2020学年新教材人教A版数学必修第一册讲义：3-4函数的应用（一）

3.4函数的应用（一）

L课前自主预习

目学习目标

1.能利用已知函数模型求解实际问题.

2.能自建确定性函数模型解决实际问题.

E）要点梳理

几类常见的函数模型

名称解析式条件

一次函数

y=hjc+bk羊。

模型

反比例

y——vb为NO

函数模型JC

一般式：y=ajc2-\-bjc~\-c

二次函数顶点式：

ar0

模型/।b\~\4tzc-lr

2a)+4a

寡函数

y=axu+〃。卢0,7?卉1

模型

分段函(/(J7)，①右,

—

数模型(g(j7),16/2

目思考诊断

1.一次函数丁=丘+。中攵的取值是如何影响其图象和性质的？

［答案］当k>0时直线必经过第一、三象限，y随工的增大而增

大；当麦<0时直线必经过第二、四象限，y随工的增大而减小

2.二次函数的图象和性质由哪些因素决定？

［答案］二次函数y=a?+Zu+c的图象和性质由开口方向、对

b

称轴及顶点位置决定.。决定抛物线的开口方向，直线X=一会决定

4-CIC—力2

对称轴的位置，f—决定顶点的纵坐标.另外其单调性由开口方

向及对称轴决定

3.判断正误(正确的打“，错误的打“X”)

(1)函数)=丘+8(%70)在R上是增函数.()

4QC-tr

(2)二次函数/U)=G2+Zzx+c(aW0)的最大值是)

(3)分段函数中每一段的模型可以是一次函数或二次函数.()

［答案］(1)X(2)X(3)J

区课堂互动探究

题型一用一、二次函数模型解决实际问题

【典例11某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场

销售中发现此商品的销售单价％元与日销售量y件之间有如下关系:

销售单价%(元)30404550

日销售量y(件)6030150

(1)在坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(%,y)对应的点，

并确定％与y的一个函数关系式y=/U)；

(2)设经营此商品的日销售利润为。元，根据上述关系式写出P

关于％的函数关系式，并指出销售单价％为多少时，才能获得最大日

销售利润.

［思路导引］(1)在平面直角坐标系中描出点，选择合适的模型，

从而用待定系数法求解；(2)日销售利润尸=每件利润X销量.

［解］(1)在平面直角坐标系中画出各点，如图.

这些点近似地分布在一条直线上，猜想y与％之间的关系为一次

函数关系，

设犬%)="+仅且2,b为常数)，

［60=30%+6,

则

30=40Z+b,

k=-3,

解得

0=150.

.•.*%)=—3%+150,经检验，点(45,15),点(50,0)也在此直线上.

二.y与％之间的函数解析式为y=-3%+150(30W%W50).

(2)由题意，得P=(%-30)(-3%+150)=-31?+240x—4500=一

3(L40)2+300(30W%W50).

二.当％=40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，日销售

利润最大.

|名师提醒A

在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建

立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的

单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用

料最省等问题.

［针对训练］

1.有I米长的钢材，要做成如右图所示的窗框：上半部分为半圆，

下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为

多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值.

［解］设小矩形的长为X,宽为y,窗户的面积为5,

则由图可得9%+心+6y=/,所以6y=/—（9+九）%,

JT冗2

所以？［（兀）龙］=

5=5乙%乙2+4%J>=5%2+/—9+

36+兀236+兀（2/、

——^+/=一看『存K

要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S最大.

由6)>0,得0Vx<4^.

因为。噌

片,21/一（9+兀）%/（18—7T）

所以当'=访？'=-6—二宿而,

r1?2Z2

即5=时，窗户的面积S有最大值，且SmaxJ］，

y18—713（36十兀）、.

题型二用黑函数模型解决实际问题

【典例2］在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形

管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比.

（1）写出函数解析式；

（2）假设气体在半径为3cm的管道中的流量为400cm3/s,求该气

体通过半径为rem的管道时，其流量R的表达式；

（3）已知⑵中的气体通过的管道半径为5cm,计算该气体的流量

（精度为1cm3/s）.

