8.3.2二项式系数的性质（解析版）

8.3.2二项式系数的性质同步练习基础巩固基础巩固一、单选题1．若x-16=a0+A．64 B．33 C．32 D．31【答案】D【分析】给x分别赋值0，1【详解】因为x-16所以令x=0可得a0=1令x=1可得a0+令x=-1可得a0-②+③可得a0+将①代入④可得a2故选：D2．若(1+x)9=a0+A．1 B．513 C．512 D．511【答案】D【分析】利用赋值法，先令x=0，求出a0，再令x=1，求出a0【详解】令x=0，得a0=1，令x=1，得所以a1故选：D3．若x-32x+18=aA．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【分析】令x=1得出a0+a1【详解】由题意，x-32令x=1,可得a0∴log2故选：C.4．已如1+xn的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为（

A．29 B．210 C．211【答案】B【分析】根据二项式系数的单调性可得n=10，即可由二项式系数和公式求解.【详解】1+xn的展开式中第6项的二项式系数为Cn5，由于只有Cn5故选：B5．2x-xn展开式中的各二项式系数之和为1024，则nA．10 B．9 C．8 D．7【答案】A【分析】利用二项式的系数和可得出关于n的等式，解之即可.【详解】2x-xn展开式中的各二项式系数之和为2故选：A.6．(1+x)12展开式中，系数最大的项是（

A．第5，6项 B．第6，7项 C．第6项 D．第7项【答案】D【分析】利用二项式定理以及二项式系数的性质进行求解判断.【详解】因为(1+x)12的展开式的通项为Tk+1=所以(1+x)12根据二项式系数的性质有，第7项的二项式系数最大，故A，B，C错误.故选：D.7．已知二项式2x-1n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】分析可知，二项式2x-1n的展开式共7项，即可求出n的值【详解】因为二项式2x-1n的展开式中仅有第4则二项式2x-1n的展开式共7项，即n+1=7，解得n=6故选：A.8．(a+b)8的展开式中，二项式系数最大的是（

A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【答案】C【分析】根据二项展开式的二项式系数的性质，即可求解.【详解】由二项式(a+b)8，可得其展开式共有9根据二项式系数的性质，可得中间项第5项的二项式系数最大.故选：C.9．(1-x)20的二项展开式中，xA．190 B．380C．-190 D．0【答案】D【分析】根据二项展开式的通项公式求解.【详解】展开式通项公式为Tr+1分别令r=2,18，可得T所以x的系数与x9的系数之差为0故选：D10．在2x+1x3的展开式中，xA．3 B．6 C．9 D．12【答案】D【分析】写出每一项的表达式，即可得出x的系数.【详解】由题意，在2x+1x3当3-2k=1即k=1时，C3故选：D.二、填空题11．若(2x-1)4=a4x4+【答案】1；41.【分析】利用赋值法可求得a0，a【详解】令x=0，则a令x=1，则a4令x=-1故a4故答案为：1；4112．若2x-14=a4【答案】1【分析】令x=1代入即可求解.【详解】因为2x-14令x=1可得a0故答案为：113．x-3n展开式的二项式系数之和是256，则n=【答案】8【分析】根据二项式(a+b)n展开式的二项式系数之和等于2n【详解】因x-3n展开式的二项式系数之和为Cn0故答案为：8.14．（1）已知3x-1n的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，则n=（2）Cn19-n【答案】521【分析】（1）根据二项展开式系数的公式代入计算即可；（2）根据组合数的性质与运算公式进行计算即可.【详解】（1）根据二项式定理可知，Cn1=（2）根据组合数性质可知，19-n≤nn≤21-n解得9.5≤n≤10.5，又因为n∈N*，所以所以Cn故答案为：5；2115．3x-1x4展开式中常数项为【答案】54【分析】根据3x-12【详解】3x-124令4-2k=0，得k=2，所以3x-124故答案为：54.三、解答题16．设(3x-1)6=a【答案】64【分析】利用赋值法，令x=1，代入等式中可求得结果.【详解】因为(3x-1)6所以令x=1，则a617．已知(1-x)6（1）求a1（2）求a2（3）求a4【答案】（1）0；（2）-1；（3）-5．【分析】（1）由于(1-x)6(1+x)6（2）令x=1，可得a0+a1+a2（3）由于(1-x【详解】解：(1)因为(1-x)6所以a1所以a(2)令x=1，得a0令x=0，得a又a1所以a2(3)由题可知，(1-a4所以a418．（1）求方程中x的值（其中x∈N*）：（2）已知1-2x7=a0【答案】（1）x=8；（2）-2【分析】（1）由排列组合数公式列方程求解即可；（2）赋值法求得a0=1、a【详解】（1）因为3C2x3=5Ax3（2）令x=0，则a0=1；令x=1，得所以a119．求(x-12x【答案】-【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后根据常数项x次数为零求出待定系数r，再代回到通项公式中求出常数项.【详解】设二项展开式中的常数项为第r+1项，即Tr+1根据题意，得6-2r=0，r=3.因此，二项展开式中的常数项为T4【点睛】方法点睛：（1）求二项展开式的特定项的常见题型①求第r项；②求含xr的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项.（2）求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.能力进阶能力进阶20．在二项式2x-3y9(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；【答案】(1)512(2)-1【分析】（1）利用展开式的二项式系数和可求得结果；（2）令x=y=1可求得展开式各项系数之和.【详解】（1）解：由题意可知，展开式的二项式系数之和为29（2）解：由题意可知，展开式的各项系数之和为2-3921．在2x+1xnn∈N*的展开式中，第(1)求n的值；(2)求展开式中含1x【答案】(1)7(2)14【分析】（1）根据已知条件表示展开式第2项、第3项、第4项的二项式系数，再运用等差数列的相关性质求解即可；（2）写出展开式后代入r=6求解即可.【详