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PAGE第8讲函数的图象1.(2016·大同一模)函数y=x-xeq\s\up6(\f(1,3))的图像大致为()解析:选A.由题意知函数为奇函数,图像关于原点对称,所以排除C、D;当x=1时,y=0,当x=8时,y=8-eq\r(3,8)=8-2=6>0,排除B,故选A.2.在同一平面直角坐标系中,函数y=g(x)的图像与y=ex的图像关于直线y=x对称.而函数y=f(x)的图像与y=g(x)的图像关于y轴对称,若f(m)=-1,则m的值是()A.-e B.-eq\f(1,e)C.e D.eq\f(1,e)解析:选B.由题意知g(x)=lnx,则f(x)=ln(-x),若f(m)=-1,则ln(-m)=-1,解得m=-eq\f(1,e).3.(2016·江西省五校联考)已知函数f(x)=x2-eq\f(ln|x|,x),则函数y=f(x)的大致图像为()解析:选A.由f(-x)=x2+eq\f(ln|x|,x)≠-f(x)可知函数f(x)不是奇函数,排除B、C,当x∈(0,1)时,f(x)=x2-eq\f(lnx,x),因为当x∈(0,1)时,y=lnx<0,则f(x)>0,排除D,故选A.4.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)解析:选C.将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2-2x,x≥0,,-x2-2x,x<0,))画出函数f(x)的图像,如图,观察图像可知,函数f(x)的图像关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上递减.5.(2016·唐山高三月考)为了得到函数y=log2eq\r(x-1)的图像,可将函数y=log2x的图像上所有的点()A.纵坐标缩短到原来的eq\f(1,2),横坐标不变,再向右平移1个单位B.横坐标缩短到原来的eq\f(1,2),纵坐标不变,再向左平移1个单位C.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移1个单位D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,再向右平移1个单位解析:选A.y=log2eq\r(x-1)=log2(x-1)eq\s\up6(\f(1,2))=eq\f(1,2)log2(x-1),由y=log2x的图像纵坐标缩短到原来的eq\f(1,2),横坐标不变,可得y=eq\f(1,2)log2x的图像,再向右平移1个单位,可得y=eq\f(1,2)log2(x-1)的图像,也即y=log2eq\r(x-1)的图像.6.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是()A.(-1,0) B.[-1,0)C.(-2,0) D.[-2,0)解析:选A.在同一坐标系内作出y=log2(-x),y=x+1的图像,知满足条件的x∈(-1,0),故选A.7.如图,函数f(x)的图像是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f(3))))的值等于________.解析:由图像知f(3)=1,所以eq\f(1,f(3))=1.所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f(3))))=f(1)=2.答案:28.若函数y=f(x+3)的图像经过点P(1,4),则函数y=f(x)的图像必经过点________.解析:法一:函数y=f(x)的图像是由y=f(x+3)的图像向右平移3个单位长度而得到的.故y=f(x)的图像经过点(4,4).法二:由题意得f(4)=4成立,故函数y=f(x)的图像必经过点(4,4).答案:(4,4)9.已知图(1)中的图像对应的函数为y=f(x),则图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中,可能是________(填序号).①y=f(|x|);②y=|f(x)|;③y=-f(|x|);④y=f(-|x|).解析:由题图(1)和题图(2)的关系可知,题图(2)是由题图(1)在y轴左侧的部分(含原点)及其关于y轴对称的图形构成的,故④正确.答案:④10.设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是________.解析:如图,作出函数f(x)=|x+a|与g(x)=x-1的图像,观察图像可知:当且仅当-a≤1,即a≥-1时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,因此a的取值范围是[-1,+∞).答案:[-1,+∞)11.已知函数f(x)=eq\f(x,1+x).(1)画出f(x)的草图;(2)指出f(x)的单调区间.解:(1)f(x)=eq\f(x,1+x)=1-eq\f(1,x+1),函数f(x)的图像是由反比例函数y=-eq\f(1,x)的图像向左平移1个单位后,再向上平移1个单位得到的,图像如图所示.(2)由图像可以看出,函数f(x)有两个增区间:(-∞,-1),(-1,+∞).1.函数f(x)的图像如图所示,若函数y=2f(x-1)-c与x轴有四个不同交点,则c的取值范围是()A.(-1,2.5) B.(-1,5)C.(-2,2.5) D.(-2,5)解析:选D.函数y=2f(x-1)-c与x轴有四个不同交点,即方程2f(x-1)-c=0有四个不同的解,即y=f(x-1)与y=eq\f(1,2)c有四个不同的交点.因为函数y=f(x-1)与函数y=f(x)上下分布相同,所以可以把问题转化为c取何值时,曲线y=f(x)与y=eq\f(1,2)c有四个不同的交点,结合图形可知c∈(-2,5).2.已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.(1)求实数m的值;(2)作出函数f(x)的图像;(3)根据图像指出f(x)的递减区间;(4)根据图像写出不等式f(x)>0的解集;(5)求当x∈[1,5)时函数的值域.解:(1)因为f(4)=0,所以4|m-4|=0,即m=4.(2)由(1)得f(x)=x|4-x|=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x(x-4)=(x-2)2-4,x≥4,,-x(x-4)=-(x-2)2+4,x<4.))f(x)的图像如图所示.(3)f(x)的递减区间是[2,4].(4)由图像可知,f(x)>0的解集为{x|0<x<4或x>4}.(5)因为f(5)=5>4,所以由图像知,函数在[1,5)上的值域为[0,5).3.(1)已知函数y=f(x)的定义域为R,且当x∈R时,f(m+x)=f(m-x)恒成立,求证:y=f(x)的图像关于直线x=m对称;(2)若函数f(x)=log2|ax-1|的图像的对称轴是x=2,求非零实数a的值.解:(1)证明:设P(x0,y0)是y=f(x)图像上任意一点,则y0=f(x0).设P点关于x=m的对称点为P′,则P′的坐标为(2m-x0,y0由已知f(x+m)=f(m-x),得f(2m-x0)=f[m+(m-x0)]=f[m-(m-x
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