2020年上海新高一新教材数学讲义-11 幂函数

专题11募函数

(幕函数的定义与图像，幕函数的性质)

知识梳理

一、幕函数

1、幕的有关概念：

正整数指数幕：0n=a・a,・・・a(neN*)

〃个

零指数幕：。°=1(〃w0)

负整数指数幕：ai='(awO,peN*)

ap

分数指数幕：

=n>Q,m,neN*且〃>1)

--11*

an=----=——1=(a>0,根,〃£N,n>1)

mnIm

a〃7a

2、幕函数的定义：

形如y=xk的函数叫幕函数。

注意：幕函数的底数是变量X,系数是1,高中阶段指数取有理数廉

3、幕函数的图象.

根据幕函数的定义域，先作出其在第一象限的图象,再由其奇偶性作出其他象限的图形，具

体见下图,y=x"keQ）的图象.

其中n,meN*,m>2,m,n互质.

4、幕函数的性质

所有的幕函数在（0,+8）都有定义，并且函数图像都通过点（1,1）

•k>0时：（图A）

（1）图象都通过（0,0）,（1,1）;

（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大（增函数）。

・k<0时；（图B）

（1）图象都通过点（1,1）（2）在第一象限内，函数值随x的增大而减小（减函数）

（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。

•设幕函数》的指数上=@,其中P、q互素

P

当P是偶数时，＞=/的定义域关于原点不对称，故它是非奇非偶函数；

当P是奇数时，如果q是偶数，那么y=/是偶函数；如果q是奇数，那么＞=/是奇函

数

当左时，幕函数的单调区间是整个定义域，或是将定义域分为两个单调区间.具体情

况可由上述图像直观得到

热身练习

1、下列命题中正确的是（）

A当m=0时，函数＞=廿的图像是一条直线B幕函数的图像都经过（0,0）,

（1,1）两点

C幕函数y=廿图像不可能在第四象限内D若幕函数y=xm为奇函数，则

）=/是定义域内的增函数

【难度】★【答案】C

2、黑函数①y=xL②及直线③y=l,④x=l将直角坐标系第一象限分成八个区域：

3

I,u,m，IV,v,VI,vn,vm,那么幕函数、=『2的图象在第一象限中经过的区域是

()

A.IV,VII;B.IV,VID;C.Ill,W;D.Ill,vn

【难度】★

【答案】D

3、设ae,则使函数y=x"的定义域为R且为奇函数的所有a的值为

【难度】★★【答案】1,3

4、求函数,=%混+'"+1(^^^0的定义域、值域，并判断其单调性

【难度】★★

【答案】因为冽2+相+1=m(祖+1)+1必为奇数，且大于0,所以定义域为R,值域为

并且在(一℃,+◎上为增函数

例题解析

考点一、幕函数的概念

【例1】下列函数中，是幕函数的是()

A.y=B.y=(^\C.y=H0,y=(—2x)7

【难度】★【答案】A

_3

【例2】函数y=Q的定义域是.

【难度】★★【答案】(0,+oo)

【例3】函数y=(/是黑函数,求机的值

【难度】★★【答案】-1或2

【例4】函数y=（如2+4x+机+2）4+（苏-如+1）的定义域是全体实数，则实数力的取值范围是

【难度】★★【答案】（括T+8）

【巩固训练】

L如果募函数⑴的图象经过点（2,看）,则/⑷的值等于（）.

A.16B.2C.—D.-

162

【难度】★【答案】D

2.下列幕函数中过点（0,0）,（1,1）的偶函数是（）.

l_I

A.y=x2B.y=x4C.y=x~2D.y=x3

【难度】★★【答案】B

3.求函数y=£+尸-（x-3）°的定义域

【难度】★★【答案】{x|x>0,且r*3}

4.关于幕函数有下列的四个命题，其中，真命题是（）.

A.幕函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数

B.如果一个幕函数有反函数，那么它一定为奇函数

C.图像不经过点（-口）的黑函数，一定不是偶函数

D.如果两个幕函数有三个公共点，那么，这两个函数一定相同

【难度】★★【答案】C

考点二、幕函数的奇偶性

【例5】已知幕函数尸靖…/")与尸+FmeZ)的图象都与x、y轴都没有公共点，且

y=x%2(〃zeZ)的图象关于y轴对称，求机的值.

【难度】★★【答案】m=2,4,6

【例6】已知函数/(月=铲皿2+，”+3(7”")为偶函数，且/(3)</(5),求根的值，并确定了(x)的

解析式.

