江苏省启东市2025届高三数学上学期期中试题

PAGEPAGE14江苏省启东市2025届高三数学上学期期中试题(考试时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，若，则由实数a的全部可能的取值组成的集合为（▲）

A．B．C．D．2．“”是“”的（▲）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要3．函数的单调减区间是（▲）

A．B．C．D．4．《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（▲）A．8B．16C．24D．285．设是等比数列的前项和，已知，则（▲）A．－512B．－8C．－2D．－16．若实数a，b，c满意，，，则（▲）A．B．C．D．7．已知角α的终边经过点，则（▲）A．B．C．D．8．设是定义在R上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（▲）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．对于随意向量a，b，c，下列命题正确的是（▲）A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若a·b＝b·c，则a＝cC．若a＝b，b＝c，则a＝cD．若|a－b|＝|a＋b|，则a·b＝010．设正实数满意，则下列说法正确的是（▲）A．的最小值为4B．的最大值为C．的最小值为D．的最小值为11．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户供应全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2024年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（▲）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．对随意x∈R，都有D．函数的最小值为－312．已知正方体的棱长为4，点M，N分别是棱A1D1，CD的中点，点P在四边形ABCD内，点Q在线段BN上，若，则（▲）A．点P的轨迹的长度为2πB．线段MP的轨迹与平面的交线为圆弧C．PQ长度的最小值为D．PQ长度的最大值为2EQ\r(,5)＋2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案干脆填写在答题卡相应位置上。13．已知函数，则▲．14．在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，，则这个“堑堵”的外接球的表面积为▲．15．已知圆内接四边形ABCD中，，则＝▲．16．已知函数f(x)＝(x2－x)(x2＋mx＋n)的图象关于直线x＝2对称，则m＋n＝▲；f(x)的最小值为▲．（本题第一空2分，其次空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(本小题满分10分)在①；②；③这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满意▲．（假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和，以及使得取得最大值时的值．18．(本小题满分12分)DBAC(第18题)如图，在△ABC中，CD⊥AB于DBAC(第18题)（1）若，求角A的大小；（2）若，求的值．19．(本小题满分12分)如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点.（1）证明：EF∥平面ABC；（2）求直线C1B与平面BDE所成角的正弦值.BBB1C1DFEA1CA(第19题)20．(本小题满分12分)如图所示的某种容器的体积为18πdm3，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为rdm，圆柱的高为hdm．已知顶部半球面的造价为，圆柱的侧面造价为，圆柱底面的造价为．（1）将圆柱的高h表示为底面半径r的函数，并求出定义域；(第20题)（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r为多少？(第20题)21．(本小题满分12分)已知函数的图象在处的切线方程为x＋y－3＝0．（1）求和的值；（2）对，成立，求实数的取值范围．22．(本小题满分12分)已知函数，其中是自然对数的底数．（1）求的最值；（2）设函数有且只有2个不同的零点，求实数的取值范围．2024～2024学年第一学期期中考试高三数学试题及评分建议(考试时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，若，则由实数a的全部可能的取值组成的集合为（▲）

A．B．C．D．【答案】D2．“”是“”的（▲）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B3．函数的单调减区间是（▲）

