（高二数学高分突破）第8章概率章末题型归纳总结（解析版）

（高二数学高分突破）第8章概率章末题型归纳总结（解析版）（高二数学高分突破）第8章概率章末题型归纳总结（解析版）/（高二数学高分突破）第8章概率章末题型归纳总结（解析版）第8章概率章末题型归纳总结模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：条件概率经典题型二：全概率公式与贝叶斯公式经典题型三：随机变量及其与事件的联系经典题型四：离散型随机变量的分布列经典题型五：二项分布与超几何分布经典题型六：正态分布经典题型七：随机变量的数字特征经典题型八：概率的综合应用模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③特殊到一般思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：条件概率例1．(2024·高二·湖南邵阳·期中)一玩具制造厂的某一配件由A,B,C三家配件制造厂提供,根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂A,B,C的次品率分别为0.02,0.01,0.03,提供配件的份额分别为,,,设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记,从中随机抽取一件配件,若抽到的是次品,则该次品来自制造厂C概率为(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】设事件D：抽到的是次品,事件：抽到的配件来自于A制造厂,事件：抽到的配件来自于B制造厂,事件：抽到的配件来自于C制造厂,则,,故,则抽到的是次品,则该次品来自制造厂C概率为,故选：A例2．(2024·黑龙江齐齐哈尔·一模)某饮料厂生产两种型号的饮料,已知这两种饮料的生产比例分别为,且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为,若从该厂生产的饮料中任选一瓶,则选到非碳酸饮料的概率约为(

)A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.32【答案】C【解析】由题意,选到非碳酸饮料的概率为.故选：C.例3．(2024·高二·全国·课后作业)已知表示在事件发生的条件下事件发生的概率,则(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】根据条件概率定义,所以D正确.故选：D.例4．(2024·高二·江西·阶段练习)先后两次抛一枚质地均匀的骰子,记事件"第一次抛出的点数小于3”,事件"两次点数之和大于3”,则(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知,所以.故选：B.例5．(2024·高二·辽宁·阶段练习)某市为迎接即将到来的省辩论大赛,准备在全市高中生范围内选择成员,经过第一轮比赛,9人脱颖而出,其中5名女生,4名男生,并且男生和女生中各有一名参加过去年的比赛．现从这9人中选2名男生与2名女生参赛,若至少有1名参加过去年比赛的被选中条件下,两名去年参赛的都被选中的概率是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】设事件"至少有1名参加过去年比赛的被选中”,事件"两名去年参赛的都被选中”,则,则,即所求概率为.故选：C.例6．(2024·高三·上海浦东新·阶段练习)全概率公式在敏感性问题调查中有着重要应用．例如某学校调查学生对食堂满意度的真实情况,为防止学生有所顾忌而不如实作答,可以设计如下调查流程：每位学生先从一个装有3个红球,6个白球的盒子中任取3个球,取到至少一个红球的学生回答问题一"你出生的月份是否为3的倍数?”,未取到任何红球的学生回答问题二"你对食堂是否满意?”．由于两个问题的答案均只有"是”和"否”,而且回答的是哪个问题他人并不知道(取球结果不被看到即可),因此理想情况下学生应当能给出符合实际情况的答案．已知某学校800名学生参加了该调查,且有250人回答的结果为"是”,由此估计学生对食堂的实际满意度大约为(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】设学生对食堂的实际满意度为,事件"回答问题一”,事件"回答的结果为是”.,,,由全概率公式可得,即,解得.故选：A.经典题型二：全概率公式与贝叶斯公式例7．(2024·高二·云南红河·阶段练习)某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4,三个年级的学生都报名参加公益志愿活动,经过选拔,高一年级有的学生成为公益活动志愿者,高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者．(1)设事件"在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”;事件"在三个年级中随机抽取1名学生,该生来自高年级”()．