2023湘教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-3 .1 .2 椭圆的简单几何性质

3.1.2椭圆的简单几何性质

基础过关练

题组一由椭圆的标准方程探究其几何性质

1.已知椭圆x2+my2=l的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m=（）

A.V2B.2C.7D.4

4

2.（2022天津三中期中）已知椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=l,则两个椭圆（）

A.有相同的长轴与短轴

B.有相同的焦距

C.有相同的焦点

D.有相同的离心率

22

3.[2021新高考八省（市）联考]椭圆向+a=l（m>0）的焦点为FiE,上顶点为A,若

NF1AF24，则m=（）

A.lB.V2C,V3D.2

4.设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且NCBA=45。,若AB=4,BC=VX则椭圆的焦

距等于（）

遮

A..—4V6Bn.—2^C.—4V3Dc.—2

3333

题组二由椭圆的几何性质求标准方程

5.（2022四川凉山州月考）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的长轴长为

4,焦距为2,则C的方程为（）

22

A%y1

A•五+适=1

B.—+—=1或旺+丫=1

16121612

22

43

2222

D*或％A】

22

6.（2021江苏徐州沛县学情调研）过点（2,旧）,焦点在x轴上且与椭圆9+9=1有相同

43

的离心率的椭圆方程为（）

A12y2

A,+.二lB.3=I

641612

C*2=2lD.当2?2=1

12986

22

7.以椭圆C：a+£=l（a〉b〉0）的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三

角形,且椭圆C上的点到左焦点的最大距离为6,则椭圆C的标准方程为（）

2222

A(xy

A.%-r+yJ=lB.—+^-=11

4384

c-2+^2l22

D..—%y1i

16126448

22

8.（2022湖南益阳期中）若椭圆C:J+4=l（a>b>0）的右焦点为F,焦距为2代椭圆C

Li{J

上的两点P,Q关于原点对称,|PFHQF|=a，且PFJ_QF,则椭圆C的方程为.

题组三椭圆的离心率

9.设e是椭圆[+[=1的离心率，且e£@,1）,则实数k的取值范围是（）

A.（0,3）

C.（0,2）D.（0,3）U（y,+°0）

22

10.（2022广东福田月考）已知椭圆号+5=l（a〉b>0）的左、右焦点分别是FiR,离心率

ab

为；,A是椭圆上位于x轴上方的一点，且|AR|=|FF2|,则直线AB的斜率为（）

A.—B.V3C.—D.1

32

22

11.（2022四川树德中学月考）已知椭圆J+-=l（a〉b〉0）上存在点P,使得|PFI|=3|PF2|,

ab

其中Fi,F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

C.（Q）

22

12.（2022湖南桃江一中开学考试）已知F是椭圆J+2=l（a>b>0）的一个焦点,若过原

ab

点的直线与椭圆相交于A,B两点，且NAFB=120。,则椭圆的离心率的取值范围是

（）

A停1）B.（谭

c.（咽咽1）

题组四直线与椭圆的位置关系

22

13.直线y=x+l与椭圆2+-=1的位置关系是（）

54

A.相交B.相切

C.相离D.无法判断

2

14.（2022四川成都蓉城名校联盟期中）直线y=x+m与椭圆1*+y2=l交于A,B两点，

若弦长|AB|=^，则实数m的值为（）

13

士B+C+

・----

A.22D+±2

22

15.直线y=x+l被椭圆-+3=1所截得的线段的中点的坐标是（）

4Z

22

16.过椭圆2+-=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,0为坐标

原点，则△0AB的面积为.

22/q

17.（2022湖南邵阳期末）已知椭圆C：3+3=l（a>b〉0）的离心率为QFI,F2分别为椭圆

的左、右焦点,Bi为椭圆的上顶点,/kBiFFz的面积为遥.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y=kx+m(kWO,mWO)与椭圆C交于不同的两点M,N,P(O,；),|MP|=|NP|,

求实数m的取值范围.

