新高考数学一轮复习讲义 第08讲 函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（含解析）

第08讲函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精讲）题型目录一览①函数的奇偶性②函数奇偶性的应用③函数的周期性④函数的对称性⑤函数性质的综合应用一、知识点梳理一、知识点梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数SKIPIF1<0的定义域内任意一个SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，那么函数SKIPIF1<0就叫做偶函数关于SKIPIF1<0轴对称奇函数如果对于函数SKIPIF1<0的定义域内任意一个SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，那么函数SKIPIF1<0就叫做奇函数关于原点对称注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也在定义域内(即定义域关于原点对称)．2.函数的对称性(1)若函数SKIPIF1<0为偶函数，则函数SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称．(2)若函数SKIPIF1<0为奇函数，则函数SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称．(3)若SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称．(4)若SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称．3.函数的周期性（1）周期函数：对于函数SKIPIF1<0，如果存在一个非零常数SKIPIF1<0，使得当SKIPIF1<0取定义域内的任何值时，都有SKIPIF1<0，那么就称函数SKIPIF1<0为周期函数，称SKIPIF1<0为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数SKIPIF1<0的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做SKIPIF1<0的最小正周期.【常用结论】1.奇偶性技巧（1）若奇函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有意义，则有SKIPIF1<0；（2）对于运算函数有如下结论：奇SKIPIF1<0奇=奇；偶SKIPIF1<0偶=偶；奇SKIPIF1<0偶=非奇非偶；奇SKIPIF1<0奇=偶；奇SKIPIF1<0偶=奇；偶SKIPIF1<0偶=偶.(3)常见奇偶性函数模型奇函数：=1\*GB3①函数SKIPIF1<0或函数SKIPIF1<0．=2\*GB3②函数SKIPIF1<0．=3\*GB3③函数SKIPIF1<0或函数SKIPIF1<0=4\*GB3④函数SKIPIF1<0或函数SKIPIF1<0．注意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数SKIPIF1<0或函数SKIPIF1<0．偶函数：=1\*GB3①函数SKIPIF1<0．=2\*GB3②函数SKIPIF1<0．=3\*GB3③函数SKIPIF1<0类型的一切函数．2.周期性技巧SKIPIF1<03.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数SKIPIF1<0有两条对称轴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是周期函数，且SKIPIF1<0；（2）若函数SKIPIF1<0的图象有两个对称中心SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是周期函数，且SKIPIF1<0；（3）若函数SKIPIF1<0有一条对称轴SKIPIF1<0和一个对称中心SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是周期函数，且SKIPIF1<0.4.对称性技巧（1）若函数SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0．（2）若函数SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0．（3）函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于原点对称．二、题型分类精讲二、题型分类精讲真题刷刷刷真题刷刷刷一、单选题1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的减函数，不合题意，舍.对于B，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的减函数，不合题意，舍.对于C，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为减函数，不合题意，舍.对于D，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数，符合题意，故选：D.2．（2021·全国·统考高考真题）设函数SKIPIF1<0，则下列函数中为奇函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得SKIPIF1<0，对于A，SKIPIF1<0不是奇函数；对于B，SKIPIF1<0是奇函数；对于C，SKIPIF1<0，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，SKIPIF1<0，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.3．（2021·全国·高考真题）设SKIPIF1<0是定义域为R的奇函数，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得SKIPIF1<0的值.【详解】由题意可得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.4．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0，则图象为如图的函数可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.【详解】对于A，SKIPIF1<0，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，SKIPIF1<0，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，与图象不符，排除C.故选：D.5．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间SKIPIF1<0的大致图像，则该函数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故排除B;设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故排除C;设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故排除D.故选：A.6．（2021·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0为奇函数，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】推导出函数SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为周期的周期函数，由已知条件得出SKIPIF1<0，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为周期的周期函数，因为函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，其它三个选项未知.故选：B.7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0的定义域为R，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数SKIPIF1<0的一个周期为SKIPIF1<0，求出函数一个周期中的SKIPIF1<0的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为偶函数，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，从而可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的一个周期为SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以一个周期内的SKIPIF1<0．由于22除以6余4，所以SKIPIF1<0．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由SKIPIF1<0，联想到余弦函数和差化积公式SKIPIF1<0，可设SKIPIF1<0，则由方法一中SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0符合条件，因此SKIPIF1<0的周期SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于22除以6余4，所以SKIPIF1<0．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0的定义域均为R，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后根据条件得到SKIPIF1<0的值，再由题意得到SKIPIF1<0从而得到SKIPIF1<0的值即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，联立得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的图像关于点SKIPIF1<0中心对称，因为函数SKIPIF1<0的定义域为R，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.9．（2021·全国·统考高考真题）设函数SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】通过SKIPIF1<0是奇函数和SKIPIF1<0是偶函数条件，可以确定出函数解析式SKIPIF1<0，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】[方法一]：因为SKIPIF1<0是奇函数，所以SKIPIF1<0①；因为SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0②．令SKIPIF1<0，由①得：SKIPIF1<0，由②得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由①得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．思路一：从定义入手．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．