请完成下表中不同事件的概率并写出演算步骤：事件概率概率值(2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者,根据以上表中所得数据,求该学生来自于高一年级的概率．【解析】(1)根据三个年级的人数比值为,则,,,由每个年级的抽取比例可知,,,由全概率公式,得,事件概率概率值(2)该学生来自于高一年级的概率.例8．(2024·高二·福建南平·阶段练习)某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用,对运动员进行数据分析．运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置,统计以往多场比赛,其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示．比赛位置第一棒第二棒第三棒第四棒出场率0.30.20.20.3比赛胜率0.60.80.70.7(1)当甲出场比赛时,求该运动队获胜的概率．(2)当甲出场比赛时,在该运动队获胜的条件下,求甲跑第一棒的概率．【解析】(1)记"甲跑第一棒”为事件,"甲跑第二棒”为事件,"甲跑第三棒”为事件,"甲跑第四棒”为事件,"运动队获胜”为事件B.则所以当甲出场比赛时,求该运动队获胜的概率为.(2),所以当甲出场比赛时,在该运动队获胜的条件下,求甲跑第一棒的概率为.例9．(2024·高二·广东广州·期末)现有10个球,其中5个球由甲工厂生产,3个球由乙工厂生产,2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是,,．现从这10个球中任取1个球,设事件为"取得的球是合格品”,事件分别表示"取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．(1)求;(2)求．【解析】(1)依题意,.(2)依题意,,由(1)知,由全概率公式得.例10．(2024·全国·模拟预测)某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用,对运动员进行数据分析．运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置,统计以往多场比赛,其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示．比赛位置第一棒第二棒第三棒第四棒出场率0.30.20.20.3比赛胜率0.60.80.70.7(1)当甲出场比赛时,求该运动队获胜的概率．(2)当甲出场比赛时,在该运动队获胜的条件下,求甲跑第一棒的概率．(3)如果某场比赛该运动队获胜,求在该场比赛中甲最可能是第几棒．【解析】(1)记"甲跑第一棒”为事件,"甲跑第二棒”为事件,"甲跑第三棒”为事件,"甲跑第四棒”为事件,"运动队获胜”为事件B,则,所以当甲出场比赛时,该运动队获胜的概率为0.69．(2),所以当甲出场比赛时,在该运动队获胜的条件下,甲跑第一棒的概率为．(3),,,所以．所以甲最可能是第四棒．例11．(2024·高三·福建泉州·期末)一个袋子中有10个大小相同的球,其中红球7个,黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到红球的概率;(2)设第次都摸到红球的概率为;第1次摸到红球的概率为;在第1次摸到红球的条件下,第2次摸到红球的概率为;在第1,2次都摸到红球的条件下,第3次摸到红球的概率为.求;(3)对于事件,当时,写出的等量关系式,并加以证明.【解析】(1)记事件"第次摸到红球”为,则第2次摸到红球的事件为,于是由全概率公式,得.(2)由已知得,,,.(3)由(2)可得,即,可猜想：,证明如下：由条件概率及,得,,所以.经典题型三：随机变量及其与事件的联系例12．(2024·高二·全国·课时练习)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数,则表示.【答案】所选3人中至多有1名女生【解析】包含两种情况：或.故表示所选3人中至多有1名女生.故答案为：所选3人中至多有1名女生.例13．(2024·高二·江苏·课时练习)下列随机变量中是离散型随机变量的是,是连续型随机变量的是(填序号)．①某机场候机室中一天的旅客数量X;②某水文站观察到一天中江水的水位X;③某景区一日接待游客的数量X;④某大桥一天经过的车辆数X.【答案】①③④②【解析】①③④中的随机变量的所有取值,都可以按照一定的次序一一列出,因此它们是离散型随机变量;②中的随机变量可以取某一区间内的一切值,故是连续型随机变量．故答案为：①③④,②例14．(2024·高二·新疆巴音郭楞·期末)袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量X,则X的可能取值是．(用集合表示)【答案】【解析】因为两球号码和可出现同号相加,如下表所示：一二123451234562345673456784567895678910所以X的可能取值是.故答案为：.例15．(2024·高二·全国·课时练习)10件产品中有2件次品,从中任取2件,其中次品数ξ的所有可能取值是．