能力提升练

题组一椭圆的几何性质及其应用

22

1.（2022江西景德镇一中期末）已知点P（x,y）（xW0,yW0）是椭圆2+5=1上的一个动

loo

点,FiB分别为椭圆的左、右焦点,0是坐标原点，若M是NF1PF2的平分线上的一

点（不与点P重合），且瓦而•两=0,则|加|的取值范围为（）

A.[0,3）B.（0,2V2）

C.[2V2,3）D.[0,4]

22

2.（多选）（2022山东泰安月考）已知椭圆C*+廿l（a>b〉0）的左、右焦点分别为FbF2

且|FE|=2,点P（l,l）在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）

A.IQFil+IQPI的最小值为2a-l

B.椭圆C的短轴长可能为2

C.椭圆C的离心率的取值范围为（0,中）

D.若丽三而，则椭圆C的长轴长为遥+旧

22

3.（2022湖北黄冈中学期末）已知A,B为椭圆今+七=l（a>b>0）上的两点,F#2分别为

aD

其左、右焦点，且满足丽=2月U当NF1AF2苦时椭圆的离心率为.

22

4.（2022湖北武汉期末）已知椭圆3+T=l（a〉b〉0）的短轴长为8,上顶点为A,左顶点

aD

为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，且AFiAB的面积为4,P为椭圆上的任意一点,

则』++的取值范围为

1^11上尸2|

22

5.（2022安徽芜湖期末）已知椭圆C与+9=l（a〉b〉0）的焦点为FI（-2,0）,F2（2,0）.过Fi

且倾斜角为60。的直线交椭圆的上半部分于点A,以FiA,FQ（O为坐标原点）为邻边

作平行四边形OFiAB,点B恰好也在椭圆上，则b2=.

题组二直线与椭圆的位置关系

6.（多选）（2022河北阜城中学期末）已知点和N（l,0）,若某直线上存在点P,

使得|PM|+|PN|=4,则称该直线为“椭型直线”，下列直线是“椭型直线”的是

（）

A.x-2y+6=0B.x-y=0

C.2x-y+l=0D.x+y-3=0

22

7.（2022河南新乡期末）已知椭圆GJ+与=l（a>b〉0）的右焦点为F（3位,0）,过点F的

au

直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点的坐标为（鱼,-&）,则椭圆G的方程为（）

8.（2022陕西西安中学月考）已知曲线C上任意一点P（x,y）满足

+y2+2y+1+J%2+y2_2y+1=2鱼厕曲线C上到直线2x-y-4=0的距离最

近的点的坐标是（）

A怎,与B伊书

C）口（篝）

22

9.（2022湖南湘潭月考）已知点P（0,l）为椭圆CJ+与=l（a>b>0）上一点，且直线

LtU

x+2y-2=0过椭圆C的一个焦点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）不经过点P（0,l）的直线1与椭圆C相交于A,B两点,记直线AP,BP的斜率分别

为kik,若ki+k2=-2,则直线1是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,

请说明理由.

10.(2022湖南师大附中期末)如图，已知动圆M过点E(-l,0),且与圆F:(x-l)2+y2=8

内切，设动圆圆心M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)过圆心F的直线1交曲线C于A,B两点，问:在x轴上是否存在定点P,使得当直

线1绕点F任意转动时，刀­而为定值?若存在，求出点P的坐标和迈­丽的值；

若不存在,请说明理由.

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.D易知长轴长2a=2,短轴长2b=2R

所以4口=2,解得m=4.故选D.

2

2.D将椭圆方程x2+2y2=2整理得：+y?=l,其焦点在x轴上,ai=VXbi=l,则

ci=J诏碎=1,所以ei='W=当

将椭圆方程2x2+y2=l整理得2+y2=l,其焦点在y轴上,a2=l,b2=4则ci-yfa^bf--,

—22

2

V?厂

所以e2=2=H=上故选D.