[方法二]：因为SKIPIF1<0是奇函数，所以SKIPIF1<0①；因为SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0②．令SKIPIF1<0，由①得：SKIPIF1<0，由②得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由①得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数SKIPIF1<0的周期SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．故选：D．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．二、多选题10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0及其导函数SKIPIF1<0的定义域均为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为偶函数，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0①，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0，故C正确；对于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，由①求导，和SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，因为其定义域为R，所以SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，从而周期SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正确，D错误；若函数SKIPIF1<0满足题设条件，则函数SKIPIF1<0（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定SKIPIF1<0的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知SKIPIF1<0周期为2，关于SKIPIF1<0对称，故可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，显然A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为偶函数，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故C正确；函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象分别关于直线SKIPIF1<0对称，又SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0可导，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正确，D错误；若函数SKIPIF1<0满足题设条件，则函数SKIPIF1<0（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定SKIPIF1<0的函数值，故A错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．三、填空题11．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数SKIPIF1<0_______．①SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0是奇函数．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一，SKIPIF1<0均满足）【分析】根据幂函数的性质可得所求的SKIPIF1<0.【详解】取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，满足①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时有SKIPIF1<0，满足②，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是奇函数，满足③.故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一，SKIPIF1<0均满足）四、双空题12．（2022·全国·统考高考真题）若SKIPIF1<0是奇函数，则SKIPIF1<0_____，SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，不关于原点对称SKIPIF1<0若奇函数的SKIPIF1<0有意义，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0为奇函数，定义域关于原点对称，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．[方法二]：函数的奇偶性求参SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0为奇函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0[方法三]：因为函数SKIPIF1<0为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即函数的定义域为SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，在定义域内满足SKIPIF1<0，符合题意．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．题型一函数的奇偶性策略方法判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．【典例1】判断下列函数的奇偶性：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0．【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数【分析】（1）利用偶函数的定义可判断函数的奇偶性；（2）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（3）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（4）利用反例可判断该函数为非奇非偶函数.【详解】（1）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，它关于原点对称.SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为偶函数.（2）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，它关于原点对称.SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为奇函数.（3）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，它关于原点对称.SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为奇函数.（4）SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为非奇非偶函数.【题型训练】一、单选题1．函数SKIPIF1<0的奇偶性是（）A．是奇函数，不是偶函数B．是偶函数，不是奇函数C．既是奇函数，也是偶函数D．非奇非偶函数【答案】A【分析】由奇偶性定义直接判断即可.【详解】SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是奇函数，不是偶函数.故选：A.2．已知奇函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，代入得SKIPIF1<0，根据奇函数即可求解.【详解】当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为奇函数，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故选：A.3．若函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．1 C．0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由SKIPIF1<0为奇函数求得SKIPIF1<0，即可由分段函数求值.【详解】函数SKIPIF1<0为奇函数，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：C.4．函数SKIPIF1<0的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性排除AB，再由特殊值排除D即可得解.【详解】因为SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，关于原点对称，所以SKIPIF1<0，即函数为奇函数，排除AB，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，排除D.故选：C二、填空题5．函数SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由偶函数的定义求解．【详解】SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是偶函数，∴SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．6．SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.【答案】4【分析】令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0为奇函数，再根据奇函数的性质求解.【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为奇函数，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故答案为：4.7．已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解集是__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用奇偶性求出函数SKIPIF1<0的解析式SKIPIF1<0，分类讨论即可求解.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要解不等式SKIPIF1<0，只需SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，综上，不等式的解集为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.三、解答题8．已知函数SKIPIF1<0(1)求函数SKIPIF1<0解析式；(2)判断函数SKIPIF1<0的奇偶性并加以证明【答案】(1)SKIPIF1<0(2)奇函数，证明见解析【分析】（1）利用换元法，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0；（2）先求函数定义域，利用奇偶性的定义进行证明.