于点A和点

B(n,0)(n>一4),顶点坐标记为(h1，上1),抛物线”=一(％+2n)2-n2+2n+9的顶点坐标记为(无2，12>

(1)写出A点坐标；

(2)求七，七的值(用含"的代数式表示)

(3)当一4<n<4时，探究心与心的大小关系；

(4)经过点M(2n+9,-5n2)和点N(2n,9-5n2)的直线与抛物线y1=-(%+4)(x-n),y2=-(x+

2n)2-n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值.

36.(2021•湖北省黄冈市)抛物线y=a/+"-3与x轴相交于4(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,

点N(n,0)是x轴上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,假设几<3,过点N作x轴的垂线交抛物线于点P,交直线BC于点G.过点P作PD1BC于

点£>,当〃为何值时、4PDGABNG；

(3)如图2,将直线BC绕点8顺时针旋转，它恰好经过线段。C的中点，然后将它向上平移|个单位长

度，得到直线

①tanz_80Bi=；

②当点N关于直线。当的对称点M落在抛物线上时，求点N的坐标.

37.(2021•湖北省武汉市)抛物线y=/-l交x轴于A,8两点(4在2的左边).

(1)〃1CZ)E的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在)，轴右侧的抛物线上；

①如图(1),假设点C的坐标是(0,3),点E的横坐标是|,直接写出点A,。的坐标.

②如图(2),假设点D在抛物线上，且。4C£>E的面积是12,求点E的坐标.

(2)如图(3),F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线/分别交线段AF,BF(不含端

点)于G,H两点.假设直线/与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值.

38.(2021.湖南省张家界市)如图，二次函数丫=。/+"+。的图象经过点(?(2,—3),且与x轴交于原点及

点B(8,0).

(1)求二次函数的表达式；

(2)求顶点A的坐标及直线AB的表达式；

(3)判断△AB。的形状，试说明理由；

(4)假设点P为。。上的动点，且。。的半径为2VL一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速

度沿线段AP匀速运动到点P,再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动,

求点E的运动时间r的最小值.

39.(2021•湖南省株洲市)二次函数y=ax2+b%+c(a＞0).

(1)假设a=T，b=c=-2,求方程a/+bx+c=0的根的判别式的值；

(2)如下图，该二次函数的图象与x轴交于点4(%,0)、0)，且不＜0＜型，与y轴的负半轴交于

点点。在线段上，连接、BD,满足乙

C,OCAC4c0=N4BD,--a+C=X1.

①求证：4AOC任DOB；

②连接BC,过点。作DE1BC于点E,点尸(0,匕一&)在y轴的负半轴上，连接AF,且〃C。=^.CAF+

乙CBD,求F的值.

X1

40.（2021.湖南省长沙市）如图，点。为以AB为直径的半圆的圆心，点M,N

在直径A8上，点P,。在检上，四边形MNP。为正方形，点C在彼上

运动（点C与点P,Q不重合），连接BC并延长交"Q的延长线于点，

连接AC交于点E,连接OQ.

（1）求sin乙40Q的值；

（2）求熬的值；

（3）令ME=x,QD=y,直径4B=2R（R>0/是常数），求），关于x的函数解析式，并指明自变量x

的取值范围.

41.(2021•广东省梅州市)二次函数旷=a/+bx+c的图象过点(-1,0),且对任意实数x,都有4x-12W

ax2+bx+c<2x2—8x+6.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)假设(1)中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A,与)，轴交点为C；点M是(1)中二次函数图象上

的动点.问在x轴上是否存在点M使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.假设存在，求

出所有满足条件的点N的坐标；假设不存在，请说明理由.

42.(2021.重庆市)在△ZBC中，AB=AC,。是边8C上一动点，连接4,将绕点A逆时针旋转至4E

的位置，使得ND4E+ABAC=180°.

(1)如图1,当NB4C=90。时，连接BE,交AC于点F.假设8E平分44BC,BD=2,求AF的长；

(2)如图2,连接BE,取BE的中点G,连接4G.猜测AG与C£»存在的数量关系，并证明你的猜测；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接。G,CE,假设4BAC=120。，当BD>CD,乙4EC=150。时，请直

接写出安会的值.

