（高二数学高分突破）第三章《圆锥曲线》同步单元必刷卷（培优卷）（解析版）

（高二数学高分突破）第三章《圆锥曲线》同步单元必刷卷（培优卷）（解析版）（高二数学高分突破）第三章《圆锥曲线》同步单元必刷卷（培优卷）（解析版）/（高二数学高分突破）第三章《圆锥曲线》同步单元必刷卷（培优卷）（解析版）第三章《圆锥曲线》同步单元必刷卷(培优卷)一、单项选择题：本题共8小题,每小题满分5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,选对得5分,选错得0分．1．"”是"方程表示双曲线”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出方程表示双曲线时参数的取值范围,从而可判断两者之间的条件关系.【详解】因为方程表示双曲线,故,故,而为的真子集,故"”是"方程表示双曲线”的充分不必要条件,故选：A.2．已知定点,点为椭圆的右焦点,点M在椭圆上移动,求的最大值和最小值为(

)A．12, B．,C．12,8 D．9,【答案】C【分析】根据给定条件,利用椭圆的定义,结合线段和差的三角不等式列式求解即可.【详解】令椭圆的左焦点为,有,由椭圆定义知,

显然点在椭圆内,,直线交椭圆于,而,即,当且仅当点共线时取等号,当点与重合时,,则,当点与重合时,,则,所以的最大值和最小值为12,8.故选：C3．已知是抛物线：上一点,过的焦点的直线与交于两点,则的最小值为(

)A．24 B．28 C．30 D．32【答案】D【分析】求出抛物线方程后,设,不妨设,设直线的方程为,联立直线和抛物线方程消元后,利用韦达定理及抛物线的定义可得,利用基本不等式即可求出最小值.【详解】因为是抛物线上一点,所以,故,则抛物线方程为,设,不妨设,设直线的方程为,联立,所以,,则,当且仅当且时,等号成立,故的最小值为,故选：4．已知椭圆的上顶点为,两个焦点为,离心率为.过且垂直于的直线与交于两点,,则的周长是(

)A．11 B．12 C．13 D．14【答案】D【分析】由离心率为,得到a,b,c之间的关系,做出简图,分析可得直线的方程为：,且直线垂直平分,所以的周长等于的周长,等于,将直线方程与椭圆方程联立,利用弦长公式求出c,a的值.【详解】因为椭圆的离心率为,所以,,

如图,,所以为正三角形,又因为直线过且垂直于,所以,直线的方程为,设点坐标,点坐标,将直线方程与椭圆方程联立,得,显然,则,,所以,解得,,由图,直线垂直平分,所以的周长等于的周长,.故选：D.5．已知分别为双曲线的左、右焦点,点在上,,则双曲线的渐近线方程为(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件结合双曲线的定义可得,从而可求出双曲线的渐近线方程.【详解】依题,,则,根据双曲线的定义,又,得,所以,所以其渐近线方程为.故选：C6．抛物线上两点(不与重合),满足,则面积的最小值是(

)A．4 B．8 C．16 D．18【答案】C【分析】设直线为且,且,联立抛物线应用韦达定理求得,根据已知有,直线过定点,再由求最值.【详解】由题设,可设直线为且,且,联立,消去得,故,则,由,易知,则或(舍),故的方程为过定点(4,0),由上知：,则面积为,时等号成立.故选：C7．已知双曲线虚轴的一个顶点为D,分别是C的左,右焦点,直线与C交于A,B两点．若的重心在以为直径的圆上,则C的渐近线方程为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】不妨取,再求得两点的坐标为,从而求得重心的坐标为,进而得到,解得,由此得解.【详解】因为双曲线,则其虚轴上的顶点为,不妨取,联立,解得,则两点的坐标为,所以的重心的坐标为,即,因为△ABD的重心在以为直径的圆上,而为直径的圆的方程为,所以,解得,所以的渐近线方程为.故选：D.8．已知圆锥曲线统一定义为"平面内到定点F的距离与到定直线l的距离(F不在l上)的比值e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线的左焦点的直线l(斜率为正)交双曲线于A,B两点,满足．设M为AB的中点,则直线OM斜率的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得,然后利用点差法可得,进而可得,然后利用基本不等式即得.【详解】由题可知在左支上在右支上,如图,设,在左准线上的射影为,因为,则,所以,设,则,所以,,即,所以,所以,当且仅当即时,等号成立,故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据圆锥曲线的定义结合条件表示出,然后利用点差法得,根据基本不等式即得.多项选择题：本题共4小题,每小题满分5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分．9．椭圆的左、右焦点分别为,,过的直线l与C交于P,Q两点,且点Q在第四象限,若,则(

