2024年人教版中学七7年级下册数学期末解答题试题附答案

2024年人教版中学七7年级下册数学期末解答题试题附答案

一、解答题

1.如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64.

（1）求出这个魔方的棱长；

（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD,求出阴影部分的边长.

2.观察下图，每个小正方形的边长均为1,

（1）图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？

（2）估计边长的值在哪两个整数之间.

3.小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁处一块面积为300cm2的长

方形纸片.

⑴请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；

⑵若使长方形的长宽之比为3:2,小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽

设计一种裁剪方案，若不能，请简要说明理由.

4.如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方

形.

（1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？

（2）如图所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的-1点为圆

心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A,那么点A表示的数是多少？

点A表示的数的相反数是多少？

（3）你能把十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并

求它的边长

5.某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资

产投资，将原来的400m2的正方形场地改建成300m2的长方形场地，且其长、宽的比为

5：3.

(1)求原来正方形场地的周长；

(2)如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这

些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由.

二、解答题

6.如图1,已ABIICO,NC=NA.

(1)求证：ADWBC；

(2)如图2,若点E是在平行线AB,C。内，AD右侧的任意一点，探究NBAE,ZCDE,

NE之间的数量关系，并证明.

(3)如图3,若NC=90。，且点E在线段8c上，DF平分NEDC,射线DF在NEDC的内

部，且交BC于点M,交AE延长线于点F,NAED+NAEC=180°,

①直接写出NAED与NFDC的数量关系：

②点P在射线加上，且满足NOEP=2NF,NOEA-NPEA=QDEB,补全图形后，求

zEPD的度数

7.如图，直线PQ//MN,一副直角三角板A48cADEF中，

ZACB=NEDF=90°,ZABC=N8AC=45",NDFE=30\ZDEF=60°.

(1)若ADEF如图1摆放，当红)平分/PE尸时，证明：FD平分NEFM.

E

图1

(2)若AABC,\DEF如图2摆放时，则/PDE=

图2

(3)若图2中AABC固定，将AOE5沿着AC方向平移，边。尸与直线PQ相交于点G,

作NFGQ和NG用的角平分线G"、尸〃相交于点〃(如图3),求的度数.

D

图3

(4)若图2中ADEF的周长35an,AF=5cm,现将AABC固定，将ADE尸沿着C4方向平

移至点尸与A重合，平移后的得到AO'E'A,点。、E的对应点分别是。、£',请直接写

出四边形。E4。'的周长.

(5)若图2中ADEF固定，(如图4)将AABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转

至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与ADE产的一条边平行时，请直接写出旋

转的时间.

D

Q

M

AN

图4

8.已知，ABWCD.点M在A8上，点N在CD上.

（1）如图1中，ZBME.ZE,NEND的数量关系为：;（不需要证明）

如图2中，ZBMF,NF、NFND的数量关系为：;（不需要证明）

（2）如图3中，NE平分NFND,MB平分NFME,且2NE+NF=180。，求NFME的度

数；

（3）如图4中，N8ME=60。，EF平分NMEN,NP平分NEND,且EQWNP,则NFEQ的大

小是否发生变化，若变化，

图3

9.阅读下面材料：

小亮同学遇到这样一个问题：

已知I：如图甲，AB//CD,E为A8,C。之间一点，连接8E,DE,得到NBED.

求证：ZBED=4B+ZD.

（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整.

证明：过点E作EF//A8,

则有NBEF=—.

AB//CD,

—//_,

ZFED=_.

ZBED=NBEF+NFED=4B+ZD.

（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，

已知：直线。〃b,点A,8在直线。上，点C,D在直线b上，连接AD,BC,8E平分

NA8C,DE平分NAOC,且8E,DE所在的直线交于点E.

①如图1,当点8在点A的左侧时，若NABC=60。，ZADC=70。，求N8E。的度数；

②如图2,当点B在点A的右侧时，设NABC=a,ZADC=6,请你求出NBED的度数

（用含有a,6的式子表示）.

10.直线A8IICD,点P为平面内一点，连接AP,CP.

(1)如图①，点P在直线A8,CD之间，当N8AP=60。，NDCP=20。时，求NAPC的度

数；

(2)如图②，点P在直线AB,C。之间，NBAP与NDCP的角平分线相交于K,写出

NAKC与NAPC之间的数量关系，并说明理由；

20

(3)如图③，点P在直线CD下方，当NBAK=§NBAP,NDCK=§NDCP时，写出

NAKC与NAPC之间的数量关系，并说明理由.

