2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第二章 圆锥曲线综合拔高练

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

综合拔高练

五年高考练

考点1椭圆

1.(2021新高考I,5)已知FbF2是椭圆C:1+4=l的两个焦点，点M在C上,则

94

|MF,|・IMF2I的最大值为()

A.13B.12

C.9D.6

2.(2019课标全国1,10)已知椭圆C的焦点为件(-1,0),F2(l,0),过F2的直线与

C交于A,B两点.若|AF2|=2|FzB|,|AB|=|BFj,则C的方程为()

A.—+y2=lB.上+匕=1

232

C.-+^=1D.-+^=1

4354

22

3.(2021全国乙卷,H)设B是椭圆C:^+^=l(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一

点P都满足|PB|W2b,则C的离心率的取值范围是()

A卷,1)B.悖,1)

。•(向g]

22

4.(2021浙江,16)已知椭圆言+卷=1(a>b>0),焦点F.(-c,0),F(c,0)(c>0).若过F.

a2b22

2

的直线和圆kJc)+y2=c2相切，与椭圆在第一象限交于点P,且PF21X轴,贝IJ该直

线的斜率是,椭圆的离心率是.

2

5.(2018浙江,17)已知点P(0,1),椭圆^+y2=m(m〉l)上两点A,B满足9=2万,则

4

当m=时，点B横坐标的绝对值最大.

考点2双曲线

6.（2021全国甲卷,5）已知件,Fz是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且

ZF,PF2=60°,|PF』二3|PF21，则C的离心率为（）

A.—B.—C.V7D.V13

22

22

7.（2020全国H,8）设0为坐标原点，直线x=a与双曲线C邑-卷=1（a>0,b>0）的两

a2bz

条渐近线分别交于D,E两点.若AODE的面积为8,则C的焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

22

8.（2019课标全国HI,10）双曲线C:--^=l的右焦点为F,点P在C的一条渐近线

42

上,0为坐标原点.若IP01=IPF|,则APF0的面积为（）

A.—B.—C.2V2D.3V2

42

2_

9.（2021全国乙卷,13）已知双曲线C:--y2=l（m>0）的一条渐近线为遮x+my=0,则

m

C的焦距为.

22

10.（2020全国I,15）已知F为双曲线C：9-（a>0,b>0）的右焦点,A为C的右

a2b2

顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率

为.

考点3抛物线

11.（2021新高考H,3）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点到直线y=x+l的距离为近，

则p=（）

A.1B.2C.2V2D.4

12.（2020全国m（文），7）设0为坐标原点，直线x=2与抛物线C:y2=2px（p>0）交于

D,E两点,若OD_LOE,则C的焦点坐标为（）

A.&0）B.&0）

C.(1,0)D.(2,0)

22

13.(2019课标全国n,8)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆5+匕=1的一个焦点,

3PV

则P=()

A.2B.3C.4D.8

14.(2021北京，⑵已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M在C上，且|FM|=6,则M

的横坐标是;作MNJ_x轴于N,则S△!«=.

考点4圆锥曲线的综合应用

2222

15.(2018北京,14)已知椭圆M邑+刍=1(a>b>0),双曲线N:内唱=1.若双曲线N

的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶

点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为.

16.(2021新高考1,21)在平面直角坐标系xOy中，已知点件(-

V17,0),Fz(旧,0),点M满足|MF,|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.

⑴求C的方程；

⑵设点T在直线x=|上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且

|TA|・|TB|=|TP|・|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

17.(2021全国甲卷,20)抛物线C的顶点为坐标原点0,焦点在x轴上,直线1:x=l

交C于P,Q两点,且OP±OQ.已知点M(2,0),且OM与1相切.

(1)求C,OM的方程；

⑵设A”A2,A3是C上的三个点，直线A也,AA均与OM相切.判断直线A2A3与OM

的位置关系,并说明理由.

22—

18.(2021新高考II,20)已知椭圆C:^+^=l(a>b>0),若右焦点为F(&,0),且离

心率为当

⑴求椭圆C的方程；

(2)设M,N是C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共

线的充要条件是

三年模拟练

应用实践

22

1.(2022山西大同第一中学月考)已知F/2分别为双曲线今号的左、

z

ab乙

右焦点,过F,作y=--x的垂线,分别交双曲线的左、右两支于B,C两点(如图).若

a

ZCBF2=ZCF2B,则双曲线的渐近线方程为()

A.y=±V3:B.y=±V2:

