新高考数学一轮复习讲义 第18讲 同角三角函数的基本关系、诱导公式（含解析）

第09讲同角三角函数的基本关系、诱导公式（精讲）题型目录一览①“知一求二”问题②已知tanα求sinα，cosα齐次式的值③sinα±cosα与sinαcosα关系的应用④诱导公式化简与求值⑤诱导公式的应用一、知识点梳理一、知识点梳理一、同角三角函数基本关系(1)平方关系：SKIPIF1<0．(2)商数关系：SKIPIF1<0；二、三角函数诱导公式公式一二三四五六角SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0正弦SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0余弦SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0正切SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作SKIPIF1<0；无论有多大，一律视为锐角，判断SKIPIF1<0所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当SKIPIF1<0为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当SKIPIF1<0为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．【常用结论】1．利用SKIPIF1<0可以实现角SKIPIF1<0的正弦、余弦的互化，利用SKIPIF1<0可以实现角SKIPIF1<0的弦切互化．2．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一“知一求二”问题策略方法对sinα，cosα，tanα的知一求二问题(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．2由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用”平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.【典例1】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据同角三角函数的关系即可求解.【详解】由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0，故选：A【题型训练】一、单选题1．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】首先由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，再得出SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0得出答案．【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D．2．（2023·全国·高三专题练习）若角SKIPIF1<0的终边不在坐标轴上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出cosα，从而求出sinα，根据SKIPIF1<0即可求得结果．【详解】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的终边不在坐标轴上，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：A．3．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】求出SKIPIF1<0，即得解.【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D二、填空题4．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）已知SKIPIF1<0是第四象限角，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用同角三角函数的关系求解.【详解】因为SKIPIF1<0是第四象限角，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为:SKIPIF1<0.5．（2023春·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内角，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据同角三角函数，即可求解.【详解】由条件可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0三、解答题6．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据同角三角函数关系求解即可.【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0同号，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0题型二已知tanα求sinα，cosα齐次式的值策略方法若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，对于分母为1的二次式，可用sin2α＋cos2α做分母求解．【典例1】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】利用“齐次式”和条件可直接求出结果.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B.【题型训练】一、单选题1．（2023·广东·高三专题练习）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用弦化切可求得SKIPIF1<0的值，再利用两角和的正切公式可求得SKIPIF1<0的值.【详解】因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故选：A.2．（2023·海南海口·校联考一模）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．4【答案】A【分析】根据同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，分子分母同除以余弦平方得到正切的式子，再将正切值代入即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A.3．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知方程SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由已知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0用齐次式方法处理后得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0值代入即可得出答案.【详解】方程SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，分子分母同时除以SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入可得SKIPIF1<0，故选：B.4．（2023·江苏·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．－3 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用诱导公式化简条件，再利用二倍角公式将目标式化为齐次式，代入正切值可得.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B.5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题解得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0求解即可.【详解】由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.二、填空题6．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________【答案】SKIPIF1<0【分析】根据齐次式，由弦化切即可求值.【详解】SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<07．（2023·高三课时练习）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为______.【答案】SKIPIF1<0【分析】先由SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，再利用同角三角函数的基本关系及SKIPIF1<0的值求SKIPIF1<0的值即可.【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.三、解答题8．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值；（2）已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【分析】根据同角三角函数的商式关系以及平方关系，建立方程，可得答案；【详解】（1）由同角三角函数的商式关系，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由同角三角函数的平方关系，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.题型三sinα±cosα与sinαcosα关系的应用策略方法对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t(t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)])，则sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．【典例1】已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号.