)A．为等腰直角三角形 B．C的离心率等于C．的面积等于 D．直线l的斜率为【答案】ABC【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知,且满足,即可得A正确;易知可得C正确;在等腰直角三角形中,可知直线的斜率为,计算可得的离心率等于.【详解】对于选项A：因为,不妨设,又因为,可得;利用椭圆定义可知,所以;即,所以点即为椭圆的上顶点或下顶点,如下图所示：

由,可知满足,所以,故A正确;对于选项B：在等腰直角三角形中,易知,即可得离心率,故B正确;对于选项C：因为为等腰直角三角形,且,因此的面积为,故C正确;此时可得直线的斜率,故D错误;故选：ABC.10．若双曲线：与双曲线关于直线对称,则双曲线的焦点坐标可能为(

)A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据点的轴对称性,可得答案.【详解】由题意得的焦点分别为,．设关于直线对称的点为,则,得,设关于直线对称的点为,则,得,故的焦点坐标分别为,．故选：AC11．设抛物线E：的焦点为F,点A,B是抛物线E上不同的两点,且,则(

)A．线段AB的中点到E的准线的距离为4B．直线AB过原点时,C．直线AB的倾斜角的取值范围为D．线段AB的垂直平分线过某一定点【答案】ABD【分析】先求出,可判断A与B,设直线的方程为,联立抛物线,结合韦达定理与判别式可判断C,化简的垂直平分线方程可判断D．【详解】由题意知焦点,准线为,设,由抛物线：,得,由抛物线的定义得,所以,所以线段AB的中点到E的准线的距离为,故A正确;直线AB过原点时,设,则,所以,,所以,故B正确;当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为,由得,所以,得,又,得,故或,故C错误;直线AB的斜率存在时,线段AB的中点的坐标为,所以线段AB的垂直平分线的方程为,又,所以得,直线过定点,当直线AB的斜率不存在时也成立,故D正确．故选：ABD．12．随着我国航天科技的快速发展,双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用,双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左,右焦点,过C右支上一点作直线l交x轴于,交y轴于点N,则(

)A．C的渐近线方程为B．过点作,垂足为H,则C．点N的坐标为D．四边形面积的最小值为【答案】ABD【分析】根据方程,可直接求出渐近线方程,即可判断A项;根据双曲线的光学性质可推得点为的中点.进而得出,结合双曲线的定义,即可判断B项;由已知可得,进而结合双曲线方程,即可得出点的坐标,即可判断C项;由,代入利用基本不等式即可求出面积的最小值,判断D项.【详解】对于A项,由已知可得,,所以双曲线的渐近线方程为,故A项正确;对于B项,如图,

,且满足,所以直线的方程为,联立化简得,由于,即为双曲线的切线.由双曲线的光学性质可知,平分,延长与的延长线交于点.则垂直平分,即点为的中点.又是的中点,所以,故B项正确;对于C项,设,则,整理可得.又,所以有,所以有,解得,所以点的坐标为,故C项错误;,当且仅当,即时,等号成立.所以,四边形面积的最小值为,故D项正确.故选：ABD填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点,是以为底边的等腰三角形,且,则该椭圆的离心率的取值范围是．【答案】【分析】利用余弦定理将角度的范围转化为关于椭圆离心率的不等式即可.【详解】因为是以为底边的等腰三角形,所以,所以,,,在中,由余弦定理得：,故,即,即,不等式,即,解得(舍去)或不等式,即所以.故答案为：14．已知双曲线的左､右焦点分别为,点在的左支上,,,延长交的右支于点,点为双曲线上任意一点(异于两点),则直线与的斜率之积.【答案】2【分析】先利用平面向量加法的法则和双曲线的性质求出和的边长,再分别利用余弦定理联立可得,最后根据斜率公式求解即可.【详解】依题意,设双曲线的半焦距为,则,因为是的中点,所以,故由得,又因为,所以,在中,,在中,,所以,解得,所以,所以双曲线方程为,则,设,,,所以,