C.y=±（V3+1）xD.y=±（V3-1）x

22

2.（2022江西科技学院附属中学月考）已知双曲线±方l（a>0,b>0）的左、右焦

点分别为F„F2,过Fi作圆x2+y2=£的切线,交双曲线右支于点M,若NEMF2=6O°,

则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±（3+V3）xB.y=+2x

C.y=+34^xD.y=+（1+V3）x

3.（多选）（2022吉林梅河口第五中学月考）已知4ABC是一个等腰直角三角形,如

果圆锥曲线以AABC的两个顶点为焦点,且经过另外一个顶点，则该圆锥曲线的离

心率可以等于（）

A.V2B.yC.V2-1D.V2+1

4.（2020湖南九师联盟）人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫

作双耳定位效应（简称双耳效应）.根据双耳的时差,可以确定声源P必在以双耳

为左、右焦点的一条双曲线上,若声源P所在的双曲线与它的渐近线趋近,则声

源P对于测听者的方向偏角a就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹

角来确定.一般地，甲测听者的左、右两耳相距约为20cm,声源P的声波传到甲

的左、右两耳的时间差为3X105s,声速为334m/s,则声源P对于甲的方向偏

角a的正弦值约为（）

A.0.004B.0.04C.0.005D.0.05

2

5.侈选）（2022山东济宁育才中学开学考试）已知双曲线C:土y2=l（a>0）,若圆

（x-2）2+y2=l与双曲线C的渐近线相切，则（）

A.C的实轴长为6

B.C的离心率6二手

c.P为C上任意一点,若点P到C的两条渐近线的距离分别为d„d2,则d,d2=；

D.直线1:y=Lx+m与C交于A,B两点,D为弦AB的中点，若0D（0为坐标原点）的

斜率为k2,则kk三

6.侈选）（2022安徽淮北树人高级中学月考）抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线1

过点F,其斜率k>0,且交抛物线C于A,B（点A在x轴的下方）两点,抛物线C的准

线为m,AA」m,BB,±m,垂足分别为A„Bb下列结论正确的是（）

A.若丽=3贝!Jk=V3

B.—+—=1

|FA|\FB\

口若1<=1,则|人8|=12

D.NAFB尸90°

22

7.（2022重庆第八中学校月考）若0和F分别为椭圆的中心和左焦点,P

43

为椭圆上的任意一点，则而•丽的最大值为.

22

8.（2022四川绵阳月考）已知直线1:kx-y-2k+l=0与椭圆G』+£=1（a>b>0）交于

a2b2

A,B两点，与圆Cz：（x-2）2+（y-l）2=l交于C,D两点.若存在k£[-2,-1],使得

|而|=|砺I,则椭圆G的离心率e的取值范围是.

22

9.（2022吉林辽源第一次阶段检测）已知椭圆C：5+3=l（a>b>0）,其离心率为

a2b2

手，且点（丹I）在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C上的任意一点M（除短轴的端点外）与短轴的两个端点B„B2的连线分

别与x轴交于P,Q两点，求证|OP|・|与|为定值.

22

10.(2022河南焦作第一次模拟考试)已知双曲线E:"为1(a>0,b>0)经过点

(四,8)，其一条渐近线的倾斜角为60°.

⑴求双曲线E的标准方程；

⑵若斜率为k(k#0)的直线1与双曲线E交于两个不同的点M,N,线段MN的中

垂线与y轴交于点(0,4),求实数k的取值范围.

迁移创新

11.阅读下列有关光线的入射与反射的两个现象：

现象(1):光线经平面镜反射满足反射角与入射角相等；

现象(2):光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点.

试结合上述现象，回答下列问题：

有一椭圆形台球桌,长轴长为2a,短轴长为2b.将一放置于焦点处的桌球击此经

过球桌边缘的反射(假设球的反射完全符合现象(2))后第一次返回到该焦点时所

经过的路程记为s,则s的值为(用a,b表示).

答案与分层梯度式解析

五年高考练

22

1.C在椭圆C:上+匕=1上，且a=3,

94

二|MFJ+|MF2|=6,

・IMF2I，

AIMF.I・IMFZ(屿普户9,

当且仅当|MF』=|MFz|=3时等号成立.

故选C.

2.B设|F?B|=x(x>0),则|AF2|=2X,IAB|=3x,|BFJ=3x,|AF,|=4a~

(lABl+lBF^Ma-Gx,

由椭圆的定义知IBFj+|BF2|=2a=4x,

所以|AF」=2x.

在△BFF2中，由余弦定理得|BF』2=|BF2r+|FF2「-2|BFz|•|F,F2|­cosZBF2F„

即9X2=X2+22-4XCOSZBF^^,

在△AFE中，由余弦定理得|AF』2二|AF2|2+|FF2|2-2|AF2|•|F,F2|­cosZAF2F„

222

即4X=4X+2+8XCOSZBF2F1(2),

由①②，得x4，

所以2a=4x=2-\/3,a=V3,所以b2=a2-c2=2.