【难度】★★【答案】/(X)=f

_|_Id_|_212_|_%

【例7】/(x)=------匚~n----的最大值为M,最小值为〃z,则M+7〃=___________

2x~+|x|

【难度】★★【答案】2

【巩固训练】

7+3Z-2?

3

1.黑函数f(X)=(t-t+l)X^是偶函数，且在(0,+00)上为增函数，求函数解析式.

28

【难度】★★【答案】/(X)=或/(尤)=.

2.已知幕函数y=x时2(相eN)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于,轴对称，求加的值,

并画出它的图象

【难度】★★

【答案】图象与X，y轴都无交点，...m—2W0,即机<2.又加€^^；.加=0,1,2.

幕函数图象关于y轴对称，：.“2=0,或"z=2.

当加=0时，函数为>=%-2,图象如图1；当加=2时，函数为y=x°=1（x/0）,图象如图

考点三、幕函数的图像和单调性

【例8】比较下列各组数的大小：

,J333

⑴1.5弓，1.73，1；⑵卜//，卜6），,卜行’；

【难度】【答案】（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幕函数，不同函

1J1

数值的大小问题..•T=如在（°，+8）上单调递增，且1.7>1.5>1,,-.1.73>1,53>1.

3333

（2）底数均为负数，可以将其转化为卜0）7=_（五曰，卜百y=_（百y,

33

f一回

3

,•・二"在0+⑹上单调递增，良小,

333333

•••（石”（百”（后’，即一即上一（百y<—（gy,

（3）先将指数统一，底数化成正数.

1010

,=%1在（0,+8）上单调递减，且:<［<1.21,.

>(1.21尸,

_正丫3

>(-l.lp-

【例9】黑函数y=——在第二象限内为x的减函数，求m的最大负整数值

^2-m-m

【难度】★★

【答案】原函数即为y=—+%2wo）,要使得y=—+”，-2（X/））在第二象限有定义，则必

为偶函数，于是m2+m-2>0,解不等式得m<-2或m>l,当m=-3时，0?+111-2=4是偶数，满足函

数是偶函数，m=-3为所求。

【例10］已知函数"x）="+〃z）--2%3,当m为何值时，“X）在第一象限内它的图像

是上升曲线

【难度】★★

m2+m>0

【答案】-℃,-!)(3,+oo)或机e(—l,0)

m1—2m—3>0m1-2m-3<0

【例11］若（机+1）4<（3-2相）4,试求实数M的取值范围.

【难度】★★【答案】m<~,或m〉4

【例12】已知函数（1+a）3<（3-2a）3,求a的取值范围

【难度】★★

【答案】根据幕函数的性质,

6Z+1<061+1>0

6Z+l<0

有三种可能：<或<3-2。<0或<3-2。>0,解得：

3-2a>0

。+1>3—2〃〃+1>3—2a

aG(-oo,-1)

【例13】f(x)=\'",不等式/(I—，)>/(2x)的解集________________

0,x<0

【难度】★★【答案】"l<x<V2-l

【例14】已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(%)=/+2](x»0),若/(3-/)>/(2a),则

实数。的取值范围是.

【难度】★★【答案】一3VXV1

【例15】(1)/(尤)的图像向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到g(x)=--------

2x-l

的图像，则/(x)=______________________

(2)/(x)=*,(a〉6〉0)的单调区间______________,对称中心___________,若

x+b

/(X)是由某个幕函数平移得到，则a,b满足的条件

【难度】★★【答案】⑴/(劝=区](2)(f,询和(-仇内)；(-6,1)；a-b=l

2x-5

【例16】利用幕函数图象，画出下列函数的图象(写清步骤)

2

（l）y=（x-2）--3-1;⑵y=:y+2r+2.

x+2x+1

【难度】★★

5_5

【答案】⑴函数y=（尤-2/-1的图象可以由y=x=的图象向右平移2个单位，再向下平

移1个单位而得到.

2।。।。[1-1

(2)y=————---+1=---y+l,把函数,y==的图象向左

x+2%+1x+2%+1(%+1)x

+2Y+2_

平移1个单位，再向上平移1个单位，可以得到函数y=X十"十N的图象.

%2+2X+1

【例17］（1）口=a,（x>0）有两个不同的解，贝心的取值范围

（2）,（。〉6>0）的单调区间_______________

|x|+b

（3）方程*+隹尸1=0的解可视为函数尸块的图像与函数尸工的图像交点的横坐标，若

X

F+HX-4=0的各个实根为，面，xk（右4）所对应的点（处,生）（，=1,2,…，A）均在直线P

Xi

=弟勺同侧，则实数a的取值范围是

【难度】★★【答案】（1）（0,1）⑵（臼）,_6）和（一七+00）⑶（—oo,-6）U（6,+co）

【巩固训练】

1.下列函数中，在（-%。）是增函数的是（）

3913

A.y=xB.y=xC.y=一D5

xL

【难度】★★【答案】A

2.比较下列各组中两个值大小

6655

(1)0.6元与0.7元(2)(-0.88)呜(-0.89户.