【答案】0,1,2【解析】题意可得,次品数ξ的取值最小为0,最大为2,且ξ为自然数,所以次品数ξ的所有可能取值是0,1,2.故答案为：0,1,2.例16．(2024·高二·全国·课时练习)已知下列四个变量：①某高铁候车室中一天的旅客数量;②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数;③某一天中长江的水位;④某次大型车展中销售汽车的数量．其中,所有离散型随机变量的序号为．【答案】①②④【解析】①②④中的随机变量可能的取值可以按照一定次序一一列出,因此,它们都是离散型随机变量;③中的可以取某一区间内的一切值,无法按一定次序一一列出,故其不是离散型随机变量.故答案为：①②④.例17．(2024·高二·全国·竞赛)从由正数组成的集合A中随机地选出一个数的概率为,则在下面给出的四个集合中：①;②;③;④．能当成集合A的为(填上符合要求的所有序号)．【答案】②③④【解析】,对于①,从该集合中随机地选出一个数,则n为随机变量,其分布列为：n12345678910P因为+++…+,故①不符合;同理,对于②,因为+++…+,故②符合;对于③,因为+++…+,故③符合;对于④,因为+++++,故④符合;故答案为：②③④经典题型四：离散型随机变量的分布列例18．(2024·高二·广东广州·期末)随机变量有3个不同的取值,且其分布列如下：01则的值为．【答案】/0.1875【解析】依题意,的取值为0,1,且,,则的期望,所以的方差.故答案为：例19．(2024·高三·全国·专题练习)设X是一个离散型随机变量,其分布列为：X024P则．【答案】/【解析】∵,∴,解得或(舍去),∴．故答案为：.例20．(2024·高三·天津河东·阶段练习)设随机变量X的概率分布列为：X1234Pmn已知,则.【答案】/0.5【解析】依题意有,解得,则.故答案为：.例21．(2024·高二·吉林·期末)随机变量的分布列如下表所示：12340.10.3则.【答案】0.7/【解析】由分布列的性质可得,,可得,所以．故答案为：0.7例22．(2024·高二·辽宁大连·阶段练习)设离散型随机变量的概率分布列如下：则.【答案】/【解析】由分布列的性质知：,则,解得：,即.故答案为：.经典题型五：二项分布与超几何分布例23．(2024·高二·辽宁·阶段练习)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的20件产品作为样本称出它们的质量(单位：克),质量的分组区间为,,…,．由此得到样本的频率分布直方图(如下图)．(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的20件产品中任取3件,设为质量超过505克的产品数量,求的分布列;(3)从该流水线上任取5件产品,设为质量超过505克的产品数量,求的数学期望和方差．【解析】(1)质量超过505克的产品的频率为,所以质量超过505克的产品数量为(件);(2)重量超过505的产品数量为6件,则重量未超过505克的产品数量为14件,X的取值可能为0,1,2,3,X服从超几何分布,,,,,故X的分布列为：X0123P(3)由质量超过505克的产品的频率为,故可估计从该流水线上任取1件产品质量超过505克的产品的概率为,从流水线上任取5件产品互不影响,该问题可看成5次独立重复试验,即,则,.例24．(2024·高二·上海·阶段练习)为深入学习贯彻党的二十大精神,推动全市党员干部群众用好"学习强国”学习平台,激发干事创业热情．某单位组织"学习强国”知识竞赛,竞赛共有道题目,随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道,试求：(1)抽到他能答对题目数的分布列;(2)求的期望和方差【解析】(1)由题意知：所有可能的取值为,;;;;的分布列为：(2)期望;又,方差.例25．(2024·高三·浙江杭州·开学考试)"英才计划”最早开始于2013年,由中国科协、教育部共同组织实施,到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生,为选拔培养对象,某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.(1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学,从这7名学员中选取3人,表示选取的人中来自中学的人数,求的分布列和数学期望;(2)在夏令营开幕式的晚会上,物理组举行了一次学科知识竞答活动,规则如下：两人一组,每一轮竞答中,每人分别答两题,若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组,甲、乙答对每道题的概率分别为,.假设甲、乙两人每次答题相互独立,且互不影响.当时,求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.【解析】(1)由题意知,的可能取值有0,1,2,3,,,,,所以的分布列为：0123P.