CE

DD

图1图3

43.(2021•重庆市)在等边△ABC中，AB=6,BD1AC,垂足为。，点E为AB边上一点，点F为直线

上一点，连接EF.

(1)将线段EF绕点E逆时针旋转60。得到线段EG,连接FG.

①如图1,当点E与点8重合，且G尸的延长线过点C时，连接£>G,求线段OG的长;

②如图2,点E不与点A,B重合，GF的延长线交BC边于点”，连接EH,求证：BE+BH=V3BF;

(2)如图3,当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN=2NC,点F从BD中点

Q沿射线QO运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60。得到线段EP,连接FP,当NP+^MP最小时,

直接写出ADPN的面积.

44.(2021.贵州省贵阳市)(1)阅读理解

我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作凋髀算经少中.汉代数学家赵

爽为了证明勾股定理，创制了一幅如下图①的“弦图"，后人称之为“赵爽弦图”.

根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

(2)问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心0,作FG1HP,

将它分成4份，所分成的四局部和以BC为边的正方形恰好能拼成以A8为边的正方形.假设4c=12,

BC=5,求EF的值；

(3)拓展探究

如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形,

重复这一过程就可以得到“勾股树”的局部图形.设大正方形N的边长为定值〃，小正方形A,B,C,

。的边长分别为a,b,c,d.

Z1=Z2=Z3=a,当角a((T<a<90。)变化时，探究h与c的关系式，并写出该关系式及解答过程

3与c的关系式用含〃的式子表示).

45.(2021•云南省)抛物线y=—2/+"+c经过点当久<一4时，y随x的增大而增大，当x>-4

时，V随x的增大而减小.设r是抛物线y=-2x2+bx+c与x轴的交点(交点也称公共点)的横坐标，

r9+r7-2rs+r3+r-l

m=---------------•

r9+60r5-l

(1)求从C的值；

(2)求证：r4—2r2+1=60r2；

(3)以下结论：m<1,m=1,m>1,你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论.

46.(2021•甘肃省庆阳市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12+汝+吟坐标轴交于4(0,-2),

B(4,0)两点，直线BC：y=-2x+8交y轴于点C.点。为直线A8下方抛物线上一动点，过点。作x

轴的垂线，垂足为G,OG分别交直线BC,A8于点E,F.

(1)求抛物线y=jx2+bx+c的表达式；

(2)当GF=3时，连接80,求ABDF的面积；

(3)①”是y轴上一点，当四边形8E/7F是矩形时，求点H的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点P,满足PH=PC+2,求APHB周长的最小值.

47.(2021•黑龙江省)如图，在平面直角坐标系中，A/lOB的边OA在x轴上，。4=48,且线段04的长是

方程产一4%-5=0的根，过点8作BEJ.X轴，垂足为E,tan/BAE=+动点M以每秒1个单位长

度的速度，从点A出发，沿线段A8向点8运动，到达点8停止.过点M作x轴的垂线，垂足为£>,以

MO为边作正方形MOC凡点C在线段0A上，设正方形MOCF与AZOB重叠局部的面积为S,点M

的运动时间为t(t>0)秒.

(1)求点B的坐标；

(2)求S关于，的函数关系式，并写出自变量/的取值范围；

(3)当点尸落在线段0B上时，坐标平面内是否存在一点P,使以M、A、。、P为顶点的四边形是平行

四边形？假设存在，直接写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】B2c2

【解析】解：(1)由旋转的旋转可知:AB=AB',AC=AC,

乙BAB'=^CAC,

由图可知点A到圆上一点的距离”的范围为&-l<d<V2+

vACr=3>d,

・••点Cl'不可能在圆上，

不是。。的以A为中心的“关联线段”，

•••AC2=1,也=近，

・••B2c2是。。的以4为中心的"关联线段"，

•••AC3=2,AB3=V5,

当在圆上时，B3’(l,0)或

由图可知此时C3'不在圆上，

・••B3c3不是。。的以4为中心的“关联线段”.

故答案为；B2c2.

(2)••・△48C是边长为1的等边三角形，

根据旋转的性质可知△AB'C'也是边长为1的等边三角形,

4(0"),

二B'C'_Ly轴，且B'C'=1,

4。为B'C'边上的高，且此高的长为V5,

•••t-或—0.

