新高考数学一轮复习讲义 第38讲 两条直线的位置关系（原卷版）

第38讲两条直线的位置关系（精讲）题型目录一览①两条直线的位置关系②两条直线的交点和距离问题③对称问题Ⅰ-点关于点和线关于点④对称问题Ⅱ-点关于线和线关于线⑤直线的综合问题一、知识点梳理一、知识点梳理一、两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．两直线方程平行垂直SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（斜率存在）SKIPIF1<0（斜率不存在）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0中有一个为0，另一个不存在．二、三种距离1．两点间的距离平面上两点SKIPIF1<0的距离公式为SKIPIF1<0．特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离SKIPIF1<02．点到直线的距离点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0特别地，若直线为l：x=m，则点SKIPIF1<0到l的距离SKIPIF1<0；若直线为l：y=n，则点SKIPIF1<0到l的距离SKIPIF1<03．两条平行线间的距离已知SKIPIF1<0是两条平行线，求SKIPIF1<0间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离SKIPIF1<0注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．4．双根式双根式SKIPIF1<0型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．三、直线中的对称问题1．点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，则根据中点坐标公式，有SKIPIF1<0，可得对称点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<02．点关于直线对称点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0点，则SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，又因为SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，故可得SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0即可．3．直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．4．直线关于直线对称求直线SKIPIF1<0，关于直线SKIPIF1<0（两直线不平行）的对称直线SKIPIF1<0第一步：联立SKIPIF1<0算出交点SKIPIF1<0第二步：在SKIPIF1<0上任找一点（非交点）SKIPIF1<0，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点SKIPIF1<0第三步：利用两点式写出SKIPIF1<0方程5．常见的一些特殊的对称点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0，关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0．四、直线系方程1．过定点直线系过已知点SKIPIF1<0的直线系方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数）．2．斜率为定值直线系斜率为SKIPIF1<0的直线系方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是参数）．3．平行直线系与已知直线SKIPIF1<0平行的直线系方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数）．4．垂直直线系与已知直线SKIPIF1<0垂直的直线系方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数）．5．过两直线交点的直线系过直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点的直线系方程：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数）．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一两条直线的位置关系策略方法由一般式确定两直线位置关系的方法判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不全为0），SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不全为0），则：当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0相交；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0直线平行或重合，代回检验；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．【典例1】（单选题）若直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0​与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0​的值为（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0​ C．SKIPIF1<0​或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（单选题）直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0或SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【题型训练】一、单选题1．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，则实数SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．02．直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与直线SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．若平面内两条平行线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0间的距离为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或24．已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．知直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．26．已知直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，若直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知SKIPIF1<0，则“直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件，二、多选题8．已知直线SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则（

）A．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直B．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0在两坐标轴上的截距相等9．已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则（

）A．直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0 B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 D．当SKIPIF1<0时，两直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的距离为3三、填空题10．已知点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是．11．若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0.12．已知两条平行直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离为.13．已知经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的直线l1与经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0互相垂直，则实数SKIPIF1<0.14．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的内角平分线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0的正切值为．题型二两条直线的交点和距离问题策略方法1．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．2．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．【典例1】（单选题）若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点在第一象限，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（单选题）设直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点为P，则P到直线SKIPIF1<0的距离为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．坐标原点O到直线l：SKIPIF1<0的距离是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点在直线SKIPIF1<0上，则实数SKIPIF1<0（

）A．4 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，给出命题SKIPIF1<0：直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点关于SKIPIF1<0轴对称，SKIPIF1<0：直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点在直线SKIPIF1<0上．则（

）A．SKIPIF1<0假SKIPIF1<0真 B．SKIPIF1<0真SKIPIF1<0真 C．SKIPIF1<0假SKIPIF1<0假 D．SKIPIF1<0真SKIPIF1<0假4．设SKIPIF1<0为动点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．35．若点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为d，则d的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知实数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当两平行线距离最大时，SKIPIF1<0（

）A．3 B．4 C．5 D．68．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题10．已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则（

）A．直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0 B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 D．当SKIPIF1<0时，两直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的距离为311．设直线系SKIPIF1<0，下列命题中的真命题有（

）A．SKIPIF1<0中所有直线均经过一个定点B．存在定点SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0中的任一条直线上C．对于任意整数SKIPIF1<0，存在正SKIPIF1<0边形，其所有边均在SKIPIF1<0中的直线上D．SKIPIF1<0中的直线所能围成的正三角形面积都相等12．函数SKIPIF1<0图象上一点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题13．经过两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交点，且直线的一个方向向量SKIPIF1<0的直线方程为．14．已知两条平行直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离为.15．已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点坐标为．（用含A，B的式子表示）16．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（含端点）上移动，则SKIPIF1<0的最小值为.17．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的内角平分线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0的正切值为．18．SKIPIF1<0的三个顶点到直线SKIPIF1<0的距离分别为1，2，3，则该三角形的重心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为（答案不唯一，填一个即可）．题型三对称问题Ⅰ-点关于点和线关于点策略方法对称问题的求解方法(1)点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．【典例1】（单选题）已知不同的两点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．14 C．SKIPIF1<0 D．5【典例2】（单选题）不论实数SKIPIF1<0取何值时，直线SKIPIF1<0都过定点SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0的对称直线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，则一定在直线SKIPIF1<0上的点为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．将一张坐标纸折叠一次，使点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，求折痕所在直线是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于原点对称，若SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝05．直线SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称的直线方程为（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝06．已知点SKIPIF1<0且线段SKIPIF1<0的垂直平分线的方程是SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．17．在SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0边的中点M在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0边的中点N在SKIPIF1<0轴上，则直线SKIPIF1<0的方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型四对称问题Ⅱ-点关于线和线关于线策略方法对称问题的求解方法(1)点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))(2)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．【典例1】（单选题）已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为（）.A．a=-1，b=2 B．a=4，b=-2C．a=2，b=4 D．a=4，b=2【典例2】（单选题）已知一条光线从点SKIPIF1<0射出，经直线SKIPIF1<0反射后经过点SKIPIF1<0，则反射光线所在直线的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为SKIPIF1<0，若将军从点SKIPIF1<0处出发，河岸线所在直线方程为SKIPIF1<0，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．一条光线从点SKIPIF1<0射出，倾斜角为SKIPIF1<0，遇SKIPIF1<0轴后反射，则反射光线的直线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知点P在直线SKIPIF1<0上,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，一束光线从点SKIPIF1<0出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点SKIPIF1<0上．则点D的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题6．点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点的坐标是．7．如图已知SKIPIF1<0，若光线SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0射出，直线SKIPIF1<0反射后到直线SKIPIF1<0上，在经直线SKIPIF1<0反射回原点SKIPIF1<0，则光线SKIPIF1<0所在的直线方程为．8．已知SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，一条角平分线所在直线为SKIPIF1<0，则点A坐标为.9．在等腰直角三角形ABC中，SKIPIF1<0，点P是边AB上异于A，B的一点，光从点P出发经SKIPIF1<0反射后又回到点P，反射点为Q，R，若光线QR经过SKIPIF1<0的重心，则SKIPIF1<0.10．以SKIPIF1<0为一个顶点，试在x轴上找一点B，直线l：SKIPIF1<0上找一点C，构成SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小周长为.题型五直线的综合问题策略方法处理直线方程综合应用的两大策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．【典例1】（单选题）过定点A的直线SKIPIF1<0与过定点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不重合），则SKIPIF1<0面积的最大值为（

）