［解］⑴由题意得R=k«k是大于0的常数）.

（2）由r=3cm,/?=400cm3/s,得2•34=400,

..400

,,J81，

，流量R的表达式为氏=罂/.

O1

(3).•.当r=5cm时，/?=VTX54^3086(cm3/s).

O1O1

名师提醒》

利用募函数模型解决实际问题的一般步骤

(1)设出函数关系式.

(2)利用待定系数法求出函数关系式.

(3)根据题意，利用得出的函数关系式解决问题.

［针对训练］

2.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券

等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益

与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分

别为0.125万元和0.5万元.

(1)分别写出两类产品的收益与投资额%的函数关系式；

(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配

资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？

［解］(1)设两类产品的收益与投资额》的函数关系式分别为人力

=hx(%20),8(%)=依\&(工20),

结合已知得｛l)=t=M,g(l)=g=%2,

所以/(%)=%(%NO),g(%)=1\/^(%20).

(2)设投资稳健型产品％万元，则投资风险型产品(20—%)万元，

依题意得获得收益为y=/(x)+g(20-%)弋+、20-x(04W20),令

_2Q一,211

f=、20—x(0WW2小),则％=20—巴所以y=-—+/=—R。一2>

+3,所以当，=2,即％=16时，y取得最大值，ymax=3.

故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资

获得最大收益，最大收益是3万元.

题型三用分段函数模型解决实际问题

【典例3］提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交

通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度。(单位：千米/时)是车流

密度双单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，

造成堵塞，此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时，车

流速度为60千米/时.研究表明：当20WxW200时，车流速度。是

车流密度工的一次函数.

(1)当0WxW200时，求函数0(%)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测

点的车辆数，单位：辆/时)八%)=¥0(%)可以达到最大，并求出最大

值.(精确到1辆/时)

［思路导引］用待定系数法确定。(%)的表达式，再确定八%).

［解］(1)由题意：当0«20时,uU)=60；当20«00时，

设v(x)—ax+b,

1

a=

200。+8=0,3,

再由已知得20a+b=60,解待“

3•

故函数0a)的表达式为

[60,0W%W20,

0a)=<i

仁(200—%),204W200.

(2)依题意并由(1)可得

[60%,0WxW20,

/(%)=《1

^(200-x),20<%<200.

当04W20时,段)为增函数，故当％=20时，其最大值为60X20

=1200；

当20W%W200时，4%)=%(200-%)

=一—1(^—200x)

LL*000。

=—3—1。。)~十，

所以当x=100时，/(%)在区间［20,200］上取得最大值吗笆

10000

综上，当％=100时,«x)在区间。200］上取得最大值心

33333,

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值

约为3333辆/时.

|名师提醒a

构建分段函数模型的关键点

建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量

的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式.

［针对训练］

3.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的

费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元,

则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自

行车就增加3辆.旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且

不超过20元，每辆自行车的日租金％元只取整数，用y表示出租所

有自行车的日净收入(即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理

费后的所得).

(1)求函数)=/(%)的解析式.

(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日

净收入最多为多少元？

［解］(1)当％W6时，)=50%—115,令50%—115>0,解得％>2.3.

又因为x£N,%23,所以3W%W6,且X£N.

当6<xW20,且％£N时，^=［50-3(x-6)U-115

=-3A:2+68%—115,

50x-115,3W%W6,%£N,

综上可知y=/U)=

—3/+68%—115,6<%W20,%£N.

(2)当3W%W6,且％£N时，因为y=50%-115是增函数,

所以当x=6时，ymax=185元.

当6<xW20,且％£N时，y=-3%2+68x—115

=-31~口

3，

所以当％=11时，)max=270元.

综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最

多，为270元.

课堂归纳小结

解函数应用问题的步骤(四步八字)

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选

择数学模型，这是解应用问题的难点所在；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化

为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题.

