2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷03新人教版

九年级一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项是正确的，把正确选项前的字母填涂在答题卷相应位置上）1.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+（m2﹣1）＝0的常数项为0，则两个根为（）A．﹣1，0 B．﹣1，1 C．﹣1，﹣1 D．0，1【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+（m2﹣1）＝0的常数项为0，∴m﹣1≠0且m2﹣1＝0，解得：m＝﹣1，方程为﹣2x2+2x＝0，解得：x＝0或1，故选：D．【学问点】解一元二次方程-因式分解法、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的定义2.已知关于x的一元二次方程x2＝2（1﹣m）x﹣m2的两个实数根为x1、x2，设y＝x1+x2，则y的最小值为（）A． B．0 C．1 D．2【解答】解：方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2＝0，依据题意得△＝4（m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤，y＝x1+x2＝﹣2（m﹣1）＝﹣2m+2，∵y随m的增大而减小，∴当m＝时，y最小，y的最小值＝﹣2×+2＝1．故选：C．【学问点】根与系数的关系3.如图，BD为矩形ABCD的对角线，将△BCD沿BD翻折得到△BC′D，BC′与边AD交于点E．若AB＝x1，BC＝2x2，DE＝3，其中x1、x2是A关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两个实根，则m的值是（）A．3 B． C． D．2【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两个实根，∴x1+x2＝4，x1x2＝m，即AB+BC＝4，m＝AB×BC，∵△BCD沿BD翻折得到△BC′D，BC′与边AD交于点E，∴∠CBD＝∠EBD，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED＝3，在Rt△ABE中，AE＝AD﹣DE＝BC﹣3＝8﹣2AB﹣3＝5﹣2AB，∴AB2+（5﹣2AB）2＝32，解得AB＝或AB＝（舍去），∴BC＝5﹣2AB＝，∴m＝××＝．故选：C．【学问点】根与系数的关系、翻折变换（折叠问题）4.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝1，CD＝，AD＝2，若∠D＝α，则∠BCD的大小为（）A．2α B．90°+α C．135°﹣α D．180°﹣α【解答】解：连接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝1，∴∠BCA＝∠BAC＝45°，AC2＝12+12＝2，∵AC2+AD2＝2+22＝6，CD2＝6，∴AC2+AD2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∠CAD＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠D＝90°﹣α，∴∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝135°﹣α，故选：C．【学问点】旋转的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质5.下列事务中，满意随机事务且该事务每个结果发生的可能性都相等的是（）A．一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出每个球的可能性相同 B．在80个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每件产品的可能性相同 C．一枚质地匀称的骰子，随意掷一次，1﹣6点数朝上的可能性相同 D．小东经过随意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性相同【解答】解：A、一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，因为只是颜色相同，没有什么其他性质相同，所以摸出每个球的可能性不肯定相同，不符合题意．B、在80个相同的零件中，只是种类相同，没有什么其他性质相同，所以取出每件产品的可能性不肯定相同．不符合题意．C、一枚质地匀称的骰子，随意掷一次，1﹣6点数朝上的可能性相同，这个事务满意是随机事务且该事务每个结果发生的可能性都相等，符合题意D、小东经过随意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性不肯定相同，因为每种灯的时间可能不同，不符合题意．故选：C．【学问点】可能性的大小6.如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边AB，AC上，AH⊥BC，垂足为H，AH交DG于点P，已知BC＝6，AH＝4．