22

故椭圆的方程为彳故选B.

3.C由题意知,B(0,b),设P(x。,y。),则普喀=1,则稔a?(l一居).

22

IPB|=%o+(y0-b)=a~(l-粉+yQ2byo+b2=

2

22

-^y^-2by0+a+b,

•••C上任意一点P都满足|PB|W2b,y°£[-b,b],.•.当y°=-b时，|PB12取得最大值,

,。迅即b22c2,

又a/%；...a'c'c；即a'^2c2,e2^1,

又•.飞£(0,1),.,.eG(0,y],

即离心率的取值范围为(0,闿,故选C.

4.答案延;在

解析设切点为B,圆心为A,连接AB,

如图，易知|FiA|考，|FEl=2c,|BF』=名，|AB|=c,|PFz|=Q,.•.直线P3的斜率

22a

k=tanZPF,F2=^=^=—,

IBFil骂5

在△PFF2中，tanNPFFz=之差，

即而b?=4ac=V5(a,-c?)=4ac,

方程两边同时除以a\整理可得而e?+4e-遥=0,

解得e考或e=-V5(舍)，.二e=y.

5.答案5

解析设B(t,u),由而=2而，易得A(-2t,3-2u).

t2

——I-u2=m,

•点A,B者B在椭圆上，

9+(3—2u)2m,

o*24-2

从而有土+3/1211+9=0,gp-+2=4u-3,

44u

.o•m+3

・•4Au-3=m,・•u=-----,

4

.t2,(m+3)2

••一十-----------=m,

416

・・.代中声河小5)2+4.

当m=5时，*)耐=4,即1111rax=2,

即当m=5时，点B横坐标的绝对值最大.

22

6.A设双曲线C的标准方程为J-2=l(a>0,b>0),由题意知|PF』-

azbz

IPF2|=2a,IPF.|=3|PF2|,两式联立解得|PF,|=3a,|PF21=a，又|F,F2|=2c,所以在

△PFF2中由余弦定理得EF2「=|PF/2+|PF2|2-2|PF』IPF2ICOSNFFF2,即

4c2=9a2+a2-2X3aXaXcos60°,可得巳二,所以双曲线C的离心率e=J”故选

a2a2

A.

7.B直线x=a与双曲线C的两条渐近线y=±-x分别交于D,E两点,贝I」|DE|=|y「

a

y』=2b,所以SAODE=|,a,2b=ab,即ab=8.

所以c2=a?+b222ab=16(当且仅当a=b时取等号)，即c,„in=4,

所以双曲线的焦距2c的最小值为8,故选B.

22

8.A由双曲线的方程为土-J与，知a=2,b=V2,故c=Va2+b2=V6,渐近线的方程

42

为y=土?x.

令NPOF=。，由tan。邛得|PQ|=|0Q|tan§专吟普，

.,•△PFO的面积S二|OF|・|PQ|=X遥X立'学故选A.

2224

9.答案4

解析由双曲线C:立-y2=l(m>0),得渐近线方程为y=土画x,

mm

结合题设得-竺-丝...m=3,.•.双曲线C的方程为，y2=l,「.C的焦距为

mm3

2Vm>4.

10.答案2

解析点B为双曲线的通径位于第一象限的端点,其坐标为《,9)，点A的坐标为

(a,0).

2

b22

VAB的斜率为3,.，.q=3,即0一J+a=e+]=3,.-.=2.故离心率e=2.

c-aa(c-a)ae

11.B抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是《,0),由点6,0)到直线x-y+l=0的距离

为应,可得睁=鱼,即与+1=2,解得p=2或p=—6,XVp>0,.\p=-6不合题意,舍

V22

去，，p=2.故选B.

12.B由抛物线的对称性,不妨设D在x轴上方、E在x轴下方.

由心2—：得D(2,2四),E(2,-2胆),

V0D10E,：.~OD•屁=4-4p=0,.\p=l,

AC的焦点坐标为C，。)，故选B.

13.D1抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(l，0),

.,.由已知得椭圆导f的一个焦点为信0),

n2

3p-p=—,又p>0,/.p=8.

4

14.答案5;4V5

解析设点M的坐标为(xo,y0),则有|FM|=Xo+l=6,解得x0=5,所以M的横坐标是5.

将x0=5代入y=4x,得|y°|=2圾由题意得SA™=|x(5-1)X26=4病

15.答案V3-l;2

解析如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个

交点,FbF2为椭圆M的两个焦点.

