2024-2025学年新教材高中数学 第七章 随机变量及其分布 7.4.1 二项分布（教师用书）教案 新人教A版选择性必修第三册

2024-2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.4.1二项分布（教师用书）教案新人教A版选择性必修第三册主备人备课成员教学内容本节课的教学内容来自于2024-2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.4.1节，二项分布。本节课的主要内容有：

1.二项分布的定义：让学生了解二项分布的概念，掌握二项分布的基本特征。

2.二项分布的概率质量函数：让学生学会计算二项分布的概率质量函数，能够根据给定的参数求解二项分布的概率。

3.二项分布的期望和方差：让学生了解二项分布的期望和方差的计算公式，能够计算特定二项分布的期望和方差。

4.实际应用：让学生能够将二项分布应用于实际问题，如抛硬币试验、药物疗效试验等。

教学目标是让学生掌握二项分布的基本概念和计算方法，能够运用二项分布解决实际问题。核心素养目标本节课的核心素养目标包括：

1.逻辑推理：让学生通过学习二项分布的概念和计算方法，培养逻辑推理能力，能够从具体实例中抽象出二项分布的数学模型。

2.数据分析：让学生学会运用二项分布的概率质量函数和期望方差计算公式，对实际问题中的数据进行分析，培养学生的数据分析能力。

3.数学建模：让学生能够将二项分布应用于实际问题，建立数学模型，培养学生的数学建模能力。

4.数学运算：让学生掌握二项分布的计算方法，能够进行相关的数学运算，提高学生的数学运算能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：在学习本节课之前，学生应该已经掌握了概率论的基本概念，如随机事件、概率、条件概率等。此外，学生还应该了解上一章随机变量及其分布的相关知识，如离散型随机变量、连续型随机变量等。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：在进行本节课的学习时，学生可能对二项分布的实际应用场景感兴趣，例如抛硬币试验、药物疗效试验等。学生在学习过程中，可能需要通过实例和实际问题来理解和掌握二项分布的概念和计算方法。此外，学生可能具备一定的逻辑推理和数据分析能力，但可能在数学建模和数学运算方面存在一定的困难。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习本节课的过程中，学生可能对二项分布的概念和计算方法存在理解上的困难，特别是对于二项分布的概率质量函数和期望方差的计算公式。此外，学生可能对如何将二项分布应用于实际问题存在困惑，不知道如何将数学模型与实际问题相结合。因此，教师在教学过程中需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，引导学生克服困难和挑战。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、计算机、白板、黑板、粉笔、教案和课件。

2.课程平台：学校提供的教学管理系统，用于发布课程资料、作业和测试。

3.信息化资源：教学软件和应用程序，如数学模拟软件、统计分析软件等。

4.教学手段：讲义、PPT演示文稿、数学案例、小组讨论、问题解答、练习题和作业。教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解二项分布的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。

设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习二项分布内容做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确二项分布教学目标和二项分布重难点。

准备教学用具和多媒体资源，确保二项分布教学过程的顺利进行。

设计课堂互动环节，提高学生学习二项分布的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入二项分布学习状态。

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的随机变量及其分布的相关知识，帮助学生建立知识之间的联系。

提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为二项分布新课学习打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解二项分布的概念、概率质量函数、期望和方差等知识点，结合实例帮助学生理解。

突出二项分布的重点，强调计算方法和应用，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕二项分布的应用问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。

鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

设计实践活动或实验，让学生在实践中体验二项分布知识的应用，提高实践能力。

在二项分布新课呈现结束后，对二项分布知识点进行梳理和总结。

强调二项分布的重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对二项分布知识的掌握情况。

鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决二项分布问题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的二项分布错误，进行及时订正和讲解。

引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与二项分布内容相关的拓展知识，如泊松分布等，拓宽学生的知识视野。

引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合二项分布内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。

鼓励学生分享学习二项分布的心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的二项分布内容，强调二项分布重点和难点。

肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的二项分布内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。知识点梳理本节课的主要知识点包括：

1.二项分布的定义：二项分布是一种离散型随机变量，它描述了在固定次数n的独立实验中，成功次数X的概率分布，其中每次实验的成功概率为p。

2.二项分布的概率质量函数（PMF）：二项分布的概率质量函数公式为P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n个实验中选择k个成功的组合数。

