新高考数学一轮复习讲义 第35讲 空间向量的运算及其坐标表示（原卷版）

第35讲空间向量的运算及其坐标表示（精讲）题型目录一览①空间向量的线性运算②空间共线、共面向量定理的应用③空间向量的数量积运算一、知识点梳理一、知识点梳理一、空间向量及其加减运算（1）空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量SKIPIF1<0的起点是SKIPIF1<0，终点是SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0也可以记作SKIPIF1<0，其模记为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作SKIPIF1<0．当有向线段的起点SKIPIF1<0与终点SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0．模为1的向量称为单位向量．（3）相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．与向量SKIPIF1<0长度相等而方向相反的向量，称为SKIPIF1<0的相反向量，记为SKIPIF1<0．（4）空间向量的加法和减法运算①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．如图所示．②空间向量的加法运算满足交换律及结合律SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二、空间向量的数乘运算（1）数乘运算实数SKIPIF1<0与空间向量SKIPIF1<0的乘积SKIPIF1<0称为向量的数乘运算．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0方向相同；当SKIPIF1<0时，向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0方向相反．SKIPIF1<0的长度是SKIPIF1<0的长度的SKIPIF1<0倍．（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0，记作SKIPIF1<0．（4）共线向量定理：对空间中任意两个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的充要条件是存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．（5）直线的方向向量SKIPIF1<0为经过已知点SKIPIF1<0且平行于已知非零向量SKIPIF1<0的直线．对空间任意一点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的充要条件是存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0①，其中向量SKIPIF1<0叫做直线SKIPIF1<0的方向向量，在SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0，则式①可化为SKIPIF1<0②①和②都称为空间直线的向量表达式，当SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点时，SKIPIF1<0，此式叫做线段SKIPIF1<0的中点公式．（6）共面向量如图8-154所示，已知平面SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，如果直线SKIPIF1<0平行于平面SKIPIF1<0或在平面SKIPIF1<0内，则说明向量SKIPIF1<0平行于平面SKIPIF1<0．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（7）共面向量定理如果两个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线，那么向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面的充要条件是存在唯一的有序实数对SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．推论：①空间一点SKIPIF1<0位于平面SKIPIF1<0内的充要条件是存在有序实数对SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0；或对空间任意一点SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，该式称为空间平面SKIPIF1<0的向量表达式．②已知空间任意一点SKIPIF1<0和不共线的三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足向量关系式SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面；反之也成立．三、空间向量的数量积运算（1）两向量夹角已知两个非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在空间任取一点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角，记作SKIPIF1<0，通常规定SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，那么向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相垂直，记作SKIPIF1<0．（2）数量积定义已知两个非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的数量积，记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，SKIPIF1<0．（3）空间向量的数量积满足的运算律：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（交换律）；SKIPIF1<0（分配律）．知识点四：空间向量的坐标运算及应用（1）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．①已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；②已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，或者SKIPIF1<0．其中SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．（4）向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影为SKIPIF1<0．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一空间向量的线性运算策略方法用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．【典例1】在空间四边形ABCD中，G为SKIPIF1<0的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式.(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【题型训练】一、单选题1．SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如图，在斜棱柱SKIPIF1<0中，AC与BD的交点为点M，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知四棱锥SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0用SKIPIF1<0为基底表示为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题5．如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列等式成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题6．在长方体SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若用向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0表示向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．7．已知在四面体O-ABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于．题型二空间共线、共面向量定理的应用策略方法证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))且同过点Peq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up7(→))【典例1】已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，则实数k的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【典例2】SKIPIF1<0为空间任意一点，若SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共面，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．已知向量SKIPIF1<0＝(2m＋1，3，m－1)，SKIPIF1<0＝(2，m，－m)，且SKIPIF1<0，则实数m的值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．－2C．0 D．SKIPIF1<0或－22．在下列命题中：①若向量SKIPIF1<0共线，则向量SKIPIF1<0所在的直线平行；②若向量SKIPIF1<0所在的直线为异面直线，则向量SKIPIF1<0一定不共面；③若三个非零向量SKIPIF1<0两两共面，则向量SKIPIF1<0共面；④已知空间的三个不共面向量SKIPIF1<0，则对于空间的任意一个向量SKIPIF1<0，总存在实数x，y，z使得SKIPIF1<0.其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．33．设向量SKIPIF1<0不共面，空间一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0四点共面的一组数对SKIPIF1<0是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0三向量共面，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．9 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三向量共面，则SKIPIF1<0（

）A．9 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题6．若SKIPIF1<0构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题7．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则x＋y的值为．8．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.9．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三向量共面，则实数SKIPIF1<0．10．设点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0确定的平面上，则实数SKIPIF1<0．11．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且SKIPIF1<0，若P，A，B，C四点共面，则实数SKIPIF1<0．12．已知空间四边形ABCD的对角线为AC与BD，M，N分别为线段AB，CD上的点满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点G在线段MN上，且满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.13．在正方体SKIPIF1<0中，点M和N分别是矩形ABCD和SKIPIF1<0的中心，若点P满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则点P可以是正方体表面上的点.题型三空间向量的数量积运算策略方法空间向量数量积的应用【典例1】已知正四面体SKIPIF1<0的棱长为1，如图所示，求：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．【题型训练】一、单选题1．已知正四面体SKIPIF1<0的棱长为1，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知空间四边形SKIPIF1<0的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在正三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．0 D．25．已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知SKIPIF1<0为标准正交基底，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影数量为（

）A．1 B．－1C．SKIPIF1<0 D．－SKIPIF1<07．如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面边长和侧棱长均相等，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．7 B．9 C．11 D．139．如图，平行六面体SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知点P在棱长为2的正方体SKIPIF1<0的表面上运动，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9二、多选题11．）设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．下面四个结论正确的是（

）A．空间向量SKIPIF