。212

3.C由题意得a=V^记4Z,b=m,c=l,NFiAO==（O为坐标原点），则tan二=£/=土所

66bm3

以m=B.故选C.

22

4.A不妨设椭圆的方程为・++=l(a〉b>O),A,B分别为长轴的左、右端点，则

於b乙

2a=4,C(1,1)或C(l,-1),所以a2=4,于是"：=1,解得b?2，所以c=、=至所以焦距

4b3Al33

2c=^

3

5.D由题意得a=2,c=l,...b2=a2-c2=3.

2222

当焦点在X轴上时椭圆的方程为：+：=1,当焦点在y轴上时，椭圆的方程为：+：=L

故选D.

6.D设所求椭圆方程为F+H8。)，将(2，8)代入可得:+；=儿即九=2,所以所求椭圆

22

方程为=+2=1.故选D.

86

a

(b=V3c,(-4,22

7.C由题意可得(a+c=6,解得b=2g,所以椭圆C的标准方程为£+±=1.

(a2=b2+c2,(c=2,

8.答案士+%1

83

解析设椭圆C的左焦点为F,则F(-c,O),由椭圆的对称性可知

|PF|-|QFU|QF|-|QF|=a,又因为|QF|+|QF|=2a,所以|QF咛,|QF|1,由PFd_QF得

NFQF=90。,在RtAF'QF中,由勾股定理得|QFF+|QFF=|FF|2,

即《+至=(2C)2=20,解得a2=8,又因为，所以b2=aZc2=3,因此椭圆C的标准方程

44

22

为j

83

9.D当椭圆的焦点在*轴上时上>仅与0，*91),.，”6，+8);当

椭圆的焦点在y轴上时,04<4所手£Gl),，k£(0,3).综上所述，实数k的取值范

围是(0,3)U(,+8).故选D.

10.B依题意e—2,即a=2c.又因为|AFi|+|AF2|=2a,|FiF2|=2c,|AFi|=|FiF2],所以

a2

|AF2|=2c,所以aAFE是等边三角形，所以NAFF2=60。,所以%尸产anNAFE=tan

60。=旧,故选B.

11.D由椭圆的定义得|PFi|+|PF2|=2a,

XV|PF1|=3|PF2|,.*.|PFi|A,|PF2|^a,

而|PFIHPF2|W|FE|=2C,当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立，即:a-%W2c,解得

e一次，即Me<l,故选D.

a22

12.D设椭圆的另一个焦点为F,连接AF,BF,则四边形AFBF为平行四边

形,NFAF=60。,在4人尸尸中,由余弦定理得

|FF'|2=|AF|2+|AF|2-2|AF|•|AF'|COSZFAF=(|AF|+|AF|)2-3|AF|•|AF|,所以

(|AF|+|AF|)2-|FF|2=3|AF|・|AF|W3(竺詈)，即，|AF|+|AF|)2W|FF|2,当且仅当

|AF|=|AF|时等号成立，则44a2W4c5可得椭圆的离心率e-次，所以故选

D.

22

13.A直线y=x+l过点(0,1),将(0,1)代入：+彳=1,得0+；<1,即点(0,1)在椭圆内部，所

以直线与椭圆相交.

y=x+m,

14.B设A(xi,yD,B(X2,y2),联立,2消去y并整理得3x2+4mx+2m2-2=0,

匕+y=L

则X1+X2=-%,X1X2=巴二，所以弦长

33

|AB|=V1+I2・+%2)2-4%]%2=近,J^~-4・=41,解得

m=±l,故选B.

(y=x+1,

15.C联立/21消去y并整理，得3x2+4x-2=0.设直线与椭圆的交点为

A(xi,yD,B(X2,y2),线段AB的中点为M(xo,yo),则xi+x2=T，xo=g^=-jyo=xo+l=；,

•••所截得的线段的中点的坐标为

16.答案-

3

解析由题意知椭圆右焦点的坐标为(1,0),又因为直线的斜率k=2,所以直线的方

22

程为y=2(x-l),将其与方程：+3=1联立，消去y并整理，得3x2-5x=0.设

A(xi,yi),B(X2,y2),则xi+x2=：,xiX2=0,所以

|AB|=V1+k2,|xi-X2|=Vl+k2•J(%1+%2)2-4%I%2=V1+-4X0=孚

设原点到直线的距离为d,则d=亍%=独•所以SAOAB-|AB|-d-x^xfe.