三、解答题

11.已知：三角形A8C和三角形DEF位于直线的两侧中，直线MN经过点C,且

BCX.MN,其中NABC=ZACB,ZDEF=ZDFE,ZABC+ADFE=9Q°,点E、F均落

在直线MNk.

利用这条辅助线解决了问题.请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程.

(2)将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2,求证：DE//AC；

(3)将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点万，画出平移后的三角形

DEF,并回答问题，若NDFE=a,则/C4B=.(用含a的代数式表示)

12.如图，已知A3//CDP是直线A3,8间的一点，PF^LCD于点F,PE交AB于点、

E,NFPE=120°.

图2

(1)求NAEP的度数;

(2)如图2,射线PN从尸尸出发，以每秒40。的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂

直43时，立刻按原速返回至PF后停止运动：射线从E4出发，以每秒15。的速度绕E

点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN,射线同时开始运动，设运动间为

t秒.

①当NMEP=20。时，求NEPN的度数；

②当EM//PN时,求t的值.

13.如图1,E点在BC上，NA=N。，ABWCD.

(1)直接写出NAC8和N8ED的数量关系；

(2)如图2,BG平分NABE,与NCDE的邻补角NEDF的平分线交于，点.若NE比N”

大60。，求NE；

(3)保持(2)中所求的NE不变，如图3,BM平分NA8E的邻补角NEBK,ON平分

ZCDE,作8PIIDN,则NPBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说理由.

(1)判定N8AE,N8E与NA£D之间的数量关系，并证明你的结论;

(2)如图2,若ZBAE、NCDE的两条平分线交于点F.直接写出NAFD与NAED之间的

数量关系；

(3)将图2中的射线OC沿DE翻折交A尸于点G得图3,若4GZ)的余角等于2ZE的补

角，求NS钻的大小.

15.如图，两个形状，大小完全相同的含有30。、60。的三角板如图放置，PA,PB与直线

MN重合，且三角板外C,三角板P80均可以绕点P逆时针旋转.

(1)①如图1,4DPC=度.

②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“挛生三角

形"，如图1,三角板8PD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10。逆时针旋转一周

(0。〈旋转＜360。)，问旋转时间t为多少时，这两个三角形是"学生三角形

(2)如图3,若三角板PAC的边外从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速37秒，同时三

角板PBD的边P8从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速27秒，在两个三角板旋转过程

中，(PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动).设两个三角板旋转时间为t秒，以

下两个结论：①5/湍CPD为定值；②NBPN+NCPD为定值，请选择你认为对的结论加以证

图1园2图3

四、解答题

16.解读基础：

(1)图1形似燕尾，我们称之为"燕尾形"，请写出NA、£B、NC、之间的关系，并

说明理由；

(2)图2形似8字，我们称之为"八字形"，请写出NA、DB、NC、/D之间的关系，并

说明理由：

应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题

(3)①如图3,在AABC中，BD、CD分别平分NABC和N4CB,请直接写出NA和

的关系;

②如图4,ZA+ZB+ZC+Z£)+ZE+ZF=.

(4)如图5,ZS4C与NBQC的角平分线相交于点尸，NGDC与NC4F的角平分线相交

于点E,已知4=26。，NC=54。，求NF和NE的度数.

A

图1图2图3图4图5

17.如图，aABC中，NA8C的角平分线与NACB的外角NACD的平分线交于4.

(1)当N4为70°时,

•/ZACD-NABD=N

ZACO-NABD=°

VBAi、CAi是NABC的角平分线与NACB的外角NACD的平分线

/.ZAiCD-^AiBD=--(NAC。叱48。)

2

•*-NAi=°;

(2)N48c的角平分线与N4CD的角平分线交于Zb,NA28c与4CD的平分线交于小，

如此继续下去可得4、…、4,请写出NA与N4的数量关系；

(3)如图2,四边形A8CD中，NF为NABC的角平分线及外角NDCE的平分线所在的直线

构成的角，若NA+ND=230度，则NF=.

(4)如图3,若E为BA延长线上一动点，连EC,NAEC与NACE的角平分线交于Q,当E

滑动时有下面两个结论：①NQ+N4的值为定值；②NQ-N4的值为定值.其中有且只

有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值.