当矩形DEFG面积最大时，HP的长是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设HP＝x，则DE＝GF＝x，∵四边形DEFG是矩形，∴DG＝EF，DE＝GF＝HP＝x，DG∥EF，∵AH⊥BC，∴AH⊥DG，∵DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：DG＝6﹣x，∴矩形DEFG的面积S＝DG×DE＝（6﹣x）x＝﹣（x﹣2）2+6，∵﹣＜0，∴S有最大值，当x＝2时，S的最大值是6，即当HP＝2时，矩形DEFG的面积最大，故选：B．【学问点】矩形的性质、相像三角形的判定与性质、二次函数的最值7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长是（）A． B．2 C．3 D．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，设⊙O与△ABC的三边的切点为E、F、G，连接OE、OF、OG，得正方形CGOF设OF＝OE＝OG＝CG＝CF＝x，则AG＝AE＝6﹣x，BE＝BF＝8﹣x，∴6﹣x+8﹣x＝10，解得x＝2，∴AE＝6﹣x＝4，∵点D是斜边AB的中点，∴AD＝5，∴DE＝AD﹣AE＝1，在Rt△ODE中，依据勾股定理，得OD＝＝＝．故选：A．【学问点】三角形的内切圆与内心、直角三角形斜边上的中线8.如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2 B． C． D．【解答】解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故选：D．【学问点】圆心角、弧、弦的关系、三角形中位线定理、点与圆的位置关系9.对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x﹣+与x轴交于An，Bn两点，以AnBn表示这两点之间的距离，则A2B2+…+A2024B2024的值是（）A． B． C． D．1【解答】解：将n＝2，3，4…分别代入抛物线y＝x2﹣x﹣+得：y＝x2﹣x+y＝x2﹣x+y＝x2﹣x+…分别解得：x1＝，x2＝；x3＝，x4＝；x5＝，x6＝…∴A2B2＝﹣A3B3＝﹣A4B4＝﹣…∴A2024B2024＝﹣∴A2B2+…+A2024B2024＝﹣+﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝故选：B．【学问点】规律型：数字的改变类、抛物线与x轴的交点10.将半径为5的圆形纸片，按如图方式折叠，若和都经过圆心O，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．25π【解答】解；如图，作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，∵OD＝AO，∴∠OAD＝30°，∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，同理∠BOC＝120°，∴∠AOC＝120°，∴阴影部分的面积＝S扇形AOC＝＝π．故选：B．【学问点】扇形面积的计算、翻折变换（折叠问题）11.如图，抛物线y＝x2+x+3与直线y＝﹣x﹣交于A，B两点，点C为y轴上点，当△ABC周长最短时，周长的值为（）A．+5 B．+3 C．+3 D．+5【解答】解：y＝x2+x+3与y＝﹣x﹣联立解得：，，∴A（﹣7，3），B（﹣1，0），设点B关于y轴的对称点为D，则D（1，0），直线AD的关系式为y＝kx+b，把A（﹣7，3），D（1，0）代入得：，解得，k＝﹣，b＝，∴直线AD的关系式为y＝﹣x+，当x＝0时，y＝，∴点C（0，），由勾股定理得：AB＝＝3，AD＝＝，∴△ABC周长最小值＝AB+BC+AC＝AB+AD＝+3，故选：B．【学问点】二次函数图象上点的坐标特征、轴对称-最短路途问题、一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征12.已知抛物线y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a＞0）的顶点坐标为（，m）．有下列结论：①若m＞0，则a+2b+6c＞0；②若点（n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；③关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0有实数解．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a＞0）顶点坐标为（，m），∴﹣＝，∴b＝﹣a，∴a+2b+6c＝﹣a+6cm＝＝∵m＞0，∴4c﹣a＞0，∴4c＞a＞0，∴c＞0，∴6c﹣a＝2c+4c﹣a＞0，∴a+2b+6c＞0．故此小题结论正确；②∵顶点坐标为（，m），n＜，∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x＝的对称点为（1﹣n，y1）∴点（1﹣n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，∵1﹣n﹣（﹣2n）＝n﹣＜0，∴1﹣n＜﹣2n，∵a＞0，∴当x时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2故此小题结论正确；③把顶点坐标（，m）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得m＝a+b+c，∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0中，△＝b2﹣4ac+4am﹣4a＝b2﹣4ac+4a（a+b+c）﹣4a＝（a+b）2﹣4a∵b＝﹣a∴△＝﹣4a＜0，∴关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解．