•.・直线AC是双曲线N的一条渐近线,且其方程为尸岳,.・唱S.

H+（回）2

设Im|=k，则|n|=8k,则双曲线N的离心率叱一―=2.

连接FC,在正六边形ABF2CDF1中，可得NF£F2=90°,NCFF2=30°.

设椭圆的焦距为2c,则|CF2|=C,ICF.|=V3c,再由椭圆的定义得ICFiI+1CF21=2a,即

(遍+l)c=2a,.•.椭圆M的离心率$*=高=77等着=gT.

CLV3+1(V3+1)(V3-1)

16.解析⑴由题意知IFF21=2后,因为|MFiHMF?|=2<|FEI=2后,所以结合

双曲线的定义知，点M的轨迹C是以品,Fz为焦点的双曲线的右支.

设其方程为丁为1(a>0,b>0,x2a),则2a=2,2c=2g,

解得a=l,c=V17,则b2=c*-a2=(V17)2-l2=16,

所以M的轨迹c的方程为y=i(x»

/、/.、fy=自(%」)+m,

⑵如图，设T&m),直线AB的方程为y-m=k(W),由112j得(16-

\1O

/cf)x2+(k>2klm)x」卷+kim-m2T6=0.

*4

Tv

0

设A（xi,设，B（X2,y2）,

IJIllX+X-七2的m_滔+./内+16

人IXiX?416，12好-16，

则|TA|41+<(%]-3"TBI+好(%2-J，

2

所以|TA|•[以|=(1+般)•(%2-|)='(7n+12)(l+/cf)

好-16

设直线PQ的方程为y-m=k2(%-1),

同理得|TP|・m|=(苏+丫)(1+”

抬-16

因为|TA|•|TB|=|TP|•|TQ|,

(m2+12)(l+fc?)(7n2+12)(l+kj)

所以

抬-16kj-16J

所以常7•需I，即般=必，由题意知kiWk2,

所以ki+k2=0,

即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

17.解析(1)由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),则P,Q的坐标为

(1,±j2p),

V0P10Q,：.OP・丽=1-2P=0,

/.p=p.••抛物线C的方程为y2=x.

OM的圆心为⑵0),OM与直线x=l相切，

.•・G)M的半径为1,

OM的方程为(x-2¥+y2=L

(2)直线A2A3与。M相切.理由如下：

设Ai(7o,y0),A2(yf,yj,A3(yf,y2),

•・•直线A1A2,A也均与OM相切,

y()W±l,yH±l,y2H±1,

由A”A,的坐标可得直线AA的方程为厂疗蕊&-粉整理得x-

(yo+yi)y+yoyi=O,

由于直线A岛与0M相切，

AM至I」直线AA2的总巨离d=|2+y°yd=1,

2

Vi+(y0+yi)

整理得(必T)比+2y()yi+3-%=0,①

同理可得，(羽-1)比+2y0y2+3-光=0,②

观察①②,得y>,y?是关于x的一元二次方程(yQl)x2+2y°x+3-光=0的两根,

2yo

%+为=f

-%2-11

3■■据

.=而

同理,得直线A2A3的方程为x-(yi+y2)y+yiy2=0,

|2+yiyl

则点M(2,0)到直线AA3的距离d'=2，把(*)代入，得

22

Vi+(yi+y2)

J,直线AA与。M相切.

(c=V2,(a2=3,

18.解析(1)由题意得［?=£=渔，解得卜2=1：

U=b4c\3=2,

2c

故椭圆c的方程为?vy=i.

(2)证明：设M(xi,yi),N(X2,y2).

①先证必要性.

易知直线MN的斜率不为0,

因为M,N,F三点共线,F(VI0),

所以设直线MN:x=my+V2.

2

由题意知0(0,0)到直线MN的距离d=7^=l,解得m=l,故m=±l,所以直线

vm2+l

MN:x+y-V2=0,

根据对称性,不妨令直线MN:y=x-VI

y=x-y/2,2

联立久29消y整理得4X-6V2X+3=0.

b+y=L

2

故X1+X2=当,X1X2=^,所以|MN|=V1+l•IX1-X21=V2XY(X]+%2)2-4%[%2=V5,即

24

必要性成立.

②再证充分性.

易知直线MN的斜率存在,设其方程为y=kx+t.

由题意得碧/b=l,即t2=l+k2.