(2)因为甲、乙两人每次答题相互独立,设甲答对题数为,则,设乙答对题数为,则,设"甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”,则由,又,所以,则,又,所以,设,所以,由二次函数可知当时取最大值,所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为.例26．(2024·四川·模拟预测)在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查,随机调查了200棵受到某病虫害的果苗,并测量其高度(单位：,得到如下的样本数据的频率分布直方图.(1)估计该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2)估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率;(3)已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为,果苗高度位于区间的棵数占该果苗总棵数的.从该苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗,求该棵果苗受到这种病虫害的概率(以样本数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率).【解析】(1)由频率分布直方图得该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为：.(2)该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的频率为：.所以,估计该苗圃一颗受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率为0.6.(3)设从苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗为事件,该棵果苗受到这种病虫害为事件,则.例27．(2024·高三·上海黄浦·阶段练习)某学校共有1200人,其中高一年级、高二年级、高三年级的人数比为,为落实立德树人根本任务,坚持五育并举,全面推进素质教育,拟举行乒乓球比赛,从三个年级中采用分层抽样的方式选出参加乒乓球比赛的12名队员．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式,每场比赛都采取5局3胜制,最后根据积分选出最后的冠军,亚军和季军积分规则如下：每场比赛5局中以或获胜的队员积3分,落败的队员积0分;而每场比赛5局中以获胜的队员积2分,落败的队员积1分．已知最后一场比赛两位选手是甲和乙,如果甲每局比赛的获胜概率为(1)三个年级参赛人数各为多少?(2)在最后一场比赛甲获胜的条件下,求其前2局获胜的概率(3)记最后一场比赛中甲所得积分为X,求X的概率分布及数学期望【解析】(1)三个年级的参赛人数分别为,故来自高一,高二,高三年级的参赛人数分别为3人,4人和5人.(2)记甲在最后一场获胜为事件,其前两局获胜为事件,则,,故.(3)依题意,的所有可能取值为.;;;.∴的概率分布列为：3210∴.经典题型六：正态分布例28．(2024·高三·全国·专题练习)为准备2022年北京一张家口冬奥会,某冰上项目组织计划招收一批9~14岁的青少年参加集训,以选拔运动员,共有10000名运动员报名参加测试,其测试成绩(满分100分)服从正态分布,成绩为90分及以上者可以进入集训队,已知80分及以上的人数为228人,请你通过以上信息,推断进入集训队的人数为．附：,,．【答案】13【解析】正态分布,可知,分及以上的人数为人,则,由正态分布曲线的对称性可得：,得,所以,则,则分及以上的人数为人.故答案为：.例29．(2024·高三·上海浦东新·阶段练习)设随机变量服从正态分布,若,则实数．【答案】2【解析】由正态分布的对称性,得,所以.故答案为：2例30．(2024·高二·江西·期末)已知随机变量,若,则.【答案】0.14/【解析】因为,所以,故答案为：0.14.例31．(2024·安徽安庆·二模)树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动,该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动,遴选活动分以下两个环节,当两个环节均测试合格可以参加体验活动．第一环节：对学生身体体能指标进行测试,当测试值时体能指标合格;第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试,测试方案为对A,B两类试题依次作答,均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生,有两次测试机会,在任一类试题测试中,若第一次测试合格,不再进行第二次测试．若第一次测试不合格,则进行第二次测试,若第二次测试合格,则该类试题测试合格,若第二次测试不合格,则该类试题测试不合格,测试结束．经过统计,该校学生身体体能指标服从正态分布．参考数值：,,．