3.二项分布的期望：二项分布的期望E(X)可以通过公式E(X)=n*p计算得出，它表示随机变量X的平均值。

4.二项分布的方差：二项分布的方差D(X)可以通过公式D(X)=n*p*(1-p)计算得出，它表示随机变量X的离散程度。

5.二项分布的概率质量函数的性质：二项分布的概率质量函数随着k的增大而减小，且当k=np时，概率取得最大值。

6.二项分布的实际应用：二项分布广泛应用于现实生活中，如抛硬币试验、药物疗效试验等。通过二项分布的计算，可以对实验结果进行分析和预测。

7.二项分布的计算方法：通过二项分布的公式，可以计算出给定参数下的概率、期望和方差。此外，还可以利用统计软件或在线计算器进行二项分布的计算。

8.二项分布的图形表示：二项分布可以通过条形图、折线图或直方图进行表示，直观地展示不同成功次数的概率分布。

9.二项分布与其他分布的关系：二项分布是泊松分布的特例，当泊松分布的λ=np时，泊松分布可以转化为二项分布。

10.二项分布的扩展：除了标准二项分布，还有一些特殊的二项分布，如参数二项分布、负二项分布等，它们具有不同的概率质量函数和性质。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了二项分布的基本概念、概率质量函数、期望和方差。通过实例和练习题，我们了解了二项分布的计算方法和应用。以下是本节课的要点总结：

1.二项分布的定义：二项分布描述了在固定次数n的独立实验中，成功次数X的概率分布，其中每次实验的成功概率为p。

2.二项分布的概率质量函数（PMF）：二项分布的概率质量函数公式为P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n个实验中选择k个成功的组合数。

3.二项分布的期望：二项分布的期望E(X)可以通过公式E(X)=n*p计算得出，它表示随机变量X的平均值。

4.二项分布的方差：二项分布的方差D(X)可以通过公式D(X)=n*p*(1-p)计算得出，它表示随机变量X的离散程度。

5.二项分布的概率质量函数的性质：二项分布的概率质量函数随着k的增大而减小，且当k=np时，概率取得最大值。

6.二项分布的实际应用：二项分布广泛应用于现实生活中，如抛硬币试验、药物疗效试验等。通过二项分布的计算，可以对实验结果进行分析和预测。

7.二项分布的计算方法：通过二项分布的公式，可以计算出给定参数下的概率、期望和方差。此外，还可以利用统计软件或在线计算器进行二项分布的计算。

8.二项分布的图形表示：二项分布可以通过条形图、折线图或直方图进行表示，直观地展示不同成功次数的概率分布。

9.二项分布与其他分布的关系：二项分布是泊松分布的特例，当泊松分布的λ=np时，泊松分布可以转化为二项分布。

10.二项分布的扩展：除了标准二项分布，还有一些特殊的二项分布，如参数二项分布、负二项分布等，它们具有不同的概率质量函数和性质。

当堂检测：

1.一个袋子里有5个红球和4个蓝球，随机取出一个球，取到红球的概率是3/4。如果重复取球直到取出一个红球，求取出红球的数量X的概率分布。

2.某药物临床试验中，200名患者接受了治疗，其中有120名患者康复。假设康复的概率是2/3，求康复人数X的概率分布。

3.抛掷一枚硬币5次，求恰好出现3次正面的概率。

4.一个班级有30名学生，其中有18名女生。随机选择一名学生，求选择到女生的概率。

5.某商店进行促销活动，购买一件商品可获得一次抽奖机会，奖品设置为100元现金券、50元现金券和不获奖三种情况。假设抽中100元现金券的概率是1/10，抽中50元现金券的概率是1/5，求抽奖一次获得50元现金券的概率。

6.某学校的篮球比赛中，甲队和乙队的胜率分别是0.6和0.4。假设比赛结果只有甲胜、乙胜和平局三种可能，求甲队获胜的期望胜场数。

7.一位老师给10名学生进行测验，已知每位学生独立完成测验的概率是0.8。求至少有8名学生及格的概率。

8.某工厂生产的产品质量合格的概率是0.9，每个产品是否合格是独立的。求生产100个产品中，恰好有10个不合格产品的概率。

9.一位学生参加数学、英语和物理三科竞赛，已知他在这三科中分别获得第一名的概率是0.2、0.3和0.4。求他至少在这三科中获得一个第一名的概率。

10.某班级有男生和女生共计60人，其中男生的数量是女生的两倍。随机选择一名学生，求选择到男生的概率。

请学生在规定时间内完成上述练习题，教师将对学生的答案进行批改和讲解。通过当堂检测，学生可以巩固所学知识，提高解决问题的能力。教学反思本节课的教学内容是二项分布，通过讲解和练习，学生对二项分布的概念、概率质量函数、期望和方差有了初步的了解。但教学过程中仍存在一些问题，以下是我的教学反思：

首先，在讲解二项分布的概率质量函数时，我发现部分学生对组合数的计算存在困难。为了更好地帮助学生理解，我可以在教学过程中增加一些组合数的计算练习，让学生在实际操作中掌握组合数的计算方法。