【难度】★★

A66

【答案】(1),函数y=x”在(0收)上是增函数且0Vo.6<0.7<+«.，.0@<0.7口

555

(2)函数y=户在(0,-KX))上增函数且0v0.88<0.89V0.88i<0.89§

5555

-0.883>-0.893,即(-0.88)3<(-0.89P.

\_

4.若（切+1）5＜（3-2根）5,试求实数7通取值范围.

【难度】★★【答案】

3

5、函数y=/和y=炉图象满足（）

A.关于原点对称B.关于x轴对称

C.关于y轴对称D.关于直线,=大对称

【难度】★★【答案】D

4

6、函数＞=/的图象是（）

ABCD

【难度】★★【答案】A

7、igf(x)=x+x3,^a+b>0,b+c>0,a+c>0,则/(a)+/(Z?)+f(c)与0的大小关系

【难度】★★【答案】>

8、/(x)=<0,若关于x的方程/2(%)+/(%)+。=0有三个不同的实数解

、l,(x=l)

，"2，*3'贝［|X：+君+君=

【难度】★★【答案】5

考点四、幕函数综合运用(性质运用、与方程、不等式的联系)

【例18】已知函数/(%)=”2+*+2(左eN)满足/(2)</(3),

(1)求k的值并求出相应的/(x)的解析式；

(2)对于(1)中得到的函数/(x),试判断是否存在正实数q,使函数

「17~

g(x)=l-Mx)+(2q-l)x在区间［-1,2］上的值域为-4,胃？若存在，求出q;若不存在,

说明理由。

【难度】★★★

【答案】⑴因为/(2)</(3),所以/(x)在第一象限是增函数

故一左2+左+2>0,解得一1<女<2,又左eN,所以左=0或左=1,

当左=0或左=1时，-k~+k+2=2,所以/(x)=d

(2)假设存在q>0满足题设，由⑴矢口，g(x)=-qx2+(2q-l)x+1,xe［-1,2］

因为g(2)=-1,所以两个最值点只能在端点(-1,g(-D)和顶点(2B,虹里)处取到，

2q4q

4/+14/+1(旬一1)2

而------g(T)=------(2-3q)=--——>0,

4q4q4q

所以gQ)max=4，「1=?,g(x)min=g(-2)=2-3q=-4,解得q=2,所以存在4=2满

4q8

足题意。

ZVI"2-L1

【例19】已知函数/卜)=乎二是奇函数，a,b,c为常数

十C

(1)求实数C的值；

(2)若a,6eZ,且/⑴=2,〃2)<3,求/("的解析式；

(3)对于(2)中的/(x),若/(X)2/M-2X对xe(0,4<o)恒成立，求实数加的取值范围

【难度】★★

【答案]⑴/(—%)=—/(%),：.4+1

"4"1-C"4-1-C

:.-bx-\-c=—bx—c.•.6?=()

⑵/(1)=2,/(2)<-3,b

汕<3

[2b

a+l=2b

4Q+1

4〃+1qn<3n—l<〃<2

Q+1

~2T

〃=0或1,当a=O时，b=；(舍)，当a=l时，b=l,f(x)=

/(x)=x+—/.x+—N根-2xn加<3%+—又寸%£(0,+oo)恒成立

⑶xxx

3x+->2y/3,当且仅当％=正时等号成立即苫=立时,

3x+-|=2y/3：.m<2A/3

x33•^7min

【例20】对于函数y=/(x),xeD,若同时满足以下条件：①/(x)在D上单调递增或单调

递减；②存在区间勿三。，使/(x)在句上的值域也是［。,勿，则称函数/(x)是闭函

数.

（1）求函数/（乃=-%3,符合条件②的区间［凡切；

4

（2）当〃=03=12时判断函数y=2x+?是不是闭函数，并说明理由；

x

⑶若函数是闭函数，求实数k的取值范围.

【难度】★★★

b=-a3

【答案】⑴由/（X）=-/在出向上为减函数，得,4=-匕解之得。=—1/=1,...所

a<b

求区间为［T」.