故此小题错误．故选：C．【学问点】二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、根的判别式13.从﹣2，﹣1，1，2四个数中任取两数，分别记为a、b，则关于x的不等式组有解的概率是．【解答】解：∵关于x的不等式组有解，∴b≤x≤a+1，依据题意画图如下：共有12种等状况数，其中关于x的不等式组有解的状况分别是，，，，，，，，共8种，则有解的概率是＝；故答案为：．【学问点】解一元一次不等式组、列表法与树状图法14.如图，定直线l经过圆心O，P是半径OA上一动点，AC⊥l于点C，当半径OA围着点O旋转时，总有OP＝OC，若OA绕点O旋转60°时，P、A两点的运动路径长的比值是．【解答】解：设⊙O的半径为R，l与⊙O交于点B，连接AB、BP、PC、如图所示：∵AC⊥l于点C，∠AOB＝60°，∴∠OAC＝30°，∴OC＝OA＝OB，∵OP＝OC，∴OP＝OA，∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴BP⊥OA，∴∠OPB＝90°，∴点P在以OB为直径的圆上运动，圆心为C，∴∠PCB＝2∠AOB＝120°，∴点A的路径长为＝πR，点P的路径长为＝πR，∴P、A两点的运动路径长的比值是1，故答案为：1．【学问点】相像三角形的判定与性质、旋转的性质、圆周角定理、轨迹15.如图，在宽为4m、长为6m的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积15m2，则铺设的石子路的宽应为m．【解答】解：设铺设的石子路的宽应为x米，由题意得：（4﹣x）（6﹣x）＝15，解得：x1＝1，x2＝9（不合题意，舍去）故答案为：1．【学问点】一元二次方程的应用16.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①；②；③关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实根，④ac﹣b+1＝0；⑤OA⋅OB＝﹣．其中正确结论的有．【解答】解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，开口向下，a＜0，因此＜0，故①不正确；抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，对称轴为x＝1，所以﹣＝1，也就是a＝﹣b，∴a+b+c＝﹣b+b+c＝c＞0，故②不正确；当y＝﹣2时，依据图象可得ax2+bx+c＝﹣2有两个不同实数根，即ax2+bx+c+2＝0有两个不等实根，因此③不正确；∵OA＝OC，∴A（﹣c，0）代入得：ac2﹣bc+c＝0，即：ac﹣b+1＝0，因此④正确；设A（x1，0），B（x2，0），有x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，有有x1+x2＝，又∵OA＝﹣x1，OB＝x2，所以OA•OB＝﹣，故⑤正确；综上所述，正确的有④⑤，故答案为：④⑤【学问点】二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系三、解答题（本大题共7小题，共70分。把解答过程写答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔）17.解下列方程：（1）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2（2）x2﹣4x﹣7＝0【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2（2x﹣1）2﹣（3﹣x）2＝0，[（2x﹣1）+（3﹣x）][（2x﹣1）﹣（3﹣x）]＝0，∴x+2＝0或3x﹣4＝0，∴x1＝﹣2，x2＝；（2）x2﹣4x﹣7＝0，x2﹣4x＝7，x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11，∴x﹣2＝，∴x1＝2+，x2＝2﹣．【学问点】解一元二次方程-因式分解法、解一元二次方程-配方法18.关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m＝0．（1）证明该方程有实数根；（2）当m＝4时，该方程的两个根是等腰三角形ABC的两边长，求该三角形的面积．【解答】解：（1）证明：∵＝4m2+4m+1﹣3m2﹣2m＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，∴该方程有实数根．（2）当m＝4时，该方程化简，得：x2﹣9x+14＝0，解得：x1＝2，x2＝7．∵2+2＜7，7+7＞2，∴该等腰三角形的腰为7，底边为2．∴底边上的高线为：．∴该三角形的面积为：．【学问点】三角形的面积、三角形三边关系、一元二次方程的解、根的判别式19.