故答案为：215．已知抛物线上三点,若直线AB,AC的斜率互为相反数,则直线BC的斜率为【答案】/-0.5【分析】先求得抛物线的方程,设出直线的方程,由此联立方程组,整理后可得直线的方程,从而求得直线的斜率.【详解】将代人,得,则抛物线方程为.设,联立,得.由于A,B,C三点的纵坐标为该方程的三个根,所以B,C两点纵坐标满足.又,所以.故直线BC的斜率为.故答案为：16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为,,过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P,Q,若,则C的离心率为．【答案】【分析】由,的平分线与直线PQ垂直,结合图像,根据双曲线的定义,找出各边的关系,列出等式,求解.【详解】依题意,由,得,即的平分线与直线PQ垂直,如图,设的平分线与直线PQ交于点D,则,,又,所以,所以,．由题得,,设,,,在中,,,则,,由双曲线的性质可得,解得,则,所以在中,,又,,所以,即,整理得,所以．故答案为：四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知椭圆的两焦点为,,为椭圆上一点,且.(1)求此椭圆的方程;(2)若点在第二象限,,求的面积.【答案】(1)(2)【分析】(1)由题意得,根据椭圆定义得到,然后求即可得到椭圆方程;(2)设点的坐标为,根据数量积的公式列方程,然后解方程得到,最后利用三角形面积公式计算即可.【详解】(1)设椭圆的标准方程为,焦距为,由题意可得,,,所以,则,所以椭圆的方程为.(2)设点的坐标为,,,则①,,,因为,所以②,由①②得,所以.18．已知双曲线的离心率为,右顶点到的一条渐近线的距离为.(1)求的方程;(2)是轴上两点,以为直径的圆过点,若直线与的另一个交点为,直线与的另一个交点为,试判断直线与圆的位置关系,并说明理由.【答案】(1)(2)直线与圆相交,理由见解析【分析】(1)由题意列出关于的方程,求解即可.(2)设,由点在圆上,得出,由的坐标,得出直线方程,将直线方程与双曲线方程联立,得点坐标,同理可得点坐标.从而得到直线方程,通过直线过定点,,从而得出点在圆内,故直线与圆相交.【详解】(1)因为的离心率为,所以,所以,渐近线方程,因为点到一条渐近线距离为,所以,解得,所以的方程为.(2)直线与圆相交,理由如下：设,则,因为点在以为直径的圆上,所以,所以,即,

由(1)得,直线方程为：与双曲线方程联立,消去得,,因为直线与都有除以外的公共点,所以,所以,即,同理当,.,所以直线方程为：,令得,,即直线经过定点.因为,所以点在圆内,故直线与圆相交.19．已知双曲线经过点,一条渐近线方程为,直线交双曲线于两点.(1)求双曲线的方程.(2)若过双曲线的右焦点,是否存在轴上的点,使得直线绕点无论怎样转动,都有成立?若存在,求实数的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)存在定点M,.【分析】(1)根据渐近线方程,求出a,b的关系,再将点的坐标代入双曲线方程,最后解出a,b即可.(2)考虑直线的斜率存在和不存在两种情况,当直线斜率存在时,设出直线的点斜式方程并代入双曲线方程并化简,进而根据根与系数的关系与得到答案.【详解】(1)双曲线的渐近线方程为,依题意,即,又,于是,所以双曲线的方程是．(2)双曲线的右焦点为,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为：,,由消去y得：,显然,设,,则,假设存在点符合条件,而,由,得,即,整理得,于是,整理得,依题意,对任意的恒成立,因此,解得,此时点M的坐标为,当直线l的斜率不存在时,直线与双曲线的二交点,不妨令,当点M的坐标为时,,所以存在定点M符合条件,．20．以坐标原点为对称中心,坐标轴为对称轴的椭圆过点．(1)求椭圆的方程．(2)设是椭圆上一点(异于),直线与轴分别交于两点．证明在轴上存在两点,使得是定值,并求此定值．【答案】(1);(2)证明见解析,定值为.【分析】(1)根据给定条件,设出椭圆方程,利用待定系数法求解即得.(2)设出点的坐标,利用向量共线探讨出点的坐标,再求出,并确定的坐标,再计算即得.【详解】(1)设椭圆方程为,则,解得,所以椭圆的方程为．(2)设,,则,由,得,而,于是,,同理,而,于是,则,,令,而是椭圆上的动点,则,得,于是,所以存在和,使得是定值,且定值为.【点睛】方法点睛：(1)引出变量法,解题步骤为先选择适当的量为变量,再把要证明为定值的量用上述变量表示,最后把得到的式子化简,得到定值;(2)特例法,从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关．21．已知椭圆的右焦点,椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为.(1)求椭圆的离心率的值.(2)若直线经过点,且与椭圆相交于两点,已知点为弦的中点,求直线的方程.(3)已知平面内有点,求过这个点且和椭圆相切的直线方程.【答案】(1)(2)(3)和【分析】(1)根据题意求出,再根据椭圆的离心率公式即可得解;(2)先求出椭圆的方程,再利用点差法求解即可;(3)分直线斜率是否存在讨论,当直线斜率存在时,设直线方程为,联立方程,根据即可得解.【详解】(1)由题意可得椭圆得焦半径,,故,所以椭圆的离心率;(2)由(1)得,所以椭圆得方程为,设,因为点为弦的中点,所以,由,两式相减得,即,所以,即,所以直线的方程为,即;(3)当所求直线斜率不存在时,直线方程为,此时直线与椭圆相切,符合题意,当所求直线斜率存在时,设直线方程为,联