浙江省绍兴市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题

浙江省绍兴市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A={x|−2<x≤2}，B={x|x<2}，则()A．2∈B B．∁RA∪B=R C．A⊆B D．2．若z1=1+2i，z2A．45+35i B．453．若函数f(x)=2x2+ax−bA．b2+8a>0 B．a−b≥−2 C．b<0 4．已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，(aA．−14 B．14 C．−5．已知cosπ4+α=4A．−725 B．725 C．−6．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子至少放1个小球，则不同的放法种数是()A．2640 B．2160 C．1800 D．15607．设A，B为两个随机事件，若P(A)=12，P(B)=13，A．34 B．712 C．5128．已知函数f(x)的定义域为[1,2]，对定义域内任意的x1，x2，当A．若fx=B．若f(x)=12C．若f(1)=f(2)，则fD．函数y=f(x)和y=f(x)−kx在[1,2二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．已知x，y都是正实数，则下列结论正确的是()A．xy+yC．x+y≥1+xy D．x10．四位同学各掷大小一致、质地均匀的骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．四位同学的统计结果如下，则可能出现点数6的是()A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为2，方差为2.4C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为2.811．已知函数f(x)=sinA．f(x)≤1+e恒成立 B．f(x)在[0,π]上单调递增C．f(x)在[−π,0]上有4个零点 D．f(x)是周期函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．计算log23·13．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，14．在平面四边形ABCD中，AB=AD=3，∠ADC=∠ABC2=π3，记△ABC与△ACD的面积分别为S1，四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．已知函数f(x)=sin（1）求fπ（2）求f(x)的单调递增区间．16．有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元，每次猜谜的结果相互独立．（1）若张某猜完了这两道谜语，记张某猜对谜语的道数为随机变量X，求随机变量X的分布列与期望；（2）现规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，为了获得更多的奖金，他应该选择先猜哪一道谜语？17．如图1，在四边形ABCD中，AD // BC，AB⊥AD，AB=2，AD=4，现将△ABC沿着AC进行翻折，得到三棱锥P−ACD，且平面APD⊥平面ACD，如图2．（1）若AP与平面ACD所成的角为π3，证明：AP⊥CD（2）若BC=3，求平面APC与平面PCD夹角的余弦值．18．已知函数f(x)=1+a−（1）当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）当1<a<2时，证明：f(x)>0在(0,a)上恒成立．19．已知集合Sn={X|X=(x1,x2,…,xn)，xi∈R，i=1，2，…（1）若A=(1,1)，B=(x,y)∈S2，求所有满足（2）当xi∈{0,1}(i=1，2，…，n)时，A，B∈Sn，I=(0,0,…,0n个0)∈S（3）当xi∈{0,1,2}(i=1，2，…，