【详解】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用同角三角函数的平方关系和二倍角公式求解即可.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D.2．（2023·山西阳泉·统考二模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用同角三角函数基本关系式，以及三角函数在各个象限内的正负，可得SKIPIF1<0，从而求出SKIPIF1<0的值.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断.【详解】由题意可得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.二、多选题4．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根据同角基本关系，结合完全平方公式可判断各项.【详解】对于A：因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以A正确;对于B、C：SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以B错误，C正确;对于D：联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以D正确.故选：ACD.三、填空题5．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，并分析三角函数值的正负即可求解.【详解】解：已知SKIPIF1<0①，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②，联立①②，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.6．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据SKIPIF1<0的关系，即可平方得SKIPIF1<0，结合同角关系以及二倍角公式即可求解.【详解】由SKIPIF1<0平方得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0四、解答题7．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是关于x的一元二次方程SKIPIF1<0的两根．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由韦达定理结合平方关系得出SKIPIF1<0的值；（2）先判断出SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，再代值计算即可.(1)因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是关于x的一元二次方程SKIPIF1<0的两根，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0(2)因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<08．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，求SKIPIF1<0的值.【答案】SKIPIF1<0【分析】将SKIPIF1<0两边平方可得SKIPIF1<0，判断x的范围，并求出SKIPIF1<0，进而可求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求得答案.【详解】∵SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0两边平方得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.题型四诱导公式化简与求值策略方法1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．2．明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．【典例1】已知角SKIPIF1<0的顶点与坐标原点重合，始边与SKIPIF1<0轴的正半轴重合，终边过点SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)-1【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求得SKIPIF1<0的值；（2）方法：1：由（1）知SKIPIF1<0，结合诱导公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，代入，即可求解；方法2：利用三角函数的定义求得SKIPIF1<0，结合诱导公式，代入即可求解.【详解】（1）解：因为角SKIPIF1<0的顶点与坐标原点重合，始边与SKIPIF1<0轴的正半轴重合，终边过点SKIPIF1<0，由三角函数的定义，可得SKIPIF1<0.（2）解：方法1：由（1）知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.方法2：由角SKIPIF1<0终边过点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【题型训练】一、单选题1．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】切化弦，结合SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0，然后根据诱导公式及二倍角公式求解.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C．2．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简即可求解.【详解】由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.二、填空题3．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0为锐角，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0【分析】运用诱导公式和同角的基本关系求解即可.【详解】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为锐角，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0三、解答题4．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0.(1)化简SKIPIF1<0.(2)已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【分析】(1)由诱导公式进行化简，即可求得SKIPIF1<0；(2)由SKIPIF1<0，代入即可求值.(1)SKIPIF1<0；(2)∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.5．（2023·全国·高三专题练习）已知α是第三象限角，且SKIPIF1<0.（1）若cosSKIPIF1<0，求f（α）的值；（2）若α=-1860°，求f（α）的值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）化简f（α）=SKIPIF1<0=-cosα，由条件求得cosα，从而求得f（α）.（2）由诱导公式得，f（α）=-cos（-1860°）=-cos（-60°）.【详解】解析：f（α）=SKIPIF1<0=-cosα.（1）∵SKIPIF1<0，∴sinα=SKIPIF1<0.∵α是第三象限的角，∴cosα=SKIPIF1<0.∴f（α）=-cosα=SKIPIF1<0.（2）f（α）=-cos（-1860°）=-cos（-60°）=SKIPIF1<0.题型五诱导公式的应用策略方法求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本思路①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式化简要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值【典例1】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由三角函数的诱导公式，即可求得答案.【详解】SKIPIF1<0故选：B【题型训练】一、单选题1．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．-SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】因为SKIPIF1<0，由诱导公式可得选项.【详解】SKIPIF1<0.故选：A.2．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】将SKIPIF1<0看作一个整体，找到SKIPIF1<0与其的关系，用诱导公式和倍角公式求解即可.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且由已知，有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，其中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：A.3．（2023·河北·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用三角函数诱导公式结合二倍角余弦公式，化简求值，即得答案.【详解】由题意得SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故选：B4．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据三角函数诱导公式以及二倍角的余弦公式化简、求值，即可得答案.【详解】由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：B．5．（2023·四川雅安·统考三模）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0