3.4.2圆周角定理的推论231

第页第2课时圆周角定理的推论2，3关键问答①圆周角定理的推论有哪些？②圆的内接四边形有什么性质？1．从下列三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是()ABCD图3－4－152.①如图3－4－16，AB是⊙O的直径，C，D是圆周上的两点．已知AC＝7，BC＝24，AD＝15，则BD＝________．图3－4－163.②如图3－4－17，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BAD＝110°，则∠C的度数是________．图3－4－17命题点1利用圆周角的推论2进行计算与证明[热度：99%]4.③如图3－4－18，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是()图3－4－18A．44°B．54°C．72°D．53°方法点拨③求与圆有关的角的度数时，一般情况下，都是利用圆周角定理及其推论1.特别地，当题中有直径出现时，往往要用到“直径所对的圆周角是直角”这一性质.5.④如图3－4－19，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，若AB＝8，∠ABC＝30°，则弦AD的长为()图3－4－19A.eq\r(3)B．4eq\r(3)C．2eq\r(3)D．8方法点拨④见直径，构造直径所对的圆周角.6．2019·咸宁如图3－4－20，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为()图3－4－20A．6B．8C．5eq\r(2)D．5eq\r(3)7.⑤如图3－4－21，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC的值为()图3－4－21A.eq\f(1,3)B．2eq\r(2)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(2\r(2),3)方法点拨⑤求一个不在直角三角形中的锐角的三角函数值，一般思路为：构造含有这个角(或与这个角相等的角)的直角三角形，再根据三角函数的定义求解.8．⑥如图3－4－22，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，连接AE，ED，则下列结论中不一定正确的是()图3－4－22A．AE⊥BCB．BE＝ECC．ED＝ECD．∠BAC＝∠EDC知识链接⑥等腰三角形三线合一．9．已知：如图3－4－23，△ABC的顶点都在⊙O上，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD.(1)求证：∠DAC＝∠DBA；(2)求证：P是线段AF的中点；(3)若⊙O的半径为5，AF＝eq\f(15,2)，求tan∠ABF的值．图3－4－23命题点2圆内接四边形的相关计算与证明[热度：92%]10．如图3－4－24所示，四边形ABCD内接于⊙O，F是弧CD上一点，且eq\o(DF,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为()图3－4－24A．45°B．50°C．55°D．60°11.⑦如图3－4－25，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C＝2∠A，则BD＝________．图3－4－25方法点拨⑦计算弦长，通常需要构造直角三角形，再借助勾股定理或三角函数求解.12．已知：如图3－4－26，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC相交于点E，F是BD延长线上的点，且DE平分∠CDF.(1)求证：AB＝AC；(2)若AC＝3cm，AD＝2cm，求DE的长．图3－4－2613.⑧如图3－4－27所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且∠D＝∠E.(1)求证：∠D＝∠CBE；(2)求证：CB＝CE；(3)设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，求证：△ADE为等边三角形．图3－4－27方法点拨⑧欲证明一个三角形是等边三角形，可以证明这个三角形的三条边相等或三个角相等或证明这个三角形是有一个角是60°的等腰三角形.14.⑨如图3－4－28，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2eq\r(3)，点C与点D分别是劣弧AB与优弧AmB上的任一点(点C，D均不与点A，B重合)．(1)求∠ACB的度数；(2)求△ABD的最大面积．图3－4－28解题突破⑨(1)题中出现半径长和弦长，要联想到垂径定理，再想办法利用边的关系求角的度数；(2)要求△ABD的最大面积，AB是定值，只需使AB边上的高最大即可.15.⑩⑪如图3－4－29，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4.P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为()图3－4－29A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(8\r(13),13)D.eq\f(12\r(13),13)解题突破⑩根据三角形内角和与已知条件求出∠APB＝90°，由圆周角定理的推论判断出动点P的轨迹为以AB为直径的圆在△ABC内的弧，则可把问题转化为圆外一点与圆上动点的距离最值问题．方法点拨⑪在动态问题中求两点之间距离的最值问题，一般应先确定动点的运动规律，再运用相关知识求解.16.⑫如图3－4－30，A，P，B，C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°.(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；(2)当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；(3)求证：PA＋PB＝PC.图3－4－30方法点拨⑫探索结论成立的条件，可采用逆向思维，由果索因.

