新高考数学一轮复习讲义 第41讲 椭圆及其性质（原卷版）

第41讲椭圆及其性质（精讲）题型目录一览①椭圆的定义及其应用②求椭圆的标准方程③椭圆的几何性质④椭圆的离心率一、知识点梳理一、知识点梳理一、椭圆的定义平面内与两个定点SKIPIF1<0的距离之和等于常数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作SKIPIF1<0，定义用集合语言表示为：SKIPIF1<0注意：当SKIPIF1<0时，点的轨迹是线段；当SKIPIF1<0时，点的轨迹不存在．二、椭圆的方程、图形与性质焦点的位置焦点在SKIPIF1<0轴上焦点在SKIPIF1<0轴上图形标准方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0统一方程SKIPIF1<0参数方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0第一定义到两定点SKIPIF1<0的距离之和等于常数2SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）范围SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0顶点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴长长轴长SKIPIF1<0，短轴长SKIPIF1<0长轴长SKIPIF1<0，短轴长SKIPIF1<0对称性关于SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴对称，关于原点中心对称焦点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0焦距SKIPIF1<0SKIPIF1<0离心率SKIPIF1<0对于过椭圆上一点SKIPIF1<0的切线方程，只需将椭圆方程中SKIPIF1<0换为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0换为SKIPIF1<0可得焦半径最大值SKIPIF1<0，最小值SKIPIF1<0【常用结论】1.过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为SKIPIF1<0．①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为SKIPIF1<0，距离的最小值为SKIPIF1<0．2.椭圆的切线①椭圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0处的切线方程是SKIPIF1<0；②过椭圆SKIPIF1<0外一点SKIPIF1<0，所引两条切线的切点弦方程是SKIPIF1<0；③椭圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切的条件是SKIPIF1<0．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一椭圆的定义及其应用策略方法椭圆定义的应用类型及方法(1)探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是不是椭圆．(2)应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PF1|＋|PF2|＝2a实现等量转换．(3)焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三角形的面积等问题．【典例1】（单选题）椭圆SKIPIF1<0的两个焦点分别为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线交椭圆于A、B两点，则SKIPIF1<0的周长是（

）A．10 B．12 C．16 D．20【题型训练】一、单选题1．方程SKIPIF1<0的化简结果是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知点P为椭圆SKIPIF1<0上的一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为该椭圆的两个焦点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．33．椭圆SKIPIF1<0的两个焦点分别为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线交椭圆于A、B两点，则SKIPIF1<0的周长是（

）A．10 B．12 C．16 D．204．已知椭圆SKIPIF1<0为两个焦点，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上一点，若SKIPIF1<0的周长为4，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，点M在C上，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．8 B．9 C．16 D．186．已知SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，顶点SKIPIF1<0是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在SKIPIF1<0边上，则SKIPIF1<0的周长是（

