新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题09 平面向量及其应用（原卷版）

第第页专题09平面向量及其应用一、知识速览二、考点速览知识点1向量的有关概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．2、零向量：长度为0的向量，记作SKIPIF1<0.3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量．4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：SKIPIF1<0与任一向量平行．5、相等向量：长度相等且方向相同的向量．6、相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：SKIPIF1<0；结合律：SKIPIF1<0减法求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的相反向量SKIPIF1<0的和的运算SKIPIF1<0数乘求实数λ与向量SKIPIF1<0的积的运算SKIPIF1<0，当λ>0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向相同；当λ<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向相反；当λ＝0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0知识点3向量共线定理与基本定理1、向量共线定理：如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，反之，如果SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则一定存在唯一的实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.2、三点共线定理：平面内三点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线的充要条件是：存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平面内一点。3、平面向量基本定理（1）定义：如果SKIPIF1<0是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量SKIPIF1<0，有且只有一对实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）基底：若SKIPIF1<0不共线，我们把SKIPIF1<0叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．（3）对平面向量基本定理的理解=1\*GB3①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．=2\*GB3②基底给定时，分解形式唯一．SKIPIF1<0是被SKIPIF1<0唯一确定的数值．=3\*GB3③SKIPIF1<0是同一平面内所有向量的一组基底，则当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．=4\*GB3④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．知识点4平面向量的数量积1、向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则∠AOB就是向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角．（2）范围：设θ是向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角，则0°≤θ≤180°.（3）共线与垂直：若θ＝0°，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向；若θ＝180°，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向；若θ＝90°，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直．2、平面向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，它们的夹角为θ，则数量SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量积(或内积)，记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，规定零向量与任一向量的数量积为0，即SKIPIF1<0.（2）几何意义：数量积SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0的长度SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的方向上的投影SKIPIF1<0的乘积．【注意】（1）数量积SKIPIF1<0也等于SKIPIF1<0的长度|b|与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影SKIPIF1<0的乘积，这两个投影是不同的．（2）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影也可以写成SKIPIF1<0，投影是一个数量，可正可负可为0，取决于θ角的范围．3、向量数量积的性质设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个非零向量，SKIPIF1<0是单位向量，α是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：（1）SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同向⇔SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0反向⇔SKIPIF1<0.特别地SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（4）若θ为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角，则SKIPIF1<0.4、平面向量数量积的运算律（1）SKIPIF1<0(交换律)．（2）SKIPIF1<0(结合律)．（3）SKIPIF1<0(分配律)．【注意】对于实数a，b，c有SKIPIF1<0，但对于向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0而言，SKIPIF1<0不一定成立，即不满足向量结合律．这是因为SKIPIF1<0表示一个与c共线的向量，而SKIPIF1<0表示一个与a共线的向量，而SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不一定共线，所以SKIPIF1<0不一定成立．知识点5平面向量的坐标运算1、向量的线性运算坐标表示（1）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．（2）若SKIPIF1<0，则；结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。2、向量平行坐标表示：已知SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线的充要条件是SKIPIF1<03、向量数量积的坐标表示已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模SKIPIF1<0SKIPIF1<0夹角SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的充要条件SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系SKIPIF1<0SKIPIF1<0一、解决向量概念问题的关键点1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关．3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量．4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．5、非零向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0方向上的单位向量，因此单位向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0方向相同．6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小．7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件．【典例1】设SKIPIF1<0为单位向量，有下列命题：①若SKIPIF1<0为平面内的某个向量，则SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．其中假命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【典例2】下列命题不正确的是（）A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都为非零向量，则使SKIPIF1<0成立的条件是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向共线D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【典例3】（多选）给出下列命题，不正确的有（）A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B．若A，B，C，D是不共线的四点，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，则四边形ABCD为平行四边形C．SKIPIF1<0的充要条件是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0D．已知λ，μ为实数，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线二、平面向量共线定理的应用1、证明向量共线：若存在实数λ，使SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与非零向量SKIPIF1<0共线；2、证明三点共线：若存在实数λ，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有公共点A，则A，B，C三点共线；3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值【典例1】已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则一定共线的是（）A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D【典例2】已知向量a与b不共线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线的条件是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是两个不共线向量，且向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0.三、平面向量基本定理的实质及解题思路1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【典例1】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上靠近点SKIPIF1<0的三等分点，记SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】如图，平行四边形SKIPIF1<0的对角线AC和BD交于点M，E在BC上，且SKIPIF1<0，直线DE与AB的延长线交于点F，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

