高考数学一轮复习专题讲座3数列在高考中的常见题型与求解策略知能训练轻松闯关文北师大版

PAGE专题讲座三数列在高考中的常见题型与求解策略1．(2016·辽宁省五校联考)抛物线x2＝eq\f(1,2)y在第一象限内图像上一点(ai，2aeq\o\al(2,i))处的切线与x轴交点的横坐标记为ai＋1，其中i∈N*，若a2＝32，则a2＋a4＋a6等于()A．64 B．42C．32 D．21解析：选B.令y＝f(x)＝2x2，则切线斜率k＝f′(ai)＝4ai，切线方程为y－2aeq\o\al(2,i)＝4ai(x－ai)，令y＝0得x＝ai＋1＝eq\f(1,2)ai，由a2＝32得：a4＝8，a6＝2，所以a2＋a4＋a6＝42.2．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，A．d<0 B．d>0C．a1d<0 D．a1d>0解析：选C.设bn＝2a1an，则bn＋1＝2a1an＋1，由于{2a1an}是递减数列，则bn>bn＋1，即2a1an>2a1an＋1.因为y＝2x是单调增函数，所以a1an>a1an＋1，所以a1an－a1(an＋d)>0，所以a1(an－an－d)>0，即a1(－d)>0，3．在等比数列{an}中，若an>0，且a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．解析：由等比数列性质得，a1a2…a7a8＝(a4a5)4＝16，又an>0，所以a4a5＝2.再由基本不等式，得a4＋a5≥2eq\r(a4a5)＝2eq\r(2).所以a4＋a5的最小值为2eq\r(2).答案：2eq\r(2)4．(2016·南昌调研测试卷)一牧羊人赶着一群羊通过6个关口，每过1个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则牧羊人在过第1个关口前有________只羊．解析：记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、…、通过第6个关口前，剩下的羊的只数组成数列{an}(n＝1，2，3，4，5，6)，则由题意得a2＝eq\f(1,2)a1＋1，a3＝eq\f(1,2)a2＋1，…，a6＝eq\f(1,2)a5＋1，而eq\f(1,2)a6＋1＝2，解得a6＝2，因此代入得a5＝2，a4＝2，…，a1＝2.答案：25．(2016·南昌调研测试卷)设数列{an}的前n项和为Sn，4Sn＝aeq\o\al(2,n)＋2an－3，且a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，当n≥5时，an>0.(1)求证：当n≥5时，{an}成等差数列；(2)求{an}的前n项和Sn.解：(1)证明：由4Sn＝aeq\o\al(2,n)＋2an－3，4Sn＋1＝aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1－3，得4an＋1＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＋2an＋1－2an，即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.因为当n≥5时，an>0，所以an＋1－an＝2，所以当n≥5时，{an}成等差数列．(2)由4a1＝aeq\o\al(2,1)＋2a1－3，得a1＝3或a1＝－1，又a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，所以an＋1＋an＝0(n≤5)，q＝－1，而a5>0，所以a1>0，从而a1＝3，所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3（－1）n－1，1≤n≤4，,2n－7，n≥5，))所以Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)[1－（－1）n]，1≤n≤4，,n2－6n＋8，n≥5.))6．(2015·高考山东卷)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an·an＋1)))的前n项和为eq\f(n,2n＋1).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设数列{an}的公差为d，令n＝1，得eq\f(1,a1a2)＝eq\f(1,3)，所以a1a2令n＝2，得eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＝eq\f(2,5)，所以a2a3由①②解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.经检验，符合题意．(2)由(1)知bn＝2n·22n－1＝n·4n，所以Tn＝1·41＋2·42＋…＋n·4n，所以4Tn＝1·42＋2·43＋…＋n·4n＋1，两式相减，得－3Tn＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝eq\f(4（1－4n）,1－4)－n·4n＋1＝eq\f(1－3n,3)×4n＋1－eq\f(4,3)，所以Tn＝eq\f(3n－1,9)×4n＋1＋eq\f(4,9)＝eq\f(4＋（3n－1）4n＋1,9).1．(2015·高考广东卷节选)数列{an}满足：a1＋2a2＋…＋nan＝4－eq\f(n＋2,2n－1)，n∈N*.(1)求a3的值；(2)求数列{an}的前n项和Tn.解：(1)令n＝1⇒a1＝1；令n＝2⇒a1＋2a2＝2⇒a2＝eq\f(1,2)；令n＝3⇒a1＋2a2＋3a3＝4－eq\f(5,4)⇒a3＝eq\f(1,4).(2)当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝4－eq\f(n＋1,2n－2)，①a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＋nan＝4－eq\f(n＋2,2n－1).②②－①，得nan＝eq\f(n＋1,2n－2)－eq\f(n＋2,2n－1)＝eq\f(n,2n－1)，所以an＝eq\f(1,2n－1).又因为当n＝1时，a1＝1也适合an＝eq\f(1,2n－1)，所以an＝eq\f(1,2n－1)(n∈N*)，易证数列{an}是等比数列，首项a1＝1，公比q＝eq\f(1,2).所以数列{an}的前n项和Tn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝2－eq\f(1,2n－1).2．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，北京市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；(2)若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值．解：(1)设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量．依题意，得{an}是首项为128，公比为1＋50%＝eq\f(3,2)的等比数列，{bn}是首项为400，公差为a的等差数列．所以{an}的前n项和Sn＝eq\f(128×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n))),1－\f(3,2))＝256eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n)－1))，{bn}的前n项和Tn＝400n＋eq\f(n（n－1）,2)a.所以经过n年，该市被更换的公交车总数为S(n)＝Sn＋Tn＝256eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n)－1))＋400n＋eq\f(n（n－1）,2)a.(2)若计划7年内完成全部更换，则S(7)≥1