(1)请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数(结果取整数);(2)学生小华通过身体体能指标遴选,进入航天知识素养测试,作答A类试题,每次测试合格的概率为,作答B类试题,每次测试合格的概率为,且每次测试相互独立．①在解答A类试题第一次测试合格的条件下,求测试共进行3次的概率．②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X,求X的分布列和数学期望．【解析】(1)．所以符合该项指标的学生人数为：人．(2)①记表示解答A类试题第一次测试合格,,分别表示解答B类试题第一次和第二次测试合格,测试共进行3次记为事件M,则,．②设X的取值为0,1,2,,,,所以X的分布列为X012P数学期望．例32．(2024·高三·江西·开学考试)已知某客运轮渡最大载客质量为,且乘客的体重(单位：)服从正态分布．(1)记为任意两名乘客中体重超过的人数,求的分布列及数学期望(所有结果均精确到0.001);(2)设随机变量相互独立,且服从正态分布,记,则当时,可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于,求最多可运载多少名乘客．附：若随机变量服从正态分布,则;若服从标准正态分布,则;,,．【解析】(1)由乘客的体重(单位：)服从正态分布可得,则可得,即任意一名乘客体重大于的概率为,则的所有可能取值为,,,所以的分布列为012期望值为(2)设为第位乘客的体重,则,其中,所以,由可得,即,可得,即,.所以保证该轮渡不超载的概率不低于,最多可运载64名乘客.例33．(2024·四川成都·二模)某省举办了一次高三年级化学模拟考试,其中甲市有10000名学生参考．根据经验,该省及各市本次模拟考试成绩(满分100分)都近似服从正态分布．(1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分,87分以上共有228人．甲市学生的成绩为76分,试估计学生在甲市的大致名次;(2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人,记表示在本次考试中化学成绩在之外的人数,求的概率及的数学期望．参考数据：参考公式：若,有,【解析】(1)已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布,由题意可得．即,解得．甲市学生在该次考试中成绩为76分,且,又,即．学生在甲市本次考试的大致名次为1587名．(2)在本次考试中,抽取1名化学成绩在之内的概率为0.9974．抽取1名化学成绩在之外的概率为0.0026．随机变量服从二项分布,即．．的数学期望为．例34．(2024·高三·安徽·阶段练习)某产品的尺寸与标准尺寸的误差绝对值不超过4即视为合格品,否则视为不合格品.假设误差服从正态分布且每件产品是否为合格品相互独立.现随机抽取100件产品,误差的样本均值为0,样本方差为4.用样本估计总体.(1)试估计100件产品中不合格品的件数(精确到1);(2)在(1)的条件下,现出售随机包装的100箱该产品,每箱均有100件产品.收货方对每箱产品均采取不放回地随机抽取方式进行检验,箱与箱之间的检验相互独立.每箱按以下规则判断是否接受该箱产品：如果抽检的第1件产品不合格,则拒绝该箱产品;如果抽检的第1件产品合格,则再抽1件,如果抽检的第2件产品合格,则接受该箱产品,否则拒绝该箱产品.若该箱产品通过检验后生产方获利1000元;该箱产品被拒绝,则亏损89元.求100箱该产品利润的期望值.附：若随机变量服从正态分布,则,【解析】(1)分别用样本均值和样本标准差估计正态分布的参数和,得产品的尺寸误差,,因此估计这批产品的合格率为,样本的不合格品率为,所以估计100件产品中有件不合格品.(2)设"抽检的第1件产品不合格”,"抽检的第2件产品不合格”,则一箱产品被拒绝的事件为,因此,设100箱产品通过检验的箱数为,则,因此100箱利润,所以平均利润(元).例35．(2024·高三·山东·开学考试)某小区在2024年的元旦举办了联欢会,现场来了1000位居民．联欢会临近结束时,物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节,这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示,且．(1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数(四舍五入取整数);(2)奖品分为一等奖和二等奖,已知每个人摸到一等奖的概率为40%,摸到二等奖的概率为60%,每个人摸奖相互独立,设恰好有个人摸到一等奖的概率为,求当取得最大值时的值．附：若,则．【解析】(1)因为,所以,则,所以现场年龄不低于60岁的人数大约为(人)．(2)依题意可得,,设,所以,所以所以,因为整数,所以,所以当取得最大值时的值为8．经典题型七：随机变量的数字特征例36．(2024·高二·上海·阶段练习)下列命题正确的是(