答案解析部分1．【答案】D【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：A，2∉B，A错误，B，∁RA={x|x≤−2或x>2}，所以C，2∉B，但2∈A，C错误，D，A∩B={故答案为：D【分析】本题考查集合的交并补运算，集合间的基本关系.元素2不在集合B中，根据元素与集合的关系可判断A选项；先利用补集的定义求出∁RA，再利用集合的并集运算求出(∁2．【答案】A【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：z1故答案为：A【分析】本题考查复数的除法运算.根据复数的除法运算：分子和分母同时乘以2−i，通过化简可求出答案.3．【答案】B【知识点】函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】解：f(x)则f(故a−b≥−2b≤0故答案为：B【分析】本题考查函数的的零点.根据零点的定义和一元二次方程根的分布，可列出不等式组，解不等式组可求出a−b≥−2，b≤0，a4．【答案】A【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系【解析】【解答】解：因为(a−b从而3a2−2a⋅故cos⟨故答案为：A.【分析】本题考查平面向量垂直的转化，平面向量的夹角.先根据平面向量垂直的转化可得：(a−b)⋅(35．【答案】C【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式【解析】【解答】解：由已知cos(π4+α平方得(cosα−即1−sin2α=32又π4<α<7π4，则3π2<α+π4由sin2α<0，得3π<2α<7π2所以cos2α=−故答案为：C.【分析】本题考查两角和的余弦公式，二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式.先利用两角和的余弦公式将式子进行展开可得：cosα−sinα=425，对式子两边同时进行平方可求出sin2α得值，再根据已知条件缩小α6．【答案】D【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用【解析】【解答】解：分两类解决这个问题：第一类，一个盒中3个球，另外三个盒中每个盒1个球，共有C6第二类，其中两个盒每个盒2个球，另外两个盒每个盒1个球，共有C6按照分类加法计数原理得，不同的方法种数共有480+1080=1560种.故答案为：D.【分析】本题考查排列组合的实际应用，分类加法计数原理.根据题意可得本问题分为两类：第一类，一个盒中3个球，另外三个盒中每个盒1个球；第二类，其中两个盒每个盒2个球，另外两个盒每个盒1个球；利用排列组合的知识求出每一类的种数，利用分类加法计数原理可求出答案.7．【答案】B【知识点】并（和）事件与交（积）事件；条件概率【解析】【解答】解：由条件概率可得P(P(所以P(AB所以P(故答案为：B【分析】本题考查条件概率的计算公式，和事件的概率公式.根据条件，先利用条件概率公式可求出P(AB)，利用和事件的概率公式可求出P(A∪B8．【答案】C【知识点】函数恒成立问题【解析】【解答】解：A：f(x)=x2+x因为x1,x因为|x1−又因为x1,xB：|f(x所以|x所以k>0，又因为x1,x所以|k又k<k2(|k−1|≤k，|2k−1|≤k，所以−k≤k−1≤k,所以12C：因为x1,x因为f(1)=f(2)，所以2|f(x所以|f(xD：不妨设f(x)在[1,2]上单调递增，任取x1则f(x因为|f(x所以f(x1)−f(所以y=f(x)−kx单调递减，D错误.故答案为：C.【分析】本题考查函数的恒成立问题.先求出|f(x1)−f(x2)|=|x1−x2||x1+因为x1,x2不相等，不妨设1≤x1<x2≤2，因为f(1)=f(2)，根据|f(x1)−f(x29．【答案】A,B,D【知识点】基本不等式【解析】【解答】解：A.∵x,∴xy+yx≥2xB.(x+y)(1x+1C.当x=y=2时，x+y≥1+xy不成立，C错误；D.x2+y令t=x+y，t2−4t+4=(t−2)即(x+y)22≥2(x+y−1故答案为：ABD.【分析】本题考查利用基本不等式求最值.因为x,y都是正实数，直接利用基本不等式进行求解，可判断A选项；对式子进行展开可得：原式=1+xy+yx+1，直接利用基本不等式进行求解，可判断B选项；举出反例当10．【答案】A,C,D【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】解：A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，A正确；B，若平均数为2，且出现点数6，则方差S2>1C，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，C正确；D，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，则平均数为x=方差为S2故答案为：ACD【分析】本题考查平均数，中位数，方差，众数.举出例子：当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数，中位数，满足题意可判断A选项；若平均数为2，且出现点数6，利用方差公式可推出：S211．【答案】A,C【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的周期性；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】解：A，∵sinB，∵3π<π2<4πC，令f(记ℎ(x)=sin(则g'当x∈(−4,当x∈(−π且g(−π)=−1,g(−π在同一直角坐标系中作出函数图象如图所示：