(3)由旋转的性质和“关联线段”的定义，

可知4B'=4B=OB'=OC'=1,AC=AC=2,如图1,

c

o

B'

图1

利用四边形的不稳定性可知,

当A,O,C'在同一直线上时，最小，最小值为1,如图2,

图2

止匕时。4=OB'=0C,

：.乙AB'C=90°,

B'C=>JAC'2-AB'2=V22-I2=V3.

OA最大，如图3,

此时04=2,过点A作AE10C'于E,过点C'作C'F104于F.

•：AO=AC=2,AE1OC,

：.0E=EC=I，

：.AE=yjAO2-0E2=22-(|)2=苧

■■S^AOCI=\-AO-CF=1-OC'-AE,

C'F=-

4

：•OF=y/OC'2-C'F2=12_(坞2-1,

k474

FB'=OB'-OF=-,

4

B'C=7FB'2+FC'2=2+(吗2=匹

I4，2

综上OA的最小值为1时，此时BC的长为V5,OA的最大值为2,此时BC的长为当.

(1)利用旋转的性质以及点A到圆上一点距离的范围，结合图形判断，即可求出答案.

(2)利用旋转的性质，“关联线段”的定义以及等边三角形的性质，求出B'C'的位置，从而求出，的值.

(3)利用旋转的性质以及“关联线段”的定义，可知四边形AB'OC'的各边长，利用四边形的不稳定性，画

出OA最小和最大时的图形，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求出答案.

此题属于圆综合题，考查了旋转有关的新定义题，利用旋转的性质，等腰三角形，等边三角形，勾股定理

等知识点，此题的关键画出最小和最大时的图形，属于中考压轴题.

2.【答案】解：抛物线y=ax?-2ax+c(a,c为常数，aH0)经过点那么c=-1,

(I)当。=1时，抛物线的表达式为y=x2-2%-1=(x-I)2-2,

故抛物线的顶点坐标为(1,-2)；

(II),•,y=ax2—2ax-1=a(x—l)2—a—1,

故点。(1,—a-1),

由DE=2V2DCW：DE2=8CD2,

即(1-0)2+(a+1+a+l)2=8[(1-0)2+(-a-1+l)2],

解得a=q或I，

故抛物线的表达式为y=|x2-x-1或y=|x2-3x-1；

(HI)将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D'(-2,-a),

作点尸关于x轴的对称点尸'，那么点F'的坐标为(0,a-1),

当满足条件的点M落在尸'。上时，由图象的平移知DN=D'M,故此时FM+ND最小，理由:

vFM+ND=F'M+D'M=F'。'为最小，即尸。=2V10.

那么D'F'=J(—2—0)2+(—a—2+1)2=2V10,

解得a="舍去)或一条

那么点。‘、F'的坐标分别为(一2,|)、(0,-今,

由点D'、F’的坐标得，直线。'尸'的表达式为y=-3x-%

77

当y=0时，y--3%--=0,解得x=-z=m,

26

那么m+3=?,

6

即点M的坐标为(一：,0)、点N的坐标为(2,—1).

OO

【解析】(I)由y=x2-2x-l=(x—l)2-2,即可求解；

(n)由DE=2&DC得:DE2=8CD2,那么(1-0)2+(a+1+a+I)2=8[(1-0)2+(-a-1+l)2],

即可求解；

(皿)当满足条件的点"落在F'D'上时，由图象的平移知DN=D'M,故此时FM+ND最小，进而求解.

主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代

数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

3.【答案】论证：

证明：

-Z-A=乙B,Z.C=乙D,

在△4。。和ABOC中，

(Z-A=乙B

{AD=BC,

(乙。=Z.C

•••△4。。幺8。。(的1),

・•・4。=B0,

vAO+BO=AB=20,

・・・4。=10；

发现：设AB的中点为。，如图：

D

当AD从初始位置40绕A顺时针旋转60。时，BC也从初始位置BC'绕点B顺时针旋转60。，

而B。=BC=10,

•••△BC'。是等边三角形，

•••8c旋转到BO的位置，即C以O重合，

•••AO=AD