18.如图，△ABC和△ADE有公共顶点4,NACB=NAED=90°,NBAC=45°,ZDAE=30°.

(1)若DE/IAB,则N£AC=；

(2)如图1,过AC上一点。作。G_LAC,分别交AB、AD、AE于点G、H、F.

①若AO=2,5AAGH=4,SAA”F=1,求线段OF的长；

②如图2,24下。的平分线和Z4。尸的平分线交于点M，NFH。的平分线和N0G8的平分

线交于点N,ZN+NM的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理

19.如图，MNMGH,点、A、B分别在直线MMGH上，点。在直线/MMG”之间，若

ZA€4O=116°,ZOBH=144°.

(1)ZAOB^_°；

(2)如图2,点C、D是ZNAO、NGBO角平分线上的两点，且NC£>B=35。，求NACD的

度数；

(3)如图3,点F是平面上的一点，连结以、FB,E是射线网上的一点，若ZMAE=

nZOAE,ZHBF=nNOBF,且ZAFB=60°,求"的值.

图1图2

20.互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究.

小亮：已知，如图三角形A3C,点。是三角形A6C内一点，连接80,CO,试探究

NBDC与ZA,Zl,N2之间的关系.

小明：可以用三角形内角和定理去解决.

小丽：用外角的相关结论也能解决.

(1)请你在横线上补全小明的探究过程：

•••ZBDC+ZDBC+ABCD=180°,()

ABDC=180°-ADBC-ABCD,(等式性质)

•••ZA+Zl+Z2+ADBC+ZBCD=180%

ZA+Zl+Z2=180°-ZDBC-ZBCD,

：.ABDC=ZA+Z1+Z.2.()

(2)请你按照小丽的思路完成探究过程；

(3)利用探究的结果，解决下列问题：

①如图①，在凹四边形ABCZ)中，NBDC=135。,ZB=ZC=25°,求NA=:

②如图②，在凹四边形ABCO中，ZA3O与NACO的角平分线交于点E,ZA=60°,

ZBDC=140°,则NE=；

③如图③，ZABD,NACO的十等分线相交于点、6、F,、…、4，若N3ZX?=120。，

N叫C=64。，则ZA的度数为；

④如图④，ABAC,NBOC的角平分线交于点E,则DB,NC与NE之间的数量关系是

⑤如图⑤，ZABD,4MC1的角平分线交于点E,NC=40。，ZBZX?=140°,求ZA£B的

度数.

【参考答案】

一、解答题

1.（1）棱长为4；（2）边长为：（或）

【分析】

（1）由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接计算得到答案.

【详解】

解：（1）设正方体的棱长为，贝U，所以，即正方体的棱长为4.

解析：（1）棱长为4；（2）边长为：瓜（或2夜）

【分析】

（1）由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案：（2）用勾股定理直接计算得到答案.

【详解】

解：（1）设正方体的棱长为X,则丁=64,所以x=4,即正方体的棱长为4.

（2）因为正方体的棱长为4,所以AB=也2+22=妙=2夜.

【点睛】

本题考查的是立方根与算术平方根的理解与计算，由实际的情境去理解问题本身就是求一

个数的立方根与算术平方根是关键.

2.（1）图中阴影部分的面积17,边长是；（2）边长的值在4与5之间

【分析】

（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个

直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可

解析：（1）图中阴影部分的面积17,边长是如；（2）边长的值在4与5之间

【分析】

（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个直角三角形

的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可以得到阴影正方形的边长；

（2）根据而＜炳＜后，可以估算出边长的值在哪两个整数之间.

【详解】

1'4

（1）由图可知，图中阴影正方形的面积是：5x5—z4=17

则阴影正方形的边长为：历

答：图中阴影部分的面积17,边长是相

(2)1.,716<>/17<5/25

所以4<J万<5

边长的值在4与5之间；

【点睛】

本题主要考查了无理数的估算及算术平方根的定义，解题主要利用了勾股定理和正方形的

面积求解，有一定的综合性，解题关犍是无理数的估算.

3.(1)可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段

作为宽即可裁出符合要求的长方形；(2)不能，理由见解析.

【解析】

(1)解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为acm

解析：(1)可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即

可裁出符合要求的长方形；(2)不能，理由见解析.