故两函数图象有4个不同的交点，因此函数f(x)在D，由于y=sinπx为周期函数，且最小正周期为2ππ=2，而由于2π为无理数，而2为有理数，则不存在整数k1,k所以f(故答案为：AC【分析】本题考查函数的恒成立问题，函数的单调性，函数的零点，函数的周期性.根据三角函数的有界性可得：sinx∈[1,1],，利用三角函数的有界性和指数函数的单调性进行放缩可证明不等式，判断A选项；先判断出3π<π2<4π，利用三角函数的符号可判断出sinπ2<0,，进而推出f(π)<f(0)，利用函数的单调性定义可判断B选项；记ℎ(x)=sin(πx),g(x)=−esinx，求出导函数可得：g12．【答案】3【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论【解析】【解答】解：(===3故答案为：3.【分析】本题考查对数的换底公式，对数运算法则.先利用对数换底公式进行计算可得：原式=lg13．【答案】41π【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；同角三角函数间的基本关系；余弦定理【解析】【解答】解：取B1C1中点F因为在棱长为2的正方体ABCD−A1B又因为D1D⊥平面ADE，所以四面体EADD因为E为棱BC的中点，四边形ABCD是边长为2的正方形，所以AE=ED=2在△ADE中，cos∠AED=AE2+D由正弦定理得△ADE外接圆的半径为r=1所以直三棱柱A1D1所以四面体EADD1的外接球的表面积为故答案为：41π4【分析】本题考查球的内接几何体问题.取B1C1中点F，连接A1F,D1F,EF，将四面体EADD1补为直三棱柱A1D14．【答案】9【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算【解析】【解答】解：已知如图所示：

在△ABC中，由余弦定理得：cosB=AB2所以−12因为在△ACD中，由余弦定理得：cosD=AD所以12=又因为在△ABC中S1在△ACD中S2所以S所以由②﹣①得：CD因为CD+BC>0，所以CD−BC=3故S2故答案为：9【分析】本题考查利用余弦定理解三角形.根据题意利用余弦定理进行化简可得：BC2−AC2=−3BC−9和15．【答案】（1）解：∵f(x)====sin∴f(π（2）解：由(1)知f(x)=sin∴令−π2+2kπ≤2x+得：−5π12+kπ≤x≤∴f(x)的单调递增区间为[−5π【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式【解析】【分析】本题考查辅助角公式，正弦函数的图象和性质.

（1）先利用两角和的正弦公式，辅助角公式化简函数解析式可得：f(x)=sin(2x+π（2）利用正弦函数的图象和性质可列出不等式−π2+2kπ≤2x+16．【答案】（1）解：记张某猜对A，B谜语这两个事件分别为A，B，则P(A)=0.8，P(B)=0.5，张某猜对谜语的道数为随机变量X，则X的取值可以为：0，1，2，PX=0PX=1PX=2则随机变量X的分布列为：

X

0

1

2

P

0.1

0.5

0.4EX（2）解：如果先猜A谜语，那么他将有0.2的概率得0元，有0.8×(1−0.5)= 0.4概率得10元，有0.8×0.5=0.4概率得30元，此时，他的奖金期望是0×0.2+10×0.4+30×0.4=16．如果先猜B谜语，那么他的奖金期望是0×0.5+20×0.5×(1−0.8)+30×0.4=14．因为16>14，所以他应选择先猜A谜语．【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】本题考查随机变量的分布列，随机变量的期望，

（1）先找出变量X的可能取值，利用相互独立事件的概率公式求出变量的对应概率，据此可列出分布列，利用随机变量期望计算公式可求出期望；（2）根据题意利用期望计算公式先求出先猜A谜语得到的奖金期望，再求出先猜B谜语得到的奖金期望，比较两个期望的大小，即可作出决策.17．【答案】（1）证明：过P作PQ⊥AD于点Q，如图所示：因为平面APD⊥平面ACD，平面APD∩平面ACD=AD，PQ⊂平面APD，所以PQ⊥平面ACD，则∠PAQ为直线AP与平面ACD所成的角，所以∠PAQ=∠PAD=π又因为AP=AB=2，AD=4，所以PD所以AD2=A因为AB⊥BC，所以AP⊥PC，又PD∩PC=P，PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，所以AP⊥平面PCD，因为CD⊂平面PCD，所以AP⊥CD．（2）解：过P作PE⊥AD于点E，因为平面APD⊥平面ACD，平面APD∩平面ACD=AD，PE⊂平面APD，所以PE⊥平面ACD，以点E为原点，ED，EP所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示：在四边形ABCD中，因为AEAB所以AE=43，所以A(0,−43,0)，P(0,0,设平面APC的一个法向量为m=(因为AP=(0,43所以m⋅AC取x1=3，则y1所以m设平面DPC的一个法向量为n=(因为DP=(0,−83所以n⋅DC取x2=1，得y2所以n=(所以cos<m，所以平面APC与平面PCD夹角的余弦值为389【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，利用空间向量求二面角.