L随堂巩固验收

1.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为:

电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆.若该天普通自行车存车

%辆次，存车费总收入为y元，则y与％的函数关系式为()

A.y=0.2M(XW4000)

B.尸0.5%(0«4000)

C.y=-0.1%+1200(0W%W4000)

D.y=0.1x+1200((XW4000)

(解析］由题意得y=0.3(4000一%)+0.2%=一0.1%+

1200.(0^x^4000)

I答案］C

2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次

函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量

时的收入是()

A.310元

C.390元D.280元

［解析］由图象知，该一次函数过(1,800),(2,1300),可求得解析

式y=50(k+300(%20),当％=0时，y=300.

［答案］B

3.下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个

数是()

①这几年生活水平逐年得到提高；

②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；

③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年;

④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降

低，因而生活水平有较大的改善.

A.1B.2

C.3D.4

I解析］由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”

的差是逐年增大的，故①正确；“生活赛收入指数”在2014~2015

年最陡；故②正确；“生活价格指数”在2015〜2016年最平缓，故

③不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上

升趋势，故④正确.

［答案］C

4.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草

莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、

90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果

的总价达到120元,顾客就少付％元.每笔订单顾客网上支付成功后，

李明会得到支付款的80%.

(1)当％=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付

________元；

(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促

销前总价的七折，则％的最大值为.

［解析］(1)%=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支

付(60+80)-10=130元.

(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，当y<120元时，李

明得到的金额为)X80%,符合要求；当y^l20元时，有&-

x)X80%NyX70%恒成立，即

因为t)min=15,所以工的最大值为15.

［答案］(1)130⑵15

5.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其

中AE=4米，CD=6米.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE

(1)设A/P=x米，PN=y米,将y表示成％的函数，求该函数的

解析式及定义域；

(2)求矩形BNPM面积的最大值.

,,»EQEF”…一一44

在△瓦*中，PQ=~FD,所以8—y二亍

所以y=—%+10,定义域为[4,8].

(2)设矩形BNPM的面积为S,

则5=孙=%(10_，)=_；(%—10)2+50.

又问4,8],

所以当x=8时，S取最大值48.

课后作业(二十四)

复习巩固

一、选择题

1.某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产.如果

外购，每个配件的价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成

本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决

定此配件外购或自产的转折点（即生产多少件以上自产合算）是（）

A.1000件B.1200件

C.1400件D.1600件

［解析］设生产％件时自产合算，由题意得1.1x2800+0.6%,解

得入21600,故选D.

［答案］D

2.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个

月生产某种商品％万件时的生产成本（单位：万元）为。（%）=++2%+

20.已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生

产该商品数量为（）

A.36万件B.22万件

C.18万件D.9万件

［解析］:利润£（%）=20%一。（%）=—/%—18>+142,当％=18

时，〃%）取最大值.

［答案］C

3.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公

2%,WO,%£N,

式为y={2x+10,10<x<100,其中，％代表拟录用人数，y

%2100,%£N,

代表面试人数，若面试人数为60,则该公司拟录用人数为（）

A.15B.40

C.25D.130

［解析］若4%=60,则％=15>10,不合题意；若2x+10=60,

则％=25,满足题意；若1.5%=60,则％=40<100,不合题意.故拟

录用25人.

［答案］c

4.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分

别为£1=5.06%—0.15d和£2=2%,其中x为销售量（单位：辆）.若该

公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（）

A.45.606万元B.45.6万元

C.45.56万元D.45.51万元

［解析］依题意，可设甲地销售％辆，则乙地销售（15—%）辆，故

总利润5=5.06%—0.15%2+2（15—%）=—0.15%2+3.06X+30（0WXW15）,

，对称轴为直线％=10.2,又x£N*,当％=10时，Smax=45.6.

［答案］B

5.根据统计，一名工人组装第％件某产品所用的时间（单位：分

'c

-r,X<A,

钟）为凡x）=<*（A,c为常数）.