【解析】

(1)解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为acm

a2=400

又a>0

a=20

又・•.要裁出的长方形面积为300cm2

若以原正方形纸片的边长为长方形的长，

则长方形的宽为：3004-20=15(cm)

可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符

合要求的长方形

(2)•.•长方形纸片的长宽之比为3：2

・••设长方形纸片的长为3xcm,则宽为2xcm

6x2=300

x2=50

又x>0

••x=5>/^

长方形纸片的长为15及

又・•,(15&)2=450>2。2

即：15&>20

・•・小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片

4.(1)5；；(2)；；(3)能，.

【分析】

(1)易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积

的算术平方根即可为大正方形的边长.

(2)求出斜边长即可.

(3)一共有10个小正

解析：(1)5；石；(2)75-1;I-亚;(3)能，M.

【分析】

(1)易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方

根即可为大正方形的边长.

(2)求出斜边长即可.

(3)一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10,边长为10的算术平方

根，画图.

【详解】

试题分析：

解：(1)拼成的正方形的面积与原面积相等lxlx5=5,

边长为石，

如图(1)

(2)斜边长=722+22=20，

故点A表示的数为：2&-2;点A表示的相反数为：2-2四

(3)能，如图

拼成的正方形的面积与原面积相等1x1x10-10,边长为风.

考点：1.作图一应用与设计作图；2.图形的剪拼.

5.(1)原来正方形场地的周长为80m；(2)这些铁栅栏够用.

【分析】

(1)正方形边长=面积的算术平方根，周长=边长x4,由此解答即可；

(2)长、宽的比为5：3,设这个长方形场地宽为3am,则长为

解析：(1)原来正方形场地的周长为80m；(2)这些铁栅栏够用.

【分析】

(1)正方形边长=面积的算术平方根，周长=边长x4,由此解答即可；

(2)长、宽的比为5：3,设这个长方形场地宽为3om,则长为5am,计算出长方形的长

与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用.

【详解】

解：（1）标^=20（m）,4x20=80（m）,

答：原来正方形场地的周长为80m；

（2）设这个长方形场地宽为3am,则长为5am.

由题意有：3ax5a=300,

解得：a=土廊,

3a表示长度，

a>0,

,这个长方形场地的周长为2（3a+5a）=26a=：16而（m）,

80=16x5=16x725>16而，

.•・这些铁栅栏够用.

【点睛】

本题考查了算术平方根的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出长方形和正方形的

周长.

二、解答题

6.（1）见解析；（2）NBAE+NCDE=NAED,证明见解析；（3）①NAED-

ZFDC=45°,理由见解析；②50°

【分析】

（1）根据平行线的性质及判定可得结论；

（2）过点E作EFIIAB,根

解析：（1）见解析；（2）N8AE+NCDE=NAED,证明见解析；（3）①NAED-

ZFDC=45。，理由见解析；②50°

【分析】

（1）根据平行线的性质及判定可得结论；

（2）过点£作EFHAB,根据平行线的性质得A8IICDIIEF,然后由两直线平行内错角相等

可得结论；

（3）①根据NAED+ZAEC=180。，ZAED+ZDEC+NAEB=180。，DF平分NEDC,可得出

2ZAED+（90°-2ZFDC）=180°,即可导出角的关系;

②先根据NAED=NF+NFDE,ZAED-Z.FDC=45。得出NDEP=2ZF=90°,再根据NDEA-

NPEA==4DEB,求出NAED=50。，即可得出NEPD的度数.

14

【详解】

解：（1）证明：ABWCD,

ZA+ND=180°,

1--ZC=NA,

ZC+Z0=180°,

ADWBC；

(2)ZBAE+NCDE=ZAED,理由如下:

如图2,过点E作EFII48,

图2

,「4811CD

/.ABWCDIIEF

・•・ZBAE=AAEF,ZCDE=ADEF

即NFEA+NFED=Z.CDE+NBAE

・•・ZBAE+NCDE=AAED；

(3)①NZED-NFDC=45。；

•「ZAED+NAEC=180°fZ4ED+NDEC+NAEB=180°f

ZAEC=NDEC+NAEB,

ZAED=ZAEB,

,/DF平分NEDC

NDEC=2NFDC

・•.ZDEC=90°-2ZFDC,

2ZAED+(90°-2ZFDC)=180°,

ZAED叱FDC=45°,

故答案为：ZAED叱FDC=45°；

②如图3,

图3

NAED=NF+NFDE,ZAED-AFDC=45°,

/.ZF=45°,

ZDEP=2ZF=90°,

55

ZDEA-4PEA=—Z.DEB=-NDEA,

147

ZPEA=|zAED,

9

ZD£P=ZPEA+NAED=—NAED=90°,

7

ZAED=70°,

•••ZAEO+NAEC=180°,

ZDEC+2ZAED=180°,

：.ZDEC=40°,

---ADWBC,

：.ZADEMDEC=40°,

在^POE中，ZFPD=180°-ZDEP-NAED=50°,

即NEPD=SO°.

【点睛】

本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质等知

识点是解题的关键.

7.(1)见详解；(2)15°；(3)67.5°；(4)45cm；(5)10s或30s或40s

【分析】

(1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；

(2)如图2,过点E作EKIIMN,利用平行线性

解析：(1)见详解；(2)15。；(3)67.5°；(4)45cm；(5)10s或30s或40s

【分析】

(1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；

(2)如图2,过点E作EKIIMN,利用平行线性质即可求得答案；

(3)如图3,分别过点F、“作F/JIMN,HRWPQ,运用平行线性质和角平分线定义即可

得出答案；

(4)根据平移性质可得。'A=DF,DD，=EE，=AF=5cm,再结合DE+EF+OF=35cm,可得

出答案；

(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3。，分三种情况：

①当BCIIDE时，②当BCIIEF时，③当8CIIDF时，分别求出旋转角度后，列方程求解

即可.

【详解】

(1)如图1,在AOEF中，ZEDF=90°,4DFE=30°,ZDEF=60°,

图1

,/ED平分NPEF,

/.ZPEF=2NPED=2A2x60°=120°,

/PQIIMN,

ZMFE=1800-NPEF=180°-120o=60°,

/.ZMFD=NMFE-Z.DFE=60°-30°=30°,

・•・ZMFD=NDFE,

・•・FD平分NEFM；

(2)如图2,过点E作EKIIMN,

图2

ZB4C=45°,

/.4KEA=iB4C=45°,

/PQIIMN,EKWMN,

/.PQIIEK,

：.ZPDE=NDEK=NDEF-Z.KEA,

又二ZDEF=60°.

/.ZPDE=60°-45°=15°,

故答案为：15。；

(3)如图3,分别过点F、H作F/JIMN,HRllPQ,

D

图3

ZLFA=48AC=45°,ZRHG=NQGH,

•••FLWMN,HRIIPQ,PQIIMN,

FLIIPQIIHR,

：.ZQGF+NGFL=180°,ZRHF=NHFL=ZHFA-ZLFA,

ZFGQ和NGFA的角平分线GH、FH相交于点H,

:.NQGH=；NFGQ,ZHfiA=yZGFA,

•••ZDFE=30°,

ZGM=180°-ZDFE=150°,

：.ZHM=yZGFA=75°,

：.ZRHF=NHFL=AHFA-NLE4=75°-45°=30°,

/.ZGFL=NGFA-Z.Lfi4=150o-450=105o,

:.NRHG=ZQGH=；ZFGQ=；(180o-105°)=37.5",

ZGHF=NRHG+ZRHF=37.5°+30°=67.5°；

(4)如图4,,将△OEF沿着。方向平移至点F与A重合，平移后的得到△D£2,

图4

:.D'A=DF,DD'=EE'=AF=5cm,

■：DE+EF+DF=35cm,

OE+EF+D'A+AF+DD'=35+10=45(cm),

即四边形DEAD，的周长为45cm；

(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3。,

分三种情况：

BCIIDE时，如图5,此时ACIIDF,

3t=30,

解得：t=10；

BCWEF时,如图6,

图6

,/BCWEF,

ZBAE=N8=45°,

ZBAM=NBAE+AE4M=45°+45°=90°,

3t=90,

解得:t=30；

图7

,/ZDRM=4E4M+NDFE=450+30°=75°,

ZBKA=NDRM=75°,

,/ZACK=1800-Z4cB=90°,

ZCAK=90°-ZBKA=15°f

ZCAE=180°-ZEAM-NCAK=180°-45°-15°=120°,

3t=120,

解得：t=40,

综上所述，△A8C绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与^DEF的一

条边平行.