详解详析1．B[解析]只有B选项符合圆周角为90°时，所对的弦为直径，由此可知该弧为半圆．故选B.2．20[解析]∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.∵AC＝7，BC＝24，∴AB＝25.∵AD＝15，∴BD＝20.3．70°[解析]∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD＋∠C＝180°.∵∠BAD＝110°，∴∠C＝70°.4．B[解析]∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠ABC＝90°－∠AEB＝54°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝54°.故选B.5.B[解析]连接BD，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC.∵∠ADC＝∠ABC，∠ABC＝30°，∴∠ADC＝30°，∴∠BAD＝30°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB·cos30°＝8×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3).故选B.6．B[解析]如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB＋∠BOE＝180°.∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6.∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝eq\r(AE2－BE2)＝eq\r(102－62)＝8.故选B.7．C[解析]连接CD.∵∠DOC＝90°，∴CD是⊙A的直径．在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，则OD＝eq\r(CD2－OC2)＝4eq\r(2)，∴tan∠CDO＝eq\f(OC,OD)＝eq\f(\r(2),4).由圆周角定理，得∠OBC＝∠CDO，∴tan∠OBC＝tan∠CDO＝eq\f(\r(2),4).故选C.8．D[解析]∵AB为⊙O的直径，∴AE⊥BC.∵AB＝AC，∴BE＝EC，∠BAE＝∠CAE，∠B＝∠C，∴eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\o(ED,\s\up8(︵))，∴BE＝ED，∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，∴∠EDC＝∠B.故选D.9．解：(1)证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA.∵∠DAC与∠CBD都是eq\o(CD,\s\up8(︵))所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DAC＝∠DBA.(2)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝90°，∴∠ADE＋∠EDB＝∠DBA＋∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠DBA＝∠CBD＝∠DAP，∴PD＝PA.∵∠DFA＋∠DAC＝∠ADE＋∠PDF＝90°，且∠ADE＝∠DAC，∴∠PDF＝∠DFA，∴PD＝PF，∴PA＝PF，即P是线段AF的中点．(3)∵∠DAF＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°，∴△FDA∽△ADB，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(AF,AB).在Rt△ABD中，tan∠ABD＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(AF,AB)＝eq\f(\f(15,2),10)＝eq\f(3,4)，即tan∠ABF＝eq\f(3,4).10．B[解析]因为四边形ABCD内接于⊙O，所以∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－105°＝75°.因为eq\o(DF,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，所以∠DCE＝∠BAC＝25°.因为∠ADC＝∠DCE＋∠E，所以∠E＝∠ADC－∠DCE＝75°－25°＝50°.故选B.11．4eq\r(3)[解析]连接OD，OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F.∵OF⊥BD，∴DF＝BF，∠DOF＝∠BOF.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠C＝180°.∵∠C＝2∠A，∴∠A＝60°，∴∠BOD＝120°，∴∠BOF＝60°.∵OB＝4，∴BF＝OB·sin∠BOF＝4×sin60°＝2eq\r(3)，∴BD＝2BF＝4eq\r(3).12．解：(1)证明：如图，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠2＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠2.又∵∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，∴∠ABC＝∠4，∴AB＝AC.(2)∵∠3＝∠4＝∠ABE，∠DAB＝∠BAE，∴△ABD∽△AEB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AB).∵AB＝AC＝3cm，AD＝2cm，∴AE＝eq\f(AB2,AD)＝eq\f(9,2)cm，∴DE＝eq\f(9,2)－2＝eq\f(5,2)(cm)．13．证明：(1)∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC＋∠D＝180°.又∵∠ABC＋∠CBE＝180°，∴∠D＝∠CBE.(2)∵∠D＝∠CBE，∠D＝∠E，∴∠CBE＝∠E，∴CB＝CE.(3)设BC的中点为N，连接MN.∵MB＝MC，∴MN⊥BC，∴圆心O在直线MN上．又∵AD不是圆O的直径，M为AD的中点，∴OM⊥AD，即MN⊥AD，∴BC∥AD，∴∠A＝∠CBE.又∵∠CBE＝∠D，∠D＝∠E，∴∠A＝∠D＝∠E，∴△ADE为等边三角形．14．解：(1)连接OA，OB，过点O作OE⊥AB，E为垂足，则AE＝BE.在Rt△AOE中，OA＝2，AE＝eq\r(3)，∴sin∠AOE＝eq\f(\r(3),2)，∴∠AOE＝60°，∠AOB＝2∠AOE＝120°.又∵∠ADB＝eq\f(1,2)∠AOB，∴∠ADB＝60°.∵四边形ACBD为圆内接四边形，∴∠ACB＋∠ADB＝180°，∴∠ACB＝180°－∠ADB＝120°.(2)过点D作DF⊥AB，垂足为F，则S△ABD＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)·DF.显然，当DF经过圆心O时，DF取得最大值，从而S△ABD取得最大值，此时DF＝DO＋OF＝DO＋OE＝2＋2sin30°＝3，∴S△ABD＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3＝3eq\r(3)，即△ABD的最大面积是3eq\r(3).15．B[解析]如图，∵AB⊥BC，∴∠ABP＋∠PBC＝90°.∵∠PAB＝∠PBC，∴∠ABP＋∠PAB＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙E上，当点C，P，E在一条直线上时，CP长取最小值，此时由勾股定理，得CE＝eq\r(32＋42)＝5，CP＝CE－PE＝5－3＝2.故选B.16．解：(1)△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是eq\o(BC,\s\up8(︵))所对的圆周角，∠ABC与∠APC是eq\o(AC,\s\up8(︵))所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形．(2)当点P是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点时，四边形PBOA是菱形．理由：如图①，连接OP.∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，P是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，∴∠AOP＝∠BOP＝60°.又∵OA＝OP＝OB，∴△OAP和△OBP均为等