)A．数据,1,2,4,5,6,8,9的第25百分位数是1B．若随机变量满足,则C．已知随机变量,若,则D．若随机变量,,则【答案】D【解析】对于选项A,8个数据从小到大排列,由于,所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数,故A错误;对于选项B,,故B错误;对于选项C,因为,则,故C错误;对于选项D,因为随机变量,由正态曲线的对称性可得：,则,所以,故D正确.故选：D.例37．(2024·安徽蚌埠·模拟预测)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为,且,则下面四种情形中,对应样本的标准差最小的一组是(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A,所以,对于B,所以,对于C,所以,对于D,所以,故选：C例38．(2024·广东·模拟预测)设,随机变量的分布列如下图所示,则下列说法正确的有(

)X012PA．恒为1 B．随增大而增大C．恒为 D．最小值为0【答案】AC【解析】因为,解得：,所以随机变量的分布列如下图,X012P因为,恒为1,故A正确;B错误;,故C正确,D错误.故选：AC.例39．(多选题)(2024·高二·江西·阶段练习)已知离散型随机变量的分布列如下所示,则(

)13A． B． C． D．【答案】ABD【解析】对于A,由分布列的性质可得,解得,故A正确;对于B,,故B正确;对于C,,故C错误;对于D,,故D正确.故选：ABD.例40．(多选题)(2024·高二·辽宁·开学考试)随机变量,且,随机变量,若,则(

)A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于A,,且,故A正确;对于C,,,故C正确;对于B,,,故B正确;对于D,,故D错误．故选：ABC.例41．(多选题)(2024·云南·二模)袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,每次取一个球,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为,则(

)A． B．C．的期望 D．的方差【答案】ABCD【解析】从袋子中有放回的取球4次,则每次取球互不影响,并且每次取到的黑球概率相等,又每次取一个球,取到白球记0分,黑球记1分,故4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数,又每次摸到黑球的概率为,因为是有放回地取4次球,所以,故A正确;,故B正确;根据二项分布期望公式得,故C正确;根据二项分布方差公式得,故D正确.故选：ABCD经典题型八：概率的综合应用例42．(2024·辽宁·一模)近年来,某大学为响应国家号召,大力推行全民健身运动,向全校学生开放了两个健身中心,要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身,若甲､乙､丙该周选择健身中心健身的概率分别为,求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率;(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼,且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个,其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心,则周日仍选择健身中心的概率为;若周六选择健身中心,则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率;(3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果,并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生,经统计发现从全校学生中随机抽取一人,其值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人,如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生,则继续抽取下一个,直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止,但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过3且,求的最大值.参考数据：.【解析】(1)由题意得这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率.(2)记事件：丁周六选择健身中心,事件：丁周日选择健身中心,则,由全概率公式得.故丁周日选择健身中心健身的概率为.(3)设从全校学生中随机抽取1人,抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为,则,设抽取次数为,则的分布列为123故,又,两式相减得,所以,令,则,因为,故令得,即,令时,,故在且时单调递增,结合,可知当时,;当时,;当时,.若抽取次数的期望值不超过3,则的最大值为30.例43．