【点睛】

本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平

行线性质是解题关键.

8.(1)ZBME=ZMEN-ZEND；ZBMF=ZMFN+zFND；(2)120°；

(3)不变，30°

【分析】

(1)过E作EHIIAB,易得EHIIABIICD,根据平行线的性质可求解；过F作

FHIIAB

解析：(1)/BME=ZMEN-NEND；NBMF=NMFN+NFND；(2)1200；(3)不变，

30°

【分析】

(1)过E作ETIAB,易得EHIIABII8,根据平行线的性质可求解；过F作FHIIAB,易

得F”llABIICD,根据平行线的性质可求解；

(2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2QBME+NEND)+NBMF-NFND=180°,

可求解N8MF=60。，进而可求解；

(3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知NF£Q=gN8ME,进而可求解.

【详解】

解：(1)过E作EHIIA8,如图1,

ZBME=NMEH,

:4811CD,

HEWCD,

ZEND=NHEN,

・•・ZMEN=4MEH+AHEN=NBME+AEND,

即NBME=NMEN-ZEND.

如图2,过F作FHIIAB,

ZBMF=NMFK,

,/4811CD,

：.FHWCD,

ZFND=4KFN,

：.ZMFN=£MFK-ZKFN=ABMF-ZFND,

即：ZBMF=Z.MFN+AFND.

图2

故答案为NBME=NMEN-ZEND；ZBMF=NMF/V+zFND.

(2)由(1)得NBME=NMEN-4END；NBMF=NMFN+NFND.

■1­NE平分NFND,MB平分NFME,

：.ZFME=ZB/WE+NBMF,ZFND=Z.FNE+NEND,

2ZMEN+NMFN=180°,

2(ZBM£+ZEND)+zBMF-ZFA/D=180°,

2ZB/WF+2ZEND+4BMF-ZFND=180°,

即2NBMF+NFA/D+ZBMF-ZFND=180°,

解得NBMF=60°,

：.ZFME=2NBMF=120°；

(3)NFEQ的大小没发生变化，NFEQ=30°.

由(1)知：ZM£N=ZBME+ZEND,

■：EF平分NMEN,NP平分NEND,

：.4FEN=g/MEN=g(.4BME+乙END),4ENP=^4END,

■：EQIINP,

：.ZNEQ=ZENP,

：.ZFEQ=NFEN-ZNEQ=；(ZBMf+zEND)-g/END=：ZBME,

■：ZB/W£=60",

ZFEQx60°=30°.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键.

9.(1)ZB,EF,CD,ND；(2)①65。；(2)180°-

【分析】

(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

(2)①如图1,过点E作EFIIAB,当点B在点A的左侧时，根据NABC=

60°,

解析：(1)ZB,EF,CD,ZD；(2)①65。：②18(T-ga+g/

【分析】

(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

(2)①如图1,过点E作EFIIA8,当点8在点A的左侧时，根据NA8C=60。，NADC=

70。，参考小亮思考问题的方法即可求NBED的度数；

②如图2,过点E作EFIIAB,当点8在点A的右侧时•，NABC=a,NADC=B，参考小亮

思考问题的方法即可求出NBED的度数.

【详解】

解：(1)过点E作EFUA8,

则有NBEF=NB,

ABWCD,

EFWCD,

ZFED=ND,

・•.NBED=NBEF+NFED=N8+ND；

故答案为：Z8；EF；CD；ZD；

(2)①如图1,过点E作EFIIAB,有NBEF=NEBA.

图1

---4611CD,

EFWCD.

：.ZFED=NEDC.

：.ZBEF+NFED=ZEBA+乙EDC.

即NBED=NE8A+NEDC,

「BE平分NA8C,DE平分NADC,

ZEBA=gNABC=30°,ZEOC=gNADC=35°,

ZBED=4EBA+NEDC=65°.

答：N8E。的度数为65。；

②如图2,过点E作EFWAB,有NBEF+N£8-4=180".

4811CD,

EFWCD.

：.ZFED=NEDC.

：.ZBEF+NFED=180°-ZEBA+Z.EDC.