（2）取％=1,尤2=10,可得了（X）不是减函数，取玉=：,々=击，可得/（X）在（。,+8）不

是增函数，.・./（X）不是闭函数.

a=k+y/ci+2

（3）设函数符合条件②的区间为3,句，则<

b=k+\lb+2

x2—（2k+l）x+k2-2=0

故a,b是方程X=左+«71的两个实根，命题等价于12-2有两个不相等

x>k

2女+1c

----->-2

2

、、99

的实根，当左4—2时，(2左+1)2—4(左2—2)>0,解得女〉一,/.^€(---2].当左>—2

44

22-(2k+l)k+k2-2>0

2k+l7

----->k

2

时，，(2%+1)2-4伏2-2)>0,无解.

k2-(2k+l)k+k2-2>0

9

「北的取值范围是%£（-二,-2］.

4

【巩固训练】

1

1.若直线>=丘+1与曲线y=x+—了-工有四个不同交点，则实数上的取值范围是（）.

XX

£]_1111

A.BC.D.

-和I-8?8898858

【难度】★★★【答案】A

2.已知函数/(X)=1--,是否存在且。［1,-KX)),使得当函数/(%)的定义域

X

为［。㈤，值域为已，勺？若存在，求出。/，若不存在，说明理由；

|_88_

【难度】★★★【答案】a=4-2叵,b=4+2也

3、已知函数/(x)=a/-gx+c(。、cwR),满足/⑴=0,且/(x)20在xe7?时恒

成立.

(1)求a、c的值；

3h1

(2)^h(x)=^x2-bx+^--,解不等式/(x)+/i(x)<0;

(3)是否存在实数加，使函数g(x)=/(x)-nzx在区间［加，加+2］上有最小值-5?若存在,

请求出m的值；若不存在，请说明理由.

【难度】★★★

【答案】(1)由/(1)=0,得a+c=g,

因为/(x)20在xeR日寸恒成立，所以4>0且4=——4ac<0,ac>—,

416

IPaf--cz>l>—,a2-—<7+—<0,[a-—\<0,所以a=c=^.

<2)16216I4

(2)由⑴/(x)=—x2-—x+—,由/(x)+/z(x)<0,

424

得x?一++?<0,即<0,

所以，当〃<g时，原不等式解集为(。，g);当A>g时,

当6=工时，原不等式解集为空集.

2

F/、12门11

(3)g(x)——x—|—卜〃I\xH—,

4(2)4

g(x)的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线％=2m+l.

假设存在实数m,使函数g(x)在区间［加，机+2］上有最小值-5.

①当2m+1VW，即根<-1时，函数g(x)在区间［加，m+2］上是增函数，所以g(m)=-5,

即工机2一(工+用］机+J_=-5,解得m二-3或根=工，因为m<一1,所以m二-3;

4<2J43

②当m<2m+l<m+2,即一14根41时，函数g(x)的最小值为g(2m+1)=-5,

即，(2根+1)2-f—+m\(2m+1)+—=-5,有箪得根=一工一^^或m=--+均舍去;

4<2；42222

③当2m+1>m+2,即加>1时，g(x)在区间［加，根+2］上是减函数，所以g(m+2)=-5,

即工(机+2/+m|(m+2)+—=-5,解得根=-1-2V2或m=一1+2行,

4<2)4

因相>1,所以m=-l+2V2.

综上，存在实数加，加=-3或机=-1+2行时，函数g(x)在区间［加，根+2］上有最小值

-5.

反思总结

当k＜0,设左j(m,neN*且互质);'贝l]D=(—oo,0)U(0,+℃)

m［右相是奇数,她=(0,+oo)

定义域

业，C、几，n/\r*口匚BE」若冽是奇数，她=R

当左＞0,设左=—O,〃eN且互质)〈”

m右根是奇数,贝0D=[O,+oo)

冽是偶数时，＞=/是非奇非偶函数

冽是奇数，〃是偶数时，y=J是偶函数

奇偶性

幕函数

机是奇数，〃是奇数时，＞=产是奇函数

当上〉0时，y=/在(0,+oo)是递增的

单调性(x〉0)＜

当左＜0时，”/在①什⑹是递减的

'图像都经过点1,1)

图像及性，图像都不经过第四象限

两个幕函数图像最多三个交点

课后练习

1.讨论幕函数＞=/(4为有理数)的定义域

【难度】★★

【答案】(1)若,贝iJxeR,这是函数的定义域为R.

(2)若aw{负整数}{0},则xw(—o,0)(0,”)，这时函数的定义域是(o,0)(0,-H»)

⑶若a=—(m,«eN*,且m,"互质),则：

m

①加是偶数，xeF,这是函数的定义域是铲；

②机是奇数，xeR,这时函数的定义域为R

(4)若a=-2(“7,”wN*,且以"互质)，则：

m

①加是偶数，,这是函数的定义域是配；

②加是奇数，无w(—0,0)。(0,+oo),这时函数的定义域是(T»,0)U(0,y).