（1）试用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0、SKIPIF1<0；（2）试用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0．【典例3】2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为SKIPIF1<0.如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的黄金分割点，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0四、平面向量数量积的3种运算方法1、定义法求平面向量的数量积（1）方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即SKIPIF1<0（2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角。2、基底法求平面向量的数量积（1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解。（2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解。3、坐标法求平面向量的数量积（1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（2）适用范围：=1\*GB3①已知或可求两个向量的坐标；=2\*GB3②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积。【典例1】若四边形SKIPIF1<0是边长为2的菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】）在边长为2的正三角形ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】正方形SKIPIF1<0的边长是2，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．3C．SKIPIF1<0D．5五、求向量模或其范围的常用方法1、定义法：利用SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，把向量的模的运算转化为数量积运算；2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．【典例1】已知向量SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．1C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】已知SKIPIF1<0为单位向量，且SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0六、从动态角度理解三角形四心的向量表示1、常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点=1\*GB3①OA+OB+=2\*GB3②PO=13=3\*GB3③若AP=λAB+AC或OP=OA+λAB=4\*GB3④若AP=λABABsinB+ACACsinC或OP2、常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：=1\*GB3①OA∙OB==2\*GB3②OA2+BC=3\*GB3③动点P满足OP=OA+λABABcosB+ACACcosC3、常用外心向量式：O是∆ABC的外心，=1\*GB3①OA=OB==2\*GB3②OA+OB∙=3\*GB3③动点P满足OP=OB+OC2+λABABcosB+=4\*GB3④若OA+OB∙AB=OB+OC4、常见内心向量式：P是∆ABC的内心，=1\*GB3①ABPC+BCPA+CA其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，=2\*GB3②AP=λABAB+ACAC，λ[0,+∞)【典例1】在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心【典例2】设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心【典例3】在SKIPIF1<0中，给出如下命题:①SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面内一定点，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹一定过SKIPIF1<0的重心．②SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面内一定点，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹一定过SKIPIF1<0的内心．③SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面内一定点，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（4）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是等边三角形．其中正确的命题有个．七、平面向量最值范围问题的常用方法1、定义法第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；第2步：运用基本不等式求其最值问题；第3步：得出结论。2、坐标法第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；第2步：将平面向量的运算坐标化；第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。3、基底法第1步：利用基底转化向量；第2步：根据向量运算化简目标；第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论；4、几何意义法第1步：结合条件进行向量关系推导；第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。【典例1】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D为BC的中点，点P在SKIPIF1<0斜边BC的中线AD上，则SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知正方形SKIPIF1<0的边长为2，对角线相交于点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一点，则SKIPIF1<0的最小值为．【典例3】在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0内动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.易错点1平面向量的概念模糊，尤其是零向量点拨：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量、向量的加法、减法、数乘、数量积、向量的模、夹角等等。【典例1】下列命题中，正确的是（）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．对于任意向量SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0D．对于任意向量SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0【典例2】已知两个非零向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，下列说法不正确的是（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0方向相同或相反D．存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0【典例3】（多选）下列命题正确的是（）A．若SKIPIF1<0都是单位向量，则SKIPIF1<0.B．“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件C．若SKIPIF1<0都为非零向量，则使SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0成立的条件是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向共线D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0易错点2忽视两个向量成为基底的条件点拨：如果SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量SKIPIF1<0，有且只有一对实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。【典例1】设SKIPIF1<0，下列向量中，可与向量SKIPIF1<0组成基底的向量是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】设SKIPIF1<0是平面内两个不共线的向量，则向量SKIPIF1<0可作为基底的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】在下列向量组中，不能把向量SKIPIF1<0表示出来的是（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0易错点3错误使用向量平行的等价条件点拨：对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若是使用SKIPIF1<0，容易忽略0这个解.考生解题过程中要注意等价条件的完备性。【典例1】已知平面向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向相反，则SKIPIF1<0．易错点4混淆向量数量积运算和数乘运算的结果点拨：向量的数乘运算结果依旧为向量，而数量积的运算结果为实数，两者要区分开。尤其使用数量积的运算时不可约公因式。【典例1】（多选）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均为非零向量，下列命题错误的是（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0可能成立C．若SKIPIF1<0