即NBED=180。-ZEBA+NEDC,

BE平分NABC,DE平分NADC,

1111

ZEBA=-Z.ABC=-a,zEDC=^-ADC=~/3n,

：.ZBED=180。-ZEBA+4EDC=180°--«+-/7.

22

答：N8ED的度数为180。-

22

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

10.(1)80°；(2)ZAKC=ZAPC,理由见解析；(3)NAKC=NAPC,理由

见解析

【分析】

(1)先过P作PEIIAB,根据平行线的性质即可得到NAPE=ZBAP,ZCPE=

NDCP,再根据N

解析：(1)80。；(2)NAPC,理由见解析；(3)NAKC=gNAPC,理由见解

析

【分析】

(1)先过P作PEIIAB,根据平行线的性质即可得到NAPE=NBAP,4CPE=4DCP,再根

据NAPC=NAPE+NCPE=N8AP+NDCP进行计算即可；

(2)过K作KEIIAB,根据KEIIABIICD,可得NAKE=NBAK,ZCKE=NDCK,进而得到

ZAKC=NAKE+NCKE=4BAK+NDCK,同理可得，ZAPC=NBAP+NDCP,再根据角平分线

的定义，得出NBAK+NDCK=ZBAP+；NDCP=；(ZBAP+NDCP)=；NAPC,进而得

到NAKC=gNAPC；

(3)过K作KEIIA8,根据KEIIABIICD,可得N8AK=NAKE,2DCK=ZCKE,进而得到

ZAKC=NBAK-ZDCK,同理可得，ZAPC=NBAP-ZDCP,再根据已知得出NBAK-

2222

ZDCK=-ZBAP--ZDCP=一ZAPC,进而得到NBAK-ZDCK=一ZAPC.

【详解】

(1)如图1,过P作PEIIAB,

4811CD,

PEII4811CD,

/.ZAPE=NBAP,ZCPE=NDCP,

/.ZAPC=NAPE+NCPE=NBAP+NDCP=60°+20°=80°；

(2)ZAKC=yZAPC.

理由：如图2,过K作KEIIAB,

,/ABWCD,

/.KEII4811CD,

/.ZAKE=NBAK,ZCKE=NDCK,

ZAKC=NAKE+NCKE=Z.BAK+NDCK,

过P作PFIIAB,

同理可得，ZAPC=£BAP+NDCP,

■••ZBAP与NDCP的角平分线相交于点K,

：.ZBAK+4DCK=4ZBAP+±NDCP=g(ZBAP+ZDCP)=gNAPC,

2222

：.ZAKC^ZAPCi

2

(3)ZAKC=-ZAPC

3

理由：如图3,过K作KEIIA8,

■：AB\\CD,

KEWABIICD,

：.ZBAK=NAKE,ZDCK=Z.CKE,

：.ZAKC=ZAKE-ZC/CE=ZBAK-ZDCK,

过P作PFIIAB,

同理可得，NAPC=4BAP-NDCP,

22

ZBAK=-Z.BAP,NDCK=—NDCP,

33

2222

：.4BAK-4DCK=-NBAP--ZDCP=-(.Z.BAP-Z.DCP)=-ZAPC,

3333

2

ZAKC=-ZAPC.

3

【点睛】

本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计

算.

三、解答题

11.（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；.

【分析】

（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明；

（2）先证明，再证明，得到，问题得证；

（3）根据题意得到，根据（2）结论得到ND

解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；2a.

【分析】

（1）过点C作CG//DF,得至UZDFE=ZFCG,再根据ZBCF=90°,

ZABC+NDFE=90°,得至NABC=NBCG,进而得到CG//A8,最后证明。尸/A45；

(2)先证明NACB+NOE〃=90。，再证明NACB+NACE=90。，得到4>£/=:ZACE,问

题得证；

(3)根据题意得到NOFE=N£)EF=a,根据(2)结论得到NDEF:NECA二。,进而得到

ZABC=ZACB=90°-a,根据三角形内角和即可求解.

【详解】

解：(1)过点C作CG//DF,

:.ZDFE=ZFCG,

BCLMN,

:.ZBCF=90°,

・,.NBCG+/FCG=90。,

・•.ZBCG+ZDFE=90°,

ZABC+ZDFE=90°f

.・.ZABC=/BCG,

:.CGHAB,

:.DFHAB；

(2)解：ZABC=ZACB,ZDEF=/DFE,

又ZABC+ZDFE=90°,

AZACB+ZDEF=90°,

BCA.MN,

・♦.4cM=90。，

:.ZACB+ZACE=90°,

NDEF=ZACE,

DE//AC；

(3)如图三角形。EF即为所求作三角形.