V(-l)2+2252112353

17.解析(1)S^BIFIF2=；*2c,b=bc=B，又,.\=4，a2=b2+c2,...a=2,b=l,.,.椭圆C的

2

方程为:+y2=1.

⑵由｛；2：察：4消去丫并整理，得(4k2+l)x2+8kmx+4m2-4=0.

设M(xi,yi),N(X2,y2),则XI+X2=£^,

由A=64k2m2-4(4k2+l)(4m2-4)>0,得4k2>m2-1.

设MN的中点D的坐标为(xo,yo),

则xo="=手,y°=kxo+m=^+m=+，即D(华

22222

24k+1」4k+14k+1\4k+l4/c+17

1

•.•|MP|=|NP|,.\DP，MNW^=」，

X0k

4k2=-6m-l,

-6m-l>0,

2一1解得

-6m-l>m

•••实数m的取值范围是

能力提升练

1.B如图，延长PF2,FIM交于点N,则APFiN为等腰三角形,M为FiN的中

点,1两।三I3I三丽-讯臼所>1电II.由图可知，当p在短轴端点时,i而।取得最

小值，此时I加1=0；当P在长轴端点时,|加|取得最大值，此时|而|=2让,又因为点P

不能在坐标轴上，所以旧祈的取值范围为(0,2夜).

2.ACD因为|FE|=2,所以F2（l,0）,|PF2|二l,所以

|QFi|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|22a-|PF2|=2a-l,当点Q在F2P的延长线上时取等号，故A

2

正确;若椭圆C的短轴长为2,即2b=2,则b2=l,a2=2,所以椭圆的方程为>y2=l,又因

为，F>1,则点p在椭圆外,所以短轴长不可能为2,故B错误;因为点P(l,l)在椭圆

内部，所以9*1,又因为aZb2=l,所以：+；<l(a>l),即a4-3a2+l〉0(a〉l),所以

*b，azaz-l

2

a?〉竺竺所以a〉*,所以e士丝所以e£(0,回),故C正确；若嗝=取,则Fi为

线段PQ的中点，所以Q(-3,-l),又因为点Q在椭圆上，所以9：=1,又因为a2-b2=l>

以》；=l(a>l),即a4-lla2+9=0(a>l),所以a2=$=亚®，所以a=^^，所以椭圆

azaz-l242

C的长轴长为遍+后,故D正确.故选ACD.

J3・定1=1案—

9

解析由题意得A,Fi,B三点共线，设|FiB|=m(mW0),则|AFi|=2m,|AB|=3m.在椭圆

中,|FIF2|=2C,NFIAF2三，由椭圆的定义可得|AF2|=2a-2m,|BF2|=2a-m,在AFiAFz中，由

余弦定理得|F/2|2=|ZFI|2+|AF2|2-2|AFI||AF2|•COSZFIAF2,BP

4c*2=*44m2+(2a-2m)2-2•2m•(2a-2m),cos%化简得c2=a2+3m2-3am.i2hAABF2中，由

余弦定理得|BF2『=|AB|2+|AF2|2-2|AB|•IAF2ICOSNBAF2,即

(2a-m)2=9m2+(2a-2m)2-2•3m,(2a-2m),cos',化简得9m2-5am=0,因为mWO,所以

m=2a,所以c2=a2+3,—a2-3a,所以匚生.

981927a9

>1=1\_5f8.