【详解】（1）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）奇函数；证明：定义域为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数.9．已知函数SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)令SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0为奇函数；(3)若锐角SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）将SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别代入解析式求解即可；（2）根据奇偶性的定义证明即可；（3）根据奇偶性将不等式化为SKIPIF1<0，利用单调性定义可证得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数，由此可得SKIPIF1<0，结合三角函数知识可求得结果.【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为奇函数.（3）由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.题型二函数奇偶性的应用策略方法已知函数奇偶性可以解决的三个问题【典例1】若函数SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．5 D．7【答案】C【分析】求出SKIPIF1<0时的解析式后，代入SKIPIF1<0可求出结果.【详解】因为SKIPIF1<0为奇函数，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C【典例2】若函数SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0不能确定，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不能确定 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据定义域关于原点对称，求得SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的值，即可求解.【详解】因为函数SKIPIF1<0是偶函数，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D.【典例3】偶函数SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，且在区间SKIPIF1<0与SKIPIF1<0上分别递减和递增，使SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据题中所给条件，可画出符合全部条件的函数图象辅助做题.【详解】根据题目条件，想象函数图象如下:因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故选：B.【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0为奇函数，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意可得SKIPIF1<0，计算可得SKIPIF1<0，经检验均符合题意，即可得解.【详解】由SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，符合题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0符合题意，故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用偶函数的性质直接求解即可.【详解】由已知得，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为偶函数，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0.3．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0＋1 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由定义在SKIPIF1<0上的奇函数有SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值，再由SKIPIF1<0可得出答案.【详解】函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的奇函数，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：B4．（2023·全国·高三专题练习）定义在SKIPIF1<0上的偶函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据偶函数及单调性解不等式即可.【详解】由题意，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选:D.5．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知偶函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用偶函数的对称性可得SKIPIF1<0，即可求解集.【详解】由偶函数的对称性知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，则在SKIPIF1<0上递减，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以不等式解集为SKIPIF1<0.故选：D6．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解.【详解】依题意，函数的大致图像如下图：因为SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即原不等式的解集为SKIPIF1<0；故选：C.二、多选题7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是偶函数，在区间SKIPIF1<0上是单调函数，且SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【分析】根据函数的单调性和奇偶性直接求解.【详解】函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是单调函数，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故此函数在区间SKIPIF1<0上是减函数．由已知条件及偶函数性质，知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数．对于A，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故A错误；对于B，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故B正确；对于C，SKIPIF1<0，故C错误；对于D，SKIPIF1<0，故D正确．故选:BD.8．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0为奇函数，且对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，则（

）A．SKIPIF1<0为奇函数 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】根据函数定义换算可得SKIPIF1<0为偶函数，根据偶函数和奇函数性质可知SKIPIF1<0为周期函数，再根据函数周期性和函数特殊值即可得出选项.【详解】因为SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数，A错误；SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B正确；SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C正确；又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以4为周期的函数，SKIPIF1<0，D正确．故选：BCD．三、填空题9．（2023·广东潮州·统考二模）已知函数SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是自然对数的底数，SKIPIF1<0）是奇函数，则实数SKIPIF1<0的值为______.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用奇函数的性质可得出SKIPIF1<0，结合对数运算可得出实数SKIPIF1<0的值.【详解】对于函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.10．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为______.【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意和偶函数的性质可知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，在SKIPIF1<0上为增函数，结合SKIPIF1<0，分类讨论当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0时，利用函数的单调性解不等式即可.【详解】因为函数SKIPIF1<0是定义在R上的偶函数，且在SKIPIF1<0上单调递减所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上，不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.11．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0为奇函数，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.【答案】1【分析】根据SKIPIF1<0为偶函数、SKIPIF1<0为奇函数的性质，利用赋值法可得答案.【详解】若SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：1.12．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为奇函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________.【答案】SKIPIF1<0【分析】推导出函数SKIPIF1<0为周期函数，确定该函数的周期，计算出SKIPIF1<0的值，结合SKIPIF1<0以及周期性可求得SKIPIF1<0的值.【详解】因为SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，在等式SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，①所以，SKIPIF1<0，②由①②可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0为周期函数，且该函数的周期为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0