(2024·河南新乡·二模)根据国家电影局统计,2024年春节假期(2月10日至2月17日)全国电影票房为80.16亿元,观影人次为1.63亿,相比2023年春节假期票房和人次分别增长了18.47%和26.36%,均创造了同档期新的纪录．2024年2月10日某电影院调查了100名观影者,并统计了每名观影者对当日观看的电影的满意度评分(满分100分),根据统计数据绘制得到如图所示的频率分布直方图(分组区间为,,,,,)．(1)求这100名观影者满意度评分不低于60分的人数;(2)估计这100名观影者满意度评分的第40百分位数(结果精确到0.1);(3)设这100名观影者满意度评分小于70分的频率为,小于80分的频率为,若甲、乙两名观影者在春节档某一天都只观看一部电影,甲观看,影片的概率分别为,,乙观看,影片的概率分别为,,当天甲、乙观看哪部电影相互独立,记甲、乙这两名观影者中当天观看影片的人数为,求的分布列及期望．【解析】(1)由图可知,满意度评分不低于60分的频率为,所以这100名观影者满意度评分不低于60分的人数为.(2)因为,所以这100名观影者满意度评分的第40百分位数位于第三组,则这100名观影者满意度评分的第40百分位数的估计值为.(3)由图可知,,同理,而的可能取值为,则,,,所以的分布列为0120.080.440.48故.例44．(2024·河南信阳·一模)小甲参加商场举行的玩游戏换代金券的活动．若参与A游戏,则每次胜利可以获得该商场150元的代金券;若参与B游戏,则每次胜利可以获得该商场200元的代金券;若参与C游戏,则每次胜利可以获得该商场300元的代金券．已知每参与一次游戏需要成本100元,且小甲每次游戏胜利与否相互独立．(1)若小甲参加4次A游戏,每次获胜的概率为,记其最终获得450元代金券的概率为,求函数的极大值点;(2)在(1)的条件下,记小甲参加A,B,C游戏获胜的概率分别为,,．若小甲只玩一次游戏,试通过计算说明,玩哪种游戏小甲获利的期望最大．【解析】(1)依题意,小甲获胜3次且失利1次,则,故,令,解得,故当时,,当时,,则在上单调递增,在上单调递减,所以函数的极大值点;(2)由(1)可知,小甲参加A,B,C游戏获胜的概率分别为,,,记代金券金额,若小甲参加A游戏,则;若小甲参加B游戏,则;若小甲参加C游戏,则;因为,故小甲选择C游戏获利的期望最大．例45．(2024·福建漳州·一模)在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列,发送每个信号数字之间相互独立．由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．(1)记发送信号变量为,接收信号变量为,且满足,,,求;(2)当发送信号0时,接收为0的概率为,定义随机变量的"有效值”为(其中是的所有可能的取值,),发送信号"000”的接收信号为"”,记为,,三个数字之和,求的"有效值”．(,)【解析】(1)由题意可知：,,所以.(2)由题意可知：当发送信号0时,接收为0的概率为,接收为1的概率为,可知：的可能取值有0,1,2,3,则,,可得的"有效值”,即的"有效值”约为0.45.例46．(2024·四川南充·二模)已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后,分为Ⅰ级和Ⅱ级,两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：若只利用该指标制定一个标准,需要确定临界值K,按规定须将该指标大于K的产品应用于A型手机,小于或等于K的产品应用于B型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K的芯片错误应用于A型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元;若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K的芯片错误应用于B型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元;假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)设临界值时,将2个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于A型手机,求芯片生产商的损失(单位：元)的分布列及期望;(2)设且,现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品,分别应用于A型手机、B型手机各1万部的生产：方案一：将芯片不作该指标检测,Ⅰ级品直接应用于A型手机,Ⅱ级品直接应用于B型手机;方案二：重新检测该芯片Ⅰ级品,Ⅱ级品的该项指标,并按规定正确应用于手机型号,会避免方案一的损失费用,但检测费用共需要130万元;请求出按方案一,芯片生产商损失费用的估计值(单位：万元)的表达式,并从芯片生产商的成本考虑,选择合理的方案．