京X/

已知工人组装第4件产品用时30min,组装第A件产品用时15

min,那么c和A的值分别是（）

A.75,25B.75,16

C.60,25D.60,16

［解析］由题意知，组装第A件产品所需时间为a=15,故组装

第4件产品所需时间为9=30,解得c=60.将c=60代入玲=15,

A/4y/A

得A—16.

［答案ID

二、填空题

6.若等腰三角形的周长为20,底边长y是关于腰长x的函数,

则它的解析式为.

I解析］由题意，得2%+y=20,...旷=20—2%「.>>0,「.20—2%>0,

2x>y,

.又二•三角形两边之和大于第三边，，“c解得£>5,

加=20.2%,

；.5<x<10,故所求函数的解析式为y=20—2<5<¥<10).

［答案］y=20—2式5<%<10)

7.某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y(km)与刹车时的速度

%(km/h)的关系可以用y=分2来描述，已知这种型号的汽车在速度为

60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为。km.若一辆这种型号的汽车紧

急刹车后滑行的距离为3hkm,则这辆车的行驶速度为km/h.

bh

［解析］由题意得qX6()2=b,解得。=石面，所以y=不而炉.因

为y=3b,所以境江2=3。，解得％=-60仍(舍去)或％=6附，所以

这辆车的行驶速度是6(h「km/h.

［答案］60V5

8.某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统

计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降

低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的

前提下，为获得最大利润，销售价应定为元/瓶.

［解析］设销售价每瓶定为％元，利润为y元，则y=(x-

(4-x、

3)400+-7TT-X40=80(%—3)(9一％)=—80。-6)2+720(%23),所以工

VUQ7

=6时，y取得最大值.

1答案］6

三'解答题

9.某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间*天)的函

数关系为：

7+20,0<r<25,

尸=<依N*)

〔一/+100,25W/W30.

设该商品的日销售量。(件)与时间/(天)的函数关系为0=40—

«0<W30,，£N*),求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销

售金额最大是第几天？

［解］设日销售金额为>(元)，则产P。，

-F+2(k+800,0</<25,

所以'一|产一140/+4000,25WW30."QN)

①当0«25且时，y=一«—10)2+900,

所以当1=10时，ymax=900(元).

②当25W/W30且，£N*时，y=«—70)2—900,

所以当，=25时，ymax=1125(元).

结合①②得ymax=1125(元).

因此，这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天时日

销售金额达到最大.

10.医院通过撒某种药物对病房进行消毒.已知开始撒放这种药

物时一，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，

随后药物浓度开始下降.若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面

的函数表示，其中％表示时间(单位：小时)，«x)表示药物的浓度：

%2+4%+40(0<rW1),

«r)={43(l<xW2),

、一3%+48(24W3).

(1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？

(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物

后，能否达到消毒要求？并简要说明理由.

［解］⑴当时,_/(的=一%2+4%+40=—(%—2)2+44,.\/(%)

在(0,1］上是增函数，其最大值为式1)=43；

凡x)在(2,3］上单调递减，故当24W3时，

2+48=42.

因此，撒放药物1小时后，药物的浓度最高为43,并维持1小

时.

(2)当0<xWl时，令」(%)=41.75,即一(%—2>+44=41.75,解得

%=3.5(舍去)或％=0.5；

当2<%<3时，令危)=41.75,即一3%+48=41.75,解得入Q2.08.

因此药物浓度在41.75以上的时间为2.08—0.5=1.58小时，

二.撒放药物后，能够达到消毒要求.

综合运用

11.拟定从甲地到乙地通话机min的电话费人团)=1.06-(0.50切］

+1),其中〃2>0,［,川是大于或等于m的最小整数(如［3］=3,［3.7］=4,

［5.2］=6),则从甲地到乙地通话时间为5.5min的通话费为()

A.3.71B.3.97

C.4.24D.4.77

［解析］5.5min的通话费为45.5)=1.06X(0.50X［5.5］+1)=

1.06X(0.50X6+1)=1.06义4=4.24.

［答案］C

12.某商人购货，进价已按原价。扣去25