2.函数＞=/和y=/图象满足()

A.关于原点对称B.关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于直线

y=x对称

【难度】★【答案】D

3.已知幕函数y=(weZ)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求

m的值.

【难度】★★【答案】•••黑函数y=2*3(meZ)的图象与X轴、y轴都无交点，

m2-2m-3<0,/.—l<m<3；

••,meZ,(m2-2m-3)eZ,又函数图象关于原点对称，，加2机—3是奇数，J

根=0或加=2.

4.证明幕函数/(x)=/在[0,+8)上是增函数

【难度】★★【答案】设。<玉<马，

贝(]/(石)一/(%)=石2—/5=6一n=J-”

7X]+、x?

王<x2x{-x2<0+>0

，/(石)一/(%2)<。即/(X1)</(%2)此函数在。+8)上是增函数

5.已知函数/(x)=，一L(m>0,尤>0).

ax

(1)求证：“X)在(0,+8)上是增函数；

(2)若〃x)V2x在(0,+8)上恒成立，求〃的取值范围；

(3)若“X)在[m,n]上的值域是血，n](m/n),求。的取值范围.

【难度】★★

【答案】⑴证明:任取玉>%>。

x1>%2>0,xt-x2>0,xt-x2>0,

/(^)-/(%2)>0,即/&)>/(/),故〃x)在(o,+8)上是增函数.

（2）解：•工在@+8）上恒成立，且a〉0,

ax

a>—

c,1在（0,+8）上恒成立,

2xH—

X

当且仅当2X=L（x>0）即时取等号

X2

要使7T在（°，+8）上恒成立，贝（克

乙Xn4

X

故。的取值范围是［注，+8）.

4

（3）解：由（1）“X）在定义域上是增函数.

11

：•m=于(市),n=f(ri),BPm9—m+l=0,n?--孔+1=0

aa

故方程M-工％+1=0有两个不相等的正根力，77,注意到根•几=1,m+n=—>0

aa

故只需要（△=（工）2-4>0,由于a>0,则0<a<g.

a2

6.比例下列各组数的大小.

（1）-88和-6）8；（2）（-2）-3和（-2.5）一3；

2_23

（3）（1.1尸1和（1.2尸1;（4）（4」汉（3.8/和（-1.9）“

【难度】★★

_27277

【答案】⑴-87=_（：）'函数y=3在（0,+8）上为增函数，又则（:）G>（<）G,

o89oy

从而-〈一

(2)幕函数y=/在(-8,0)和(0,+8)上为减函数,又•.•-2>-2.5,(-2)一3<(-2.5)?

⑶幕函数y=「。」在(0,+8)上为减函数，又.,.1.1一°」>1.2。

22_2_233_22

(4)(4.1)5>p=i-0<(3.8)-3<1"3=1；(-1.9)5<0,(-1.9)5<(3.8/<(4.1)“

7.函数y=J-+2x—24的单调递减区间是()

A.(—oo,-6]B.[-6,+oo)C.(—oo,-l]D.[-l,+oo)

【难度】★★【答案】A

8.对于幕函数/(%)=/,若0<玉<々，则/(土/)，/(花)；了(％2)大小关系是()

^+x/(%1)+/(x2)%1+x2/(XJ+/(x2)

AA-f(22B-八~^)<2

C.D,无法确定

【难度】★★【答案】A

9.，=尤'7。-9是偶函数，且在(0,+8)是减函数，则整数。的值是.

【难度】★★【答案】5

10.若。w+l)T<(3-2切尸，则实数m的取值范围为()

B.me(-°°，-1)

【难度】★★【答案】C

11.如图的曲线是黑函数y=x"在第一象限内的图象.已知〃分别取±2,土'四个值，与曲线q、

2

%、c3xC4相应的〃依次为（）.

j.

A.2c,l-,--1,-2cB.2,—,—2,

2222

【难度】★★【答案】A

12.已知幕函数/（%）=廿2"时3（m&Z）为偶函数，且在区间（0,+8）上是单调减函数.⑴

求函数/（X）;⑵讨论/。）=。/商-一”的奇偶性.

犷（X）

【难度】★★★

【答案】（1）.・./（九）是偶函数，，%2—2根-3应为偶数。又・・•/（%）在（0,+8）上是单

2

调减函数，m-2m-3<0,-l<m<3O又加《Z,.e.m=0,1,2O

当加二0或2时，加之一2根一3二-3不是偶数，舍去；

2

当机二1时，m-2m-3=~4;BPf（x）=x~^o

（2）F（x）=-^--bx3,F（-x）=-^-+Z?x3