A．B．C．D．【答案】A4．《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（▲）A．8B．16C．24D．28【答案】C5．设是等比数列的前项和，已知，则（▲）A．－512B．－8C．－2D．－1【答案】B6．若实数a，b，c满意，，，则（▲）A．B．C．D．【答案】D7．已知角α的终边经过点，则（▲）A．B．C．D．【答案】A8．设是定义在R上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（▲）A．B．C．D．【答案】C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．对于随意向量a，b，c，下列命题正确的是（▲）A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若a·b＝b·c，则a＝cC．若a＝b，b＝c，则a＝cD．若|a－b|＝|a＋b|，则a·b＝0【答案】CD10．设正实数满意，则下列说法正确的是（▲）A．的最小值为4B．的最大值为C．的最小值为D．的最小值为【答案】ABD11．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户供应全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2024年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（▲）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．对随意x∈R，都有D．函数的最小值为－3【答案】BCD12．已知正方体的棱长为4，点M，N分别是棱A1D1，CD的中点，点P在四边形ABCD内，点Q在线段BN上，若，则（▲）A．点P的轨迹的长度为2πB．线段MP的轨迹与平面的交线为圆弧C．PQ长度的最小值为D．PQ长度的最大值为2EQ\r(,5)＋2【答案】AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案干脆填写在答题卡相应位置上。13．已知函数，则▲．【答案】EQ\F(1,2)14．在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，，则这个“堑堵”的外接球的表面积为▲．【答案】9π15．已知圆内接四边形ABCD中，，则＝▲．【答案】16．已知函数f(x)＝(x2－x)(x2＋mx＋n)的图象关于直线x＝2对称，则m＋n＝▲；f(x)的最小值为▲．（本题第一空2分，其次空3分）【答案】5；－EQ\F(9,4)四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(本小题满分10分)在①；②；③这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满意▲．（假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和，以及使得取得最大值时的值．【解】（1）选条件①．因为数列是等差数列，设公差为，，，得，……………3分所以．……………5分选条件②．因为数列是等差数列，设公差为，由得，得，……………3分以下同①.选条件③．因为数列是等差数列，设首项为，公差为，由得，解得，……………3分以下同①．（2）由（1）知=，……………7分当时，当时，，所以当时，最大．……………10分18．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，且．（1）若，求角A的大小；（2）若，求的值．DDBAC【解】（1）设，则，，因为,又因为，所以，……………3分即，所以，因为，所以，所以.……………6分（2）因为，，所以，……………8分又因为，所以，所以，，……………10分又因为，所以．……………12分19．(本小题满分12分)如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点.（1）证明：EF∥平面ABC；（2）求直线C1B与平面BDE所成角的正弦值.BBBB1C1DFEA1CAGDFECBA【解】（1）如图，取的中点G，连结，．在△BCC1中，因为F为的中点，所以∥．……………2分在三棱柱中，∥，且E为的中点，所以∥.所以四边形是平行四边形.所以∥.……………4分因为平面，平面，所以∥平面．……………6分（2）以D为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，因为所以zyxDzyxDFECBA所以，……………8分设平面的的一个法向量为，则，即取，则，所以，……………10分所以，直线与平面所成角为，则与或它的补角互余，所以.……………12分20．(本小题满分12分)如图所示的某种容器的体积为18πdm3，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为rdm，圆柱的高为hdm．已知顶部半球面的造价为，圆柱的侧面造价为，圆柱底面的造价为．（1）将圆柱的高h表示为底面半径r的函数，并求出定义域；（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r为多少？【解】（1）因为半球的半径与圆柱底面半径都为，所以半球体积为圆柱的体积为．……………2分因为所以所以.……………4分因为所以.因此.所以，定义域为．……………6分（2）半球的表面积，圆柱的侧面积，圆柱底面积为．容器总造价为．……………8分令，则，令，得，当时，，在上为单调减函数；当时，，在上为单调增函数．……………10分因此，当且仅当时，有最小值27，有最小值元.所以，总造价最低时，圆柱的底面半径为．……………12分21．(本小题满分12分)已知函数的图象在处的切线方程为x＋y－3＝0．（1）求和的值；（2）对，成立，求实数的取值范围．【解】（1）因为，所以，由函数的图象在处的切线方程为x＋y－3＝0，知，，得.……………3分（2）因为对，成立，所以恒成立，令则，……………5分设，，则，从而，……………7分因为，，所以，因为的图象在上是不间断的，所以，满意，……………9分当时，，单调递增；当时，，单调递减．从而在时取得最大值，所以的取值范围为．……………12分法二：因为对，成立，所以恒成立，即恒成立，……………5分记，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减．从而在时取得最大值，……………9分记，则，，所以，因为的图象在上是不间断的，所以，满意，即，使成立．所以有最大值3，从而．……………12分22．(本小题满分12分)已知函数，其中是自然对数的底数．（1）求的最值；（2）设函数有且只有2个不同的零点，求实数的取值范围．【解】（1）因为，令，即，所以，列表如下：x－1－＋↘微小值↗……………2分所以在递减，在递增，所以当时，有最小值，无最大值.……………4分（2），留意到，则，当时，，