其次，在讲解二项分布的期望和方差时，我发现部分学生对这些概念的理解不够深入。为了帮助学生更好地理解这些概念，我可以在教学过程中通过实例进行讲解，让学生通过实际问题来理解期望和方差的含义。

再次，在课堂互动环节，我发现部分学生不愿意主动参与讨论。为了提高学生的参与度，我可以在教学过程中设计一些有趣的问题和讨论话题，激发学生的兴趣和参与热情。

此外，在当堂检测环节，我发现部分学生的答题速度较慢，对二项分布的计算方法掌握不够熟练。为了提高学生的计算能力，我可以在教学过程中增加一些计算练习，让学生在实际操作中掌握二项分布的计算方法。

最后，在教学过程中，我发现部分学生对二项分布的实际应用场景不太了解。为了帮助学生更好地理解二项分布的应用，我可以在教学过程中通过实际案例进行讲解，让学生了解二项分布在不同领域的应用。典型例题讲解1.例题1：

题目：一个袋子里有5个红球和4个蓝球，随机取出一个球，取到红球的概率是3/4。如果重复取球直到取出一个红球，求取出红球的数量X的概率分布。

解答：

X的取值范围是0到n，其中n为取球次数。取到红球的数量X的可能取值为0,1,2,...,n。

根据题意，每次取球取到红球的概率是3/4，因此取到蓝球的概率是1/4。

根据二项分布的概率质量函数公式，我们可以计算出取出红球的数量X的概率分布。

P(X=k)=C(n,k)*(3/4)^k*(1/4)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n个实验中选择k个成功的组合数。

通过计算，我们得到取出红球的数量X的概率分布如下：

P(X=0)=C(n,0)*(1/4)^n=(1/4)^n

P(X=1)=C(n,1)*(3/4)^1*(1/4)^(n-1)=3(1/4)^(n-1)

P(X=2)=C(n,2)*(3/4)^2*(1/4)^(n-2)=3(1/4)^(n-2)

...

P(X=n)=C(n,n)*(3/4)^n*(1/4)^0=(3/4)^n

因此，取出红球的数量X的概率分布为：

P(X=0)=(1/4)^n

P(X=1)=3(1/4)^(n-1)

P(X=2)=3(1/4)^(n-2)

...

P(X=n)=(3/4)^n

2.例题2：

题目：某药物临床试验中，200名患者接受了治疗，其中有120名患者康复。假设康复的概率是2/3，求康复人数X的概率分布。

解答：

X的取值范围是0到200，其中200为患者总数。康复人数X的可能取值为0,1,2,...,200。

根据题意，康复的概率是2/3，因此不康复的概率是1/3。

根据二项分布的概率质量函数公式，我们可以计算出康复人数X的概率分布。

P(X=k)=C(200,k)*(2/3)^k*(1/3)^(200-k)，其中C(200,k)表示从200个患者中选择k个康复的组合数。

通过计算，我们得到康复人数X的概率分布如下：

P(X=0)=C(200,0)*(1/3)^200=(1/3)^200

P(X=1)=C(200,1)*(2/3)^1*(1/3)^(200-1)=2(1/3)^199

P(X=2)=C(200,2)*(2/3)^2*(1/3)^(200-2)=2(1/3)^198

...

P(X=200)=C(200,200)*(2/3)^200*(1/3)^0=(2/3)^200

因此，康复人数X的概率分布为：

P(X=0)=(1/3)^200

P(X=1)=2(1/3)^199

P(X=2)=2(1/3)^198

...

P(X=200)=(2/3)^200

3.例题3：

题目：抛掷一枚硬币5次，求恰好出现3次正面的概率。

解答：

X的取值范围是0到5，其中5为抛掷次数。恰好出现3次正面的可能取值为3。

根据题意，抛掷硬币出现正面的概率是1/2，因此出现反面的概率也是1/2。

根据二项分布的概率质量函数公式，我们可以计算出恰好出现3次正面的概率。

P(X=3)=C(5,3)*(1/2)^3*(1/2)^(5-3)=10*(1/2)^3

因此，恰好出现3次正面的概率为：

P(X=3)=10*(1/2)^3

4.例题4：

题目：一个班级有30名学生，其中有18名女生。随机选择一名学生，求选择到女生的概率。

解答：

X的取值范围是0到30，其中30为学生总数。选择到女生的可能取值为0,1,2,...,18。

根据题意，选择到女生的概率是18/30。

根据二项分布的概率质量函数公式，我们可以计算出选择到女生的概率分布。

P(X=k)=C(30,k)*(18/30)^k*(12/30)^(30-k)，其中C(30,k)表示从30名学生中选择k名女生的组合数。

通过计算，我们得到选择到女生的概率分布如下：

P(X=0)=C(30,0)*(12/30)^30=(12/30)^30