解析由已知得2b=8,故b=4,丁AFiAB的面积为4,.-.i(a-c)b=4,a-c=2,又「

a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=16,^a+c=8,「・a=5,c=3,

•1|1_|PF1|+|PF2|

・•|PF1I|PF2||PF1||PF2|

_2a_10

|%|(2a-|P%|)IPFiKlO-IPFil)

_10_10

尸产1『+1O|PF1|-(|P尸11-5)2+25'

又•.•a-c<|PFi|Wa+c,即2W|PFi|W8,.••当|PFi|=5时,-(|P0卜5>+25有最大值，为25;

2

当|PFi|=2或|PFi|=8时,-(|PFi卜57+25有最小值，为16,即16<-(|PF1|-5)+25<25,

与上+上W吧,即三w上+」W3

25IPF1I\PF2\165IPF1I\PF2\8

5.答案2遮

解析依题意可知c=2,设A(xi,yi),B(X2,y2),因为四边形OFiAB为平行四边形，所以

yi=y2,又因为%捻=1*枭,所以x2=-xi,因为FiA〃OB,且直线FiA的倾斜角为60。,

22r

所以工=^=g,所以Xi=-1,X2=1,yi=y2=g,所以A(-1,g),将其代入f=1,得1,

%1+2%2a匕db

又因为a?-b2=c2=4,所以a2=4+2V3,b2=2V3.

6.BC|PM|+|PN|=4〉|MN|=2,根据椭圆的定义可得点P的轨迹为焦点在x轴上的椭

22

圆，且a=2,c=l,所以b2=a2d=3,所以椭圆的方程为匕+2=1.由题意知“椭型直线”与

43

*j

椭圆有公共点，对于A,联立l+L消去x并整理得2y2-9y+12=0,所以A<0,

、%-2y+6=0,

方程组无解，所以A中直线不是“椭型直线”；同理,D中直线也不是“椭型直线”；

对于B,直线x-y=O过原点，必与椭圆相交,所以是“椭型直线”；对于C,因为直线

2x-y+l=0过点(0,1),且点(0,1)在椭圆内部，则该直线必与椭圆相交，是“椭型直线”.

故选BC.

但=1

7.D设点A(xi,yD,B(X2,y2),则代9‘两式作差得学+与=0,整理可得铐=-匕

Ix2I^2_〔abxfx2a

1/9一'

2

设线段AB的中点为M,则M(V2,-V2)J(JkAB-k0M-^•心=--,又因为

%-%2%i+%2

kAB=kMF=^=沁M=1所以与沁I®所以ft=*2=I*解得偿="，因

3V2-V22az22(胪=2b,W=18,

22

此椭圆G的方程为上+匕=L

3618

故选D.

8.B原等式可化为J%2+(y+1)2+J%2+(y；)2=2VX设F1(O,-1),F2(O,1),则

|FIF2|=2,.\|PR|+|PF2|=2夜〉|FIF2|=2,.,.点P的轨迹是以BR为焦点的椭圆，且

c=l,a=VXb2=l,

•••曲线C的方程是x2+9=l,设与直线2x-y-4=0平行且与曲线C相切的直线方程为

r2x-y+t=0,

2x-y+t=0(tW-4).联立•/_消去y并整理，得6x2+4tx+t2-2=0,

X2H-1.

12

A=16t2-24(t2-2)=0,t=±V6,

易知当t=-逐时，切点到直线2x-y-4=0的距离最近，此时可求得x*y=¥，故所求点

的坐标是(一广专•故选B.

9.解析(1)由题意知P(0,l)为椭圆的上顶点，则b=l,在x+2y-2=0中，令y=0,可得x=2,

即c=2,

所以a2=b2+c2=1+4=5,

所以椭圆C的方程为:+y2=l.

(2)当直线1的斜率不存在时,

设A(xo,yo),B(xo,-yo)(-A/^<xo<V^MxoWO),

则ki+k2=^+2=2,解得xo=l,所以直线方程为x=l;

%0%0

当直线1的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m,A(xi,yi),B(X2,y2),

y=kx+m,