(y=kx+t,

由1消去y并整理，得(l+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0,

ly+7-1，

Mil.6kt3t2-3

则X1+X2=-^X1X2=^

所以IMNI=J(1+N2)[(11+%2)2-4%1%21

=」(1+妙)[(-舟)2-4义品]

_512(t2-i_3H)(l+[2)_124k2(1+H5

―1(l+3fc2)2J(l+3/c2)2*

因为|MN|=V3,所以81,解得k2==l,则t"=2.

因为Xi+X2=-'^>O,即kt<0,

所以k=l,t=-V^或k=T,t=V2,

所以直线MN的方程为y=x-&或y=-x+V2.

无论哪一种情况,直线MN恒过焦点F,所以M,N,F三点共线.

故M,N,F三点共线的充要条件是IMN|=8.

三年模拟练

1.C因为NCBF2=NCFzB,所以|BC卜=|CF2］，由|CFiHCF2|=|BF2|-|BF』=2a,得

IBF,|=2a,|BF21=4a,

故C°SNBFF=眼^亚血=生金尤，

2|FF1||F1F2|8ac

由/tFiC=tanNBFF2=*得cosZBFiF2=p

所以4a2+y16a22令整理，得b2_2b_2=())解得b=l+遮(负值舍去)，所以双

8acc

曲线的渐近线方程为y=±(V3+l)x,故选C.

2.C如图，作OA_LFM于点A,作F2B±F,M于点B.因为F,M与圆x?+y2=a2相切,所

以10A|=a，所以|&A|=J|OFi|2-|OA|2=b,又0为FR的中点,0A〃F2B,所以

IF2B|=210A|=2a,|RB|二2|FA|=2b,

在RtABMF,中，ZBMF2=60°，所以|BM仁小史H3竺|F2M|=—,又点M在双曲

tan60V333

线的右支上,所以IF1MHFM=|RBI+1BMHF2Ml=2b+竽-竽=2a,整理,得

b=^a,所以丝丝

3a3

所以双曲线的渐近线方程为y=±等x.故选c.

3.BCD不妨设4ABC的直角边长为m,则斜边长为&m,

如果圆锥曲线是椭圆,

当椭圆以两个非直角顶点为焦点且经过直角顶点时,离心率e蚩要哼

当椭圆以一个非直角顶点和直角顶点为焦点且经过另一个非直角顶点时，离心率

e==&-1.

2am+V2m

如果圆锥曲线是双曲线,则双曲线只能以一个非直角顶点和直角顶点为焦点且经

过另一个非直角顶点，离心率e二亲焉：鱼+1.

故选BCD.

4.D设两耳所在双曲线的实轴长为2a,焦距为2c,虚轴长为2b,

则2a=3*10-5*334=0.01002(m),2c=0.2m,

b

tan一,

a

所以sin-=—-001002^0.0501^0.05.故选D.

5.BCD由题意知,双曲线C的渐近线方程为x土ay=0,因为圆（x-2）2+y2=l与渐近

线相切，所以舟口，解得a=B（负值舍去），所以实轴长2a-「2,

所以e金乎,故A错误,B正确;设P（x。,y。），则d尸如孚”&上呼型所以

a322

d&=!空辿,压吐警［上用q故C正确；设A（XI,y.）,B（X2,y2）,则

2244

yi+y2.,联立直线1与双曲线C的方程,消去y,得（1-3幅）x2-6kjnx-

22

2

(3m+3)=0,所以xi+x2=半瞿,山+丫2=-，贝Ik2=—即kk=；,故D正确.故

1一3峪1-3烂％i+%23kl3

选BCD.

6.ABD延长BA,交准线m于点Q.设|FA|=|AAj=t,|FB|=|BB/=3t,|AQ|=x，则

△QAA|S^QBBi=^=^n3/nx=2t,又NAAQ=90°,

\QB\x+4t3t

.•.k=B，故A正确；

由题知F(l,0),则直线1的方程为y=k(x-1)(k>0),设A3,由，B3,yl,联立

『2=5"1)'消去y并整理，得k2x2-

(片=4x,

22+=

(2k+4)x+k=0,2x1x2=l,•>-——%:"*、=L故B

k\FA\\FB\Xi+1x2+lx1x2+(x1+x2)+l

正确；若k=l,则XI+X2=6,IABI=XI+X2+2=8,故C错

^;VZBB1F=ZB1FB,NAAF=NAFA,AZB1FB+ZA1FA=^^+^^=9

0°,即NAFB尸90°,故D正确.故选ABD.

7.答案6

解析由题意得0(0,0)析(-1,0).设P(x,y),-2Wx<2,

则而,丽=(x,y)•(x+1,y)=x2+x+y2,

又点P在椭圆上,所以x2+x+y2=x2+x+(3—-%2)=^