•・,/DFE=a,

・•./DFE=/DEF=a,

由(2)得，DEIIAC.

ZDEF"ECA=a,

•・•ZACB+ZACE=90°f

：.ZACB=90°-a9

：.ZABC=ZACB=9(r-a,

..・Z^=180°-ZABC-ZACB=2a.

故答案为为：2c.

【点睛】

本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根

据题意画出图形是解题关键.

12.(1)；(2)①或；②秒或或秒

【分析】

(1)通过延长作辅助线，根据平行线的性质，得到，再根据外角的性质可计算

得到结果；

(2)①当时，分两种情况，I当在和之间，II当在和之间，由，计算出的运

动时间

解析：⑴30°；(2)①警或吟②号秒或言或整秒

【分析】

(1)通过延长PG作辅助线，根据平行线的性质，得到NPGE=90。，再根据外角的性质

可计算得到结果；

(2)①当NMEP=20。时，分两种情况，I当ME在A£和叱之间，I［当用E在b和£8

之间，由NMEP=20。，计算出EM的运动时间/,根据运动时间可计算出NEPN,由己知

NFPE=120。可计算出ZEPN的度数；

②根据题意可知，当EM//PN时,分三种情况，

I射线PN由尸尸逆时针转动，EM//PN,根据题意可知ZA£M=15f。，NFPN=岫。,再平

行线的性质可得ZA£M=ZW,再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结

论；

II射线PN垂直AB时，再顺时针向尸尸运动时，EM//PN,根据题意可知，ZAEM=\5t°,

ME//PN,NGHP=15t°,可计算射线PN的转动度数180。+90。-15『，再根据PN转动可列

等量关系，即可求出答案；

in射线PN垂直45时，再顺时针向尸尸运动时，EM///W,根据题意可知，ZAEM=15r°,

9

ZGPN=4(Kt-^)°,根据(1)中结论，NPEG=30°,ZPGE=60,可计算出与

N&W代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论.

【详解】

解：(1)延长灯与48相交于点G,

如图1,

PFS.CD,

:.NPFD=NPGE=90。,

ZEPF=NPGE+ZAEP,

ZAEP=NEPF-NPGE=120°-90°=30°；

（2）①I如图2,

ZAEP=30°,ZMEP=20°,

/.ZA£M=10°,

in7

射线近运动的时间，（秒），

；・射线PN旋转的角度47W=|x4Qo=竽

又ZEPF=120°,

QAO2X0。

:.NEPN=Z.EPF-4EPN=120°--=-；

33

口如图3所示，

ZAEP=30。，ZMEP=20°,

/.ZA£M=50°,

・,・射线运动的时间，=泮5（秒），

・二射线PN旋转的角度/尸取=与、40。=等

又ZEPF=120°,

400040°

NEPN=4FPN-NEPF=—-120°=—；

33

D

图3

②I当PN由Pb运动如图4时期//m,

尸N与A8相交于点H,

根据题意可知，经过1秒，

NA£M=15严，NFPN=40t。,

EM//PN,

.\ZAEM=ZAHP=15t0,

又ZFPN=ZPGH+ZPHA,

.•.40/。=90。+15/。，

1Q

解得（秒）：

II当PN运动到PG,再由PG运动到如图5时EM//PN,

PN与AB相交于点H,

根据题意可知，经过f秒，

ZAEM=\5t°,

.EM//PN,

Z.GHP=15产，Z.GPH=90°-15f°,

PN运动的度数可得，18（F+NGPH=40r。，

图5

DI当PN由PG运动如图6时，EMHPN,

根据题意可知，经过f秒，

NAEM=15f°,NG/W=40f-180°,

ZAEP=30°,NEPG=60°,

.-.ZP£M=15/°-30°,Z£PN=240°-40/,

又EM//PN,

:.ZPEM+ZEPN=\80P,

.-.15/°-30°+40/-240°=180°,

90

解得，=君(秒)，

Io54on

当f的值为三秒或言或/秒时，EM//PN.

图6

【点睛】

本题主要考查平行线性质，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关

键.

13.(1)Z