【解析】(1)当临界值时,Ⅰ级品中该指标小于或等于的频率为,所以将个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于型手机,每部手机损失元的概率为,所以芯片生产商的损失的可能取值为,,,所以,,,所以的分布列为：所以.(2)当临界值且时,若采用方案一：Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值的频率为,所以可以估计部型手机中有部手机芯片应用错误;Ⅱ级品中该指标小于或等于临界值的频率为,所以可以估计部型手机中有部手机芯片应用错误;所以可以估计芯片生产商的损失费用,即,,因为,所以,又采用方案二需要检测费用共万元,故从芯片生产商的成本考虑,应选择方案二.其中"部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项,则只选1个选项且正确得3分;若正确答案有3个选项,则只选1个选项且正确得2分,只选2个选项且都正确得4分．方案一：只选择A选项;方案二：选择A选项的同时,再随机选择一个选项;方案三：选择A选项的同时,再随机选择两个选项．【答案】(1)(2)答案见解析【解析】(1)由题意,该考生所有选择结果构成的样本空间为：设"某题的答案是AB,该考生得分”,则．(2)设方案一、二、三的得分分别为X,Y,Z．①∵,．∴X的分布列为：X23P则．②∵,,,∴Y的分布列为：Y046P则．③∵,,∴Z的分布列为：Z06P则．∵,∴以数学期望为依据选择方案一更恰当．模块三：数学思想方法①分类讨论思想例47．(2024·全国·高三专题练习)甲、乙两队进行自由式轮滑速度障碍赛决赛,采取五场三胜制(当一队赢得三场比赛时,该队获胜,比赛结束),根据以往比赛成绩可知,甲队每场比赛获胜的概率为,比赛结果没有平局,且各场比赛结果相互独立,则在甲队获胜的情况下,比赛共进行了四场的概率为______．【答案】/【解析】设事件A为"甲队最终获得胜利”,事件B为"比赛共进行了四场”,①比赛进行三场,甲队均胜,;②比赛进行四场,甲队前三场恰好胜二场,输一场,第四场胜,;③比赛进行五场,甲队第五场胜,前四场恰好胜二场,输二场,,则,,故所求概率为.故答案为：.例48．(2024·江西·高二校联考期中)已知随机事件,,若,,,则_________.【答案】【解析】由题意可得,,且,则,又因为,则,且,所以.故答案为：.例49．(2024·云南德宏·高三统考期末)高三某位同学准备参加物理、化学、政治科目的等级考．已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、,假定这三门科目考试成绩的结果互不影响,那么这位同学恰好得个的概率是_______．【答案】【解析】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的事件分别为,以为这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、,所以,,,这三门科目考试成绩的结果互不影响,则这位考生至少得2个的概率：．故答案为：．例50．(2024·全国·高二专题练习)现有n(,)个相同的袋子,里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球,第k(,2,3,…,n)个袋中有k个红球,个白球.现将这些袋子混合后,任选其中一个袋子,并且从中连续取出三个球(每个取后不放回),若第三次取出的球为白球的概率是,则___________.【答案】8【解析】方法一：设选出的是第k个袋,连续三次取球的方法数为,第三次取出的是白球的取法有如下四种情形：白白白,取法数为：红白白,取法数为：白红白,取法数为：红红白：取法数为：所以第三次取出的是白球的总情形数为：则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：,因为选取第k个袋的概率为,故任选袋子取第三个球是白球的概率为：当时,.故答案为：8．方法二：设"取出第个袋子”,"从袋子中连续取出三个球,第三次取出的球为白球”,则,且,,,两两互斥,,,,所以,所以,,即,解得：.故答案为：．②转化与化归思想例51．(2024·全国·高三专题练习)奥运吉祥物"雪容融”是根据中国传统文化中灯笼的造型创作而成,现挂有如图所示的两串灯笼,每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笼,直至某一串灯笼被摘完为止,则左边灯笼先摘完的概率为________.【答案】/0.6875【解析】根据题意可知每次摘左边的灯笼和右边的灯笼的概率都是,要使左边灯笼先摘完则摘灯笼的次数为2,3,4次,若2次先摘完左边的灯笼,则概率为,若3次先摘完左边的灯笼,则概率为,若4次先摘完左边的灯笼,则概率为,所以左边灯笼先摘完的概率为.故答案为：.例52．(2024·全国·高二专题练习)若一个三位数的各位数字之和为10,则称这个三位数"十全十美数”,如208,136都是"十全十美数”,现从所有三位数中任取一个数,则这个数恰为"十全十美数”的概率是____________【答案】【解析】所有三位数个数为900个."十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是的,共有个