（1）过P作PE⊥AD于E，则由平面APD⊥平面ACD，利用平面与平面垂直的性质可推出：PE⊥平面ACD，据此可得∠PAE为AP与平面ACD所成的角，则∠PAE=π3，利用余弦定理和勾股定理可证明AP⊥PD，再根据题意利用直线与平面垂直的判定定理可推出AP⊥平面PCD，利用直线与平面垂直的性质可证明（2）过P作PE⊥AD于点E，利用平面与平面垂直的性质可推出：PE⊥平面ACD，以E为原点，ED,EP所在的直线分别为y,z轴建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面APC的法向量和平面DPC的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出平面18．【答案】（1）解：当a=e时，f(x)=1+(e−1所以f'(x)=e−1又f(1)=1所以，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−12=(−（2）证明：因为f(x)=1+(a−12当1<a<2时，令g(x)=a−12−axlna又因为f'(0)=a−12−所以，存在x0∈(0,+∞)，使得所以，f(x)在(0,x0) ①当x0≥a时，因为f(x)在所以，对于x∈(0,a)，f(x)>f(0)=0恒成立 ②当x0<a时，因为f(x)在(0,x所以，只要证当1<a<2时，f(a)>0，即证当1<a<2时，1+a(a−1设u(x)=1+x(x−12)−xx所以，当1<a<2时，1+a(a−1综合 ① ②可知，当1<a<2时，f(x)>0在(0,a)上恒成立．【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程，函数的恒成立问题.

（1）先求出导函数f'（2）先求出导函数f'(x)，证明存在x0∈(0,a)，使得f'(x019．【答案】（1）解：由A=(1,当x≥1,y≥1时，当x≤1,y≤1时，当x≥1,y≤1时，当x≤1,y≥1时，故围成的图形为正方形MNPQ，其中M(故面积为(2（2）解：设A=(a1,d(所以a1+a当n<2p，d当n≥2p时，d综上所述，d(A（3）解：xi设M={X∣X=(0其中M,N,C中均有Sn共有3n个不同的元素，从Sn的3从M,N,C中任选一个元素，对第一个位置的数字两两作差并取绝对值，可得3×C3n−12个(0,a2,⋯所以Sn中所有元素的第一位的数字之和为2×对于Sn中所有元素的其他同等位置的数字之和为均为4×故集合Sn中任意两个元素之间的距离的和4n×【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法【解析】【分析】本题考查集合的描述法，集合的元素.

（1）根据d(A,B)=2可得|x−1|+|y−1|=2，分四种情况去掉绝对值，进而可找出M,N,P,Q的坐标，进而推出围成的图形为正方形（3）对M,N,C第一个位置的数字两两作差并取绝对值，可得3×C3n−12个(0,a2,⋯

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：130分分值分布客观题（占比）60.0(46.2%)主观题（占比）70.0(53.8%)题量分布客观题（占比）12(63.2%)主观题（占比）7(36.8%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。3(15.8%)15.0(11.5%)单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。8(42.1%)40.0(30.8%)解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。5(26.3%)60.0(46.2%)多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。3(15.8%)15.0(11.5%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(84.2%)2困难(15.8%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分