）A．12 B．SKIPIF1<0 C．16 D．107．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P是椭圆C上的动点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知椭圆C：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A是C上一点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．7 B．8 C．9 D．119．已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题10．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之和为10，则点P的轨迹方程是11．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线交椭圆于A，B两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.12．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若椭圆上的点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<013．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，|PF1|－|PF2|＝.14．设SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为.题型二求椭圆的标准方程策略方法待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤【典例1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点在坐标轴上，且经过A(SKIPIF1<0，－2)和B(－2SKIPIF1<0，1)两点；（2）a＝4，c＝SKIPIF1<0；（3）过点P(－3，2)，且与椭圆SKIPIF1<0有相同的焦点．【题型训练】一、单选题1．“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0表示椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．设椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，上顶点为B．若SKIPIF1<0，则该椭圆的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得｜PF1｜＝6｜PF2｜，则C的方程可能为（）A．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝1 B．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝1C．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝1 D．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝14．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，M为C上一点，若SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，则C的标准方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知椭圆C的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．过点SKIPIF1<0的直线与C交于A，B两点．若SKIPIF1<0的周长为12，则椭圆C的标准方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知直线SKIPIF1<0经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0右焦点为SKIPIF1<0，其上下顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该椭圆的标准方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．若椭圆SKIPIF1<0的中心为坐标原点､焦点在SKIPIF1<0轴上；顺次连接SKIPIF1<0的两个焦点､一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接SKIPIF1<0的四个顶点构成四边形的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0，则椭圆C的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题10．已知椭圆C：SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝1（a＞b＞0），若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为.11．若椭圆的两焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P在椭圆上，且三角形SKIPIF1<0的面积的最大值为12，则此椭圆方程是．12．若一个椭圆的长轴长2a，短轴长2b，焦距2c成等差数列，则SKIPIF1<0＝.13．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为.三、解答题14．根据下列条件求椭圆的标准方程(1)两个焦点的坐标分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，并且椭圆经过点SKIPIF1<0；(3)椭圆经过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(4)离心率为SKIPIF1<0且过点SKIPIF1<0；题型三椭圆的几何性质策略方法利用椭圆几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．【典例1】（单选题）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，M为SKIPIF1<0上的点，则SKIPIF1<0面积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【题型训练】一、单选题1．椭圆SKIPIF1<0的短半轴长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．椭圆SKIPIF1<0的焦点坐标是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的一个焦点的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．5 D．94．国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（

）cm

A．30 B．10 C．20 D．SKIPIF1<05．已知椭圆SKIPIF1<0的左，右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点都在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于坐标原点对称，下列说法错误的是（

）A．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0为定值C．SKIPIF1<0的焦距是短轴长的2倍D．存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<06．已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是椭圆的左、右焦点，若SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，且椭圆的离心率为SKIPIF1<0，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的焦距为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为焦点的椭圆SKIPIF1<0上，若线段SKIPIF1<0的中点在SKIPIF1<0轴上，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．7倍二、多选题9．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则（

）

A．轨道Ⅱ的长轴长为SKIPIF1<0B．轨道Ⅱ的焦距为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0不变，SKIPIF1<0越小，轨道Ⅱ的短轴长越大D．若SKIPIF1<0不变，SKIPIF1<0越大，轨道Ⅱ的离心率越小10．如图所示，用一个与圆柱底面成θ（SKIPIF1<0）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，SKIPIF1<0，则（）A．椭圆的长轴长等于4B．椭圆的离心率为SKIPIF1<0C．椭圆的标准方程可以是SKIPIF1<0D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为SKIPIF1<0三、填空题11．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的长轴长为.12．已知椭圆SKIPIF1<0的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则SKIPIF1<0．13．设P是椭圆SKIPIF1<0上任意一点，F为C的右焦点，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则椭圆C的长轴长为．14．椭圆SKIPIF1<0的内接正方形的周长为．15．椭圆SKIPIF1<0的四个顶点所围成的四边形的面积是.16．已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是．17．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为cm.题型四椭圆的离心率策略方法求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e．【典例1】（单选题）已知椭圆SKIPIF1<0，其上顶点为SKIPIF1<0，左､右焦点分别为SKIPIF1<0，且三角形SKIPIF1<0为等边三角形，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．直线l经过椭圆的两个顶点，若椭圆中心到l的距离为其长轴长的SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知椭圆SKIPIF1<0的焦点在SKIPIF1<0轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左焦点，若过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，且SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则椭圆的离心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知椭圆SKIPIF1<0的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知椭圆SKIPIF1<0为椭圆的对称中心，SKIPIF1<0为椭圆的一个焦点，SKIPIF1<0为椭圆上一点，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0与椭圆的另一个交点为点SKIPIF1<0为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别是SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线交椭圆于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点），SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知椭圆C：SKIPIF1<0的左右焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，若满足SKIPIF1<0成等差数列，且SKIPIF1<0，则C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知右焦点为SKIPIF1<0的椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF