高中数学 4.2.1 复数的加法与减法同步练习 北师大版选修1-2

§2复数的四则运算2．1复数的加法与减法eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为 ()． A．1＋i B．2＋i C．3 D．－2－i 解析由z1＋z2＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋a＝0，,b＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1.))故选D. 答案D2．设向量eq\o(OP,\s\up12(→))、eq\o(PQ,\s\up12(→))、eq\o(OQ,\s\up12(→))对应的复数分别为z1，z2，z3，那么 ()． A．z1＋z2＋z3＝0 B．z1－z2－z3＝0 C．z1－z2＋z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0 解析∵eq\o(OP,\s\up12(→))＋eq\o(PQ,\s\up12(→))－eq\o(OQ,\s\up12(→))＝eq\o(OQ,\s\up12(→))－eq\o(OQ,\s\up12(→))＝0. ∴z1＋z2－z3＝0. 答案D3．在复平面内，O是原点，eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OC,\s\up12(→))，eq\o(AB,\s\up12(→))表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1 ＋5i，则eq\o(BC,\s\up12(→))表示的复数为 ()． A．2＋8i B．－6－6i C．4－4i D．－4＋2i 解析eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(OA,\s\up12(→)))＝(3,2)－(1,5)－(－2,1)＝(4，－4)． 答案C4．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝______. 解析∵z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)， 由|z|＝4得a2＋4＝16， ∴a2＝12，∴a＝±2eq\r(3)， ∴z＝±2eq\r(3)－2i. 答案±2eq\r(3)－2i5．若z1＝2－i，z2＝－eq\f(1,2)＋2i，z1、z2在复平面上所对应的点分别为Z1、Z2， 则这两点之间的距离为__________． 解析由复平面内两点间的距离公式可得． 答案eq\f(\r(61),2)6．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y，∈R)，设z ＝z1－z2且z＝13－2i，求z1，z2. 解z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y －2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i ＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，又z＝13－2i，且x，y∈R. ∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－3y＝13，,x＋4y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.)) ∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i， z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．向量eq\o(OZ1,\s\up12(→))对应的复数是5－4i，向量eq\o(OZ2,\s\up12(→))对应的复数是－5＋4i，则eq\o(OZ1,\s\up12(→))＋eq\o(OZ2,\s\up12(→))对应的复数是 ()． A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i 解析eq\o(OZ1,\s\up12(→))＋eq\o(OZ2,\s\up12(→))对应的复数是5－4i＋(－5＋4i)＝0. 答案C8．若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，\f(5,4)π))，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应 的点在 ()． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析cosθ＋sinθ＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，\f(5,4)π))，θ＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，eq\r(2) sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＜0，cosθ＋sinθ＜0， sinθ－cosθ＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))，θ－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)π，π))， eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＞0，sinθ－cosθ＞0. ∴复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在第二象 限． 答案B9．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，若z1－z 则m＝________. 解析z1－z2＝(m2－3m＋m2i)－[4＋(5 ＝(m2－3m－4)＋(m2－5 ∵z1－z2＝0， ∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m－4＝0，,m2－5m－6＝0，))∴m＝－1. 答案－110．已知f(z＋i)＝3z－2i(z∈C)，则f(i)＝______. 解析令z＝0，则f(z＋i)＝f(i)＝－2i. 答案－2i11．已知复数z1＝a2－3＋(a＋5)i，z2＝a－1＋(a2＋2a－1)i(a∈R 量eq\o(OZ1,\s\up12(→))，eq\o(OZ2,\s\up12(→))(O为原点)，若向量eq\o(Z1Z2,\s\up12(→))对应的复数为纯虚数，求a的值． 解eq\o(Z1Z2,\s\up12(→))对应的复数为z2－z1，则z2－z1＝a－1＋(a2＋2a－1)i－[a2－3＋ (a＋5)i]＝(a－a2＋2)＋(a2＋a－6)i.由题意得z2－z1是纯虚数，所以 eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－a2＋2＝0，,a2＋a－6≠0.)) 解得a＝－1.12．(创新拓展)已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x， y∈R)． (1)当方程有实根时，求动点(x，y)的轨迹方程； (2)若方程有实根，求方程的实根的取值范围． 解(1)设方程的一个实根为t0，则teq\o\al(2,0)＋(2＋i)t0＋2xy＋(x－y)i＝0，即(teq\o\al(2,0)＋ 2t0＋2xy)＋(t0＋x－y)i＝0，根据复数相等的充要条件得 eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t\o\al(2,0)＋2t0＋2xy＝0，①,t0＋x－y＝0.②))由②得t0＝y－x，代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy ＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2③，所以所求的点的轨迹方程