高中数学 章末质量评估（二） 湘教版选修1-2

章末质量评估(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等式有下列运算性质：(1)加法法则：a＝b⇒a＋c＝b＋c；(2)减法法则：a＝b⇒a－c＝b－c；(3)乘法法则：a＝b⇒ac＝bc，a＝b⇒an＝bn；(4)除法法则：a＝b⇒eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)(c≠0)；由此可得不等式的运算性质：(1)加法法则：a＞b⇒a＋c＞b＋c；(2)减法法则：a＞b⇒a－c＞b－c；(3)乘法法则：a＞b⇒ac＞bc(c＞0)；(4)除法法则：a＞b⇒eq\f(a,c)＞eq\f(b,c)(c＞0)．以上推理方式属于 ()．A．归纳推理 B．类比推理C．演绎推理 D．不完全归纳解析等式与不等式有不少相似的属性，由等式的运算性质推导出不等式的运算性质，这种推理方式符合类比推理的定义及形式，故选B.答案B2．下列推理是归纳推理的是 ()．A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得PB．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．答案B3．三段论推理的规则为 ()．A．如果p⇒q，p真，则q真 B．如果b⇒c，a⇒b，则a⇒cC．如果a∥b，b∥c，则a∥c D．如果a≥b，b≥c，则a≥c答案B4．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是 ()．A．有一个解 B．有两个解C．至少有三个解 D．至少有两个解解析“至多有两个解”包括“无解，有一个解，有两个解”的所有可能，其对立面为至少有三个解．答案C5．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}；第2组含二个数{3,5}；第3组含三个数{7,9,11}；…，试观察每组内各数之和与其组的编号数n的关系为 ()．A．等于n2 B．等于n3C．等于n4 D．等于n(n＋1)解析依题意，设各组的第一个数为an，{an}：1,3,7,13,21，…，∵an＋1－an＝2n(n∈N＋)，∴a2－a1＝2，a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)．∴an－a1＝2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)∴an＝a1＋n(n－1)＝n2－n＋1.即第n组的第一个数为n2－n＋1，由等差数列求和公式，得第n组各数之和为n·(n2－n＋1)＋eq\f(nn－1,2)×2＝n3.故选B.或每组内各数之和依次为：1,8,27,64，…，即为13,23,33,43，…，猜想第n组的各数之和为n3.答案B6．已知函数f(x)满足f(a＋b)＝f(a)f(b)，f(1)＝3，则eq\f(f21＋f2,f1)＋eq\f(f22＋f4,f3)＋eq\f(f23＋f6,f5)＋eq\f(f24＋f8,f7)＝ ()．A．2 B．4C．12 D．24解析由f(a＋b)＝f(a)f(b)，令a＝b＝n，得f2(n)＝f(2n)，f(2)＝f2(1)故原式＝eq\f(2f21,f1)＋eq\f(2f4,f3)＋eq\f(2f6,f5)＋eq\f(2f8,f7)＝2f(1)＋eq\f(2f1f3,f3)＋eq\f(2f1f5,f5)＋eq\f(2f1f7,f7)＝8f答案D7．若a＞b＞c，n∈N＋，且eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(n,a－c)恒成立，则n的最大值为()．A．2 B．3C．4 D．5解析eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＝eq\f(b－c＋a－b,a－bb－c)＝eq\f(a－c,a－bb－c)≥eq\f(a－c,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b＋b－c,2)))2)＝eq\f(4,a－c).所以nmax＝4.或者(a－c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝[(a－b)＋(b－c)]·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))≥2eq\r(a－bb－c)·2eq\r(\f(1,a－bb－c))＝4.答案C8．设等边三角形的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB、BC、CA的距离分别为d1、d2、d3，则有d1＋d2＋d3为定值eq\f(\r(3),2)a，由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内任意一点，即到四个面ABC，ABD，ACD，BCD的距离分别为d1、d2、d3、d4，则有d1＋d2＋d3＋d4为定值 ()．A.eq\f(\r(3),2)a B.eq\f(3,4)aC.eq\f(\r(b),3)a D.eq\f(2,3)a解析等边△ABC中，d1＋d2＋d3＝eq\f(\r(3),2)a，eq\f(\r(3),2)a为△ABC的高，类比正四面体中，d1＋d2＋d3＋d4边应为正四面体的高eq\f(\r(6),3)a.答案C9．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于 ()．A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1) B．feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))C．n(n＋1) D．n(n＋1)f(1)解析由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(1)＝2知，f(2)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，f(3)＝f(2)＋f＝3f(1)，…，f(n)＝nf∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝f(1)＋2f(1)＋…＋nf＝eq\f(nn＋1,2)×2＝n(n＋1)．或f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝f(1＋2＋3＋…＋n)＝feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2))).答案D10．已知a＞b＞0，且ab＝1，若0＜c＜1，p＝logceq\f(a2＋b2,2)，q＝logceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(a)＋\r(b))))2，则p，q的大小关系是 ()．A．p＞q B．p＜qC．p＝q D．p≥q解析∵eq\f(a2＋b2,2)＞ab＝1，∴p＝logceq\f(a2＋b2,2)＜0，又q＝logceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(a)＋\r(b))))2＝logceq\f(1,a＋b＋2\r(ab))＞logceq\f(1,4\r(ab))＝logceq\f(1,4)＞0，∴q＞p.答案B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中横线上)11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比数列．解析等差数列与等比数列的类比特点是“运算升级”，即和(差)对应积(商)，结论中有eq\f(T16,T12)，类比结果也就出来了．等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比数列．答案eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)12．设A是整数集的一个非空子集．对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有__________个．解析设A＝{l，m，n}是集合S的3个元素构成的不含“孤立元”的集合，则由“孤立元”的定义可知，l，m，n是三个连续整数．“孤立元”的定义，大前提给定A＝{1,2,3}，小前提所以集合A不含“孤立元”，结论同理可得不含“孤立元”的集合还有{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}．故不含“孤立元”的集合共有6个．答案613．设实数a＞2，p＝a＋eq\f(1,a－2)，q＝24a－a2－2，则p与q的大小关系是________．解析直接作差或作商均不易，可先求出p、q的取值范围．∵p＝a＋eq\f(1,a－2)＝a－2＋eq\f(1,a－2)＋2≥2eq\r(a－2×\f(1,a－2))＋2＝4，当且仅当a－2＝eq\f(1,a－2)，即a＝3时，“＝”号成立．∴p∈[4，＋∞)．又t＝4a－a2－2＝－(a－2)2∴q＝2t≤22＝4，当且仅当a＝2时，q＝4，即q∈(0,4)，∴p＞q.答案p＞q14．在等差数列{an}中，(n＜29，n∈N＋)，若a20＝0，则有a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a39－n成立．类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b20＝1，则存在等式________．答案b1·b2…bn＝b1·b2…b39－n15．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr，①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：____________________________________________________，②②式可用语言叙述为_________________________________________．解析由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，V(R)＝eq\f(4,3)πR3，S(r)＝4πR2.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πR3))′＝4πR2球的体积函数的导数等于球的表面积函数三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分13分)设函数f(x)对定义域内任意实数x都有f(x)≠0，f(x＋y)＝f(x)·f(y)成立．求证：对定义域内任意x都有f(x)>0.证明设f(x)定义域为A，假设存在x0∈A，使f(x0)<0，由题设条件知f(x0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)＋\f(x0,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)))＝f2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)))>0这与假设相矛盾．∴假设不成立∴对于任意x∈A，都有f(x)>0.17．(本小题满分13分)设F1、F2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C上的点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点K是(1)中所求得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；解(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a又点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在椭圆上，因此eq\f(1,22)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2,b2)＝1，b2＝3.所以c2＝a2－b2＝1.所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，焦点F1(－1,0)，F2(1,0)．(2)设椭圆C上的动点为K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)满足：x＝eq\f(－1＋x1,2)，y＝eq\f(y1,2)，所以x1＝2x＋1，y1＝2y.所以eq\f(2x＋12,4)＋eq\f(2y2,3)＝1.即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(4y2,3)＝1为所求的轨迹方程．18．(本小题满分13分)已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n＝1，2，…)，试归纳出这个数列的通项公式，并证明．解当n＝1时，a2＝eq\f(a1,1＋a1)＝eq\f(1,2)；当n＝2时，a3＝eq\f(a2,1＋a2)＝eq\f(\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)，同理a4＝eq\f(1,4).观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想an＝eq\f(1,n)(n＝1,2，…)．证明如下．∵an＋1＝eq\f(an,1＋an)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1＋an,an)＝eq\f(1,an)＋1，∴eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝1.∴{eq\f(1,an)}是以eq\f(1,a1)＝1为首项，公差d＝1的等差数列，∴eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)d＝1＋n－1＝n，∴an＝eq\f(1,n)(n∈N＋)．19．(本小题满分12分)设数列{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．证明设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q.假设{cn}是等比数列，则ceq\o\al(2,2)＝c1·c3，又因c2＝a1p＋b1q，c1＝a1＋b1，c3＝a1p2＋b1q2，所以(a1p＋b1q)2＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)，所以aeq\o\al(2,1)p2＋beq\o\al(2,1)q2＋2a1b1pq＝aeq\o\al(2,1)p2＋a1b1q2＋a1b1p2＋beq\o\al(2,1)q2，所以2a1b1pq＝a1b1q2＋a1b1p2，所以(p－q)2＝0，即p＝q，这与已知条件p≠q矛盾，故假设不成立，所以ceq\o\al(2,2)≠c1·c3，即{cn}不是等比数列．20．(本小题满分12分)设a＞0，b＞0,2c＞a＋b(1)c2＞ab；(2)c－eq\r(c2－ab)＜a＜c＋