为了进一步实行习近平总书记关于弘扬中华优秀传统文化的指示精神，央视推出了一系列爱过益智竞赛节目，如《中国谜语大会》、《中国成语大会》、《中国汉字听写大会》、《中国诗词大会》，节目受到了广阔观众的普遍欢迎，我市某校拟实行语文学科节，校语文组准备模拟其中一个节目开展一次竞赛活动，在全校范围内随机抽取了部分学生就“在这四个节目中，你最喜爱的节目是哪一个？”的问题进行了调查，要求只能从“A：《中国谜语大赛》，B：《中国成语大会》，C：《中国汉字听写大会》，D：《中国诗词大会》”中选择一个选项，他们依据调查结果，绘制成了如下两幅不完整的统计图：请你依据图中信息，解答下列问题：（1）扇形统计图中，m＝，D选项所对应的圆心角度数为°；（2）请你补全条形统计图；（3）若该校共有2000名学生，请你估计其中选择D选项的学生有多少名？（4）若九年级一班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择2名同学代表班级参与学校的竞赛，请用表格或树状图分析甲和乙同学同时被选中的概率．【解答】解：（1）总人数＝44÷22%＝200人，所以D选项的百分比＝×100%＝36%，所以m＝1﹣36%﹣22%﹣30%＝12%；，D选项所对应的圆心角度数＝×360°＝129.6°故答案为：12，129.6；（2）C选项的人数为200﹣24﹣44﹣72＝60人，补全条形统计图如图所示：（3）2000×＝720人；（4）画树形图得：恰好抽到甲、乙两名同学的概率＝＝．【学问点】用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图、列表法与树状图法20.某公司投入研发费用40万元（40万元只计入第一年成本），胜利研发出一种产品．公司按订单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为4元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元件）之间满意函数关系式y＝﹣x+20．（1）求这种产品第一年的利润W（万元）与售价x（元件）满意的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为24万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）其次年，该公司将第一年的利润24万元（24万元只计入其次年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为3元/件．为保持市场占有率，公司规定其次年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过10万件．请计算该公司其次年的利润W2至少为多少万元．【解答】解：（1）W＝（x﹣4）（﹣x+20）﹣40＝﹣x2+24x﹣120；（2）由题意：24＝﹣x2+24x﹣120，解得：x＝12，答：该产品第一年的售价是12元；（3）∵公司规定其次年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过10万件．∴10≤x≤12，W2＝（x﹣3）（﹣x+20）﹣24＝﹣x2+23x﹣84，∵抛物线的对称轴x＝11.5，又10≤x≤12，∴x＝10时，W2有最小值，最小值＝46（万元），答：该公司其次年的利润W2至少为46万元．【学问点】一元二次方程的应用、二次函数的应用21.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为F，CG⊥AE，交弦AE的延长线于点G，且CG＝CF．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若AE＝2，EG＝1，求由弦BC和所围成的弓形的面积．【解答】解：（1）证明：连接OC．∵CD⊥AB，CG⊥AE，CG＝CF，∴∠CAG＝∠BAC，∠AFC＝∠G＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC．∴∠CAG＝∠ACO，∴OC∥AG，∴∠OCG＝180°﹣∠G＝90°，∴CG是⊙O的切线；（2）过点O作OM⊥AE，垂足为M，则AM＝ME＝AE＝1，∠OMG＝∠OCG＝∠G＝90°．∴四边形OCGM为矩形，∴OC＝MG＝ME+EG＝2．在Rt△AGC和Rt△AFC中∴Rt△AGC≌Rt△AFC（HL），∴AF＝AG＝AE+EG＝3，∴OF＝AF﹣OA＝1，在Rt△COF中，∵cos∠COF＝＝．∴∠COF＝60°，CF＝OC•sin∠COF＝2×＝，∴S弓形BC＝﹣×2×＝π﹣．【学问点】垂径定理、切线的判定与性质、扇形面积的计算、圆周角定理22.如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．【解答】解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴∠CEF＝∠BFO＝90°∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，依据勾股定理可得：，解得（舍弃）或，∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．【学问点】勾股定理、垂径定理23.已知抛物线交x轴于A，B两点（A在B右边），A（3，0），B（1，0）交y轴于C点，C（0，3），连接AC