专项突破8 带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题-2025届高三一轮复习物理

专项突破8带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题对应学生用书P257题型一三类动态圆及其用法模型适用条件规律方法图例平移圆同源同速率同向异点入射点不确定,入射方向及在磁场中运动的轨道半径确定,圆周运动的圆心应该落在垂直于入射方向的直线上,则可以通过移动轨迹圆的方法来探求临界情形缩放圆同源同点同向异速率入射方向确定,其轨迹圆心落在过入射点垂直于入射方向的射线上,入射速度大小不确定,结合半径可能的变化对轨迹圆进行放大或缩小,从而寻找轨迹圆与磁场边界的相切情形,由此则可以发现临界点旋转圆同源同点同速率异向入射点、速度大小确定,轨迹半径是一定值。入射点必然在运动轨迹上,粒子的入射方向不确定,圆心的位置发生旋转,通过旋转轨迹圆的方法来探求轨迹与磁场边界相切的情形,进而明确临界点的位置角度1平移圆模型(2024届龙岩检测)(多选)如图所示,直角三角形ABC区域内有垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出),AC边长为l,∠B=30°,一群比荷为qm的带正电粒子以相同速度在CD范围内垂直AC边射入,从D点射入的粒子恰好不从AB边射出。已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t,粒子在磁场中运动的最长时间为53t,不计粒子的重力及粒子间的相互作用力,则()A.磁感应强度大小为πB.粒子运动的轨迹半径为37C.粒子射入磁场的速度大小为3D.粒子在磁场中扫过的面积为63+3答案CD解析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,垂直BC边射出的粒子在磁场中运动的时间t=14T=πm2qB,解得B=πm2qt,A项错误;设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ,则有θ2πT=θmqB=53t,解得θ=5π6,画出该粒子的运动轨迹如图,设轨迹半径为R,由几何知识得Rcos30°+Rcos30°=l,可得R=237l,B项错误;粒子射入磁场的速度大小v=π2Rt=3πl7t,C项正确;从D点射入的粒子恰好不从此类粒子源能在同一平面内沿某一方向发射速率相同的同种带电粒子,圆周运动的轨迹一样,“多中找一”,认真规范地作出一个轨迹圆,移动该圆来寻找解题思路。角度2缩放圆模型(2024届荆州练考)如图所示,在理想的虚线边界内有范围足够大的匀强磁场,ab、cd段水平,bc、de段竖直,且ab=cd=32bc。在纸面内大量质子从a点垂直于ab以不同速率射入磁场,不计质子间的相互作用力和质子的重力,则从边界de垂直射出的质子与在磁场中运动时间最长的质子的速率之比为()。A.3∶2 B.36∶13 C.9∶4 D.36∶17答案B解析画出质子的运动轨迹如图所示,设bc长度为2L,则ab=cd=3L,从边界de垂直射出的质子,轨迹如图中圆弧1所示,其半径R1由几何关系可知R1=ab+cd=6L,设质子过bcde上一点g,当∠Oag最大时,∠aOg最小,质子运动时间最长,O为质子做圆周运动的圆心,由几何知识可知,当质子过c点时,质子运动时间最长,轨迹如图中圆弧2所示,设半径为R2,则有(3L-R2)2+(2L)2=R22,得R=136L,由qvB=mv2R,得v=qBRm,知质子在磁场中运动速率之比等于半径之比,所以从边界de垂直射出的质子与在磁场中运动时间最长的质子的速率之比v1∶v2=R1∶R2=此类粒子源能在同一平面内沿某一方向发射速率不同的同种带电粒子,各带电粒子的圆轨迹有一个公共切点,且各圆的圆心分布在同一条直线上,如图1所示。如图2所示的情形,速率大的带电粒子所走过的路程长,对应大圆,所对的弦更长,对应的弦切角更小,所以比较该类粒子在有界磁场中的运动时间,一般利用弦切角来比较较为便捷。角度3旋转圆模型(2024届黄冈二模)(多选)如图所示,ab为一足够大感光板,板下方有一匀强磁场,板面与磁场方向平行,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度大小B=0.60T,在到ab的距离l=16cm处,有一个点状的α粒子放射源S,它在纸面内同时向各个方向均匀连续发射大量α粒子,α粒子的速度大小v=3.0×106m/s。已知α粒子的比荷qm=5.0×107C/kg,α粒子撞在感光板上便会被吸收。不考虑粒子重力及粒子间作用力,sin53°=0.8,cos53°=0.6,下列说法正确的是()。A.撞在感光板ab上的α粒子在磁场中运动的最短时间为53π270×10-7B.撞在感光板ab上的α粒子在磁场中运动的最长时间为π3×10-7C.撞在感光板ab上的粒子数占发射的总粒子数的53D.感光板ab上有粒子撞击的区域长度为16cm答案AC解析用R表示轨道半径,则有qvB=mv2R,可得R=0.1m,周期T=2πmqB,粒子在磁场中运动的圆心角θ最小时,弧长最短,运动时间最短,最短弧长为S与ab垂直的距离,则有sinθ2=l2R,可得θ=106°,α粒子在磁场中运动的最短时间tmin=θ360°T=53π270×10-7s,A项正确;撞在感光板ab上的α粒子在磁场中运动的弧长最长时,运动时间最长,则粒子到达ab板时与板相切于P2,如图甲所示,由几何关系可得圆心角∠P2O2S=θ'=180°+β,cosβ=0.16-0.10.1=0.6,所以β=53°,θ'=233°,最长运动时间tmax=θ'360°T=233π540×10-7s,B项错误;粒子的运动轨迹与感光板ab分别相切于P1、P2,圆心在以S为圆心,半径为R的圆弧O1O2上的α粒子均可打在感光板上,如图甲所示,由几何关系可得∠O1SO2=2β=106°,则撞在感光板ab上的粒子数占发射的总粒子数的比例n=∠O1甲乙如图所示,在直角坐标系xOy中,x轴上方有匀强磁场,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向外。许多质量为m、电荷量为+q(q>0)的粒子以相同的速率v从原点O沿纸面内x轴负方向到y轴正方向之间的各个方向射入磁场区域。不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域,其中R=mvqB,则正确的图是()。ABCD答案D解析如图,从O点沿x轴负方向射入的粒子,轨迹为圆,和x轴相切于O点,在x轴上方,半径为R;沿y轴正方向射入的粒子,轨迹为半圆,在y轴右侧,和x轴交点距O点为2R;沿其余方向射入的带电粒子,轨迹最远点均在以O为圆心、半径为2R的圆周上。由以上分析结合定圆旋转法,可知D项正确。粒子源在同一平面内,沿各个方向发射相同速率的同种带电粒子,这类问题可以归结为这样一个几何模型:如图所示,有一半径为R的圆,绕圆周上一个定点P转动一周,圆平面扫过的面积就是以P为圆心、以2R为半径的圆的面积,圆上任意一点都绕P点转动了一周,比较不同粒子在磁场中的运动时间可以比较轨迹圆在磁场中的弧长,弧越长,圆心角越大。要准确把握这一几何模型,需要认识和区分三种圆。(1)轨迹圆:每个粒子在磁场中均以半径R1=mvqB做匀速圆周运动,随着入射点P处速度方向的改变,这些轨迹圆可以看作是以圆周上的点P为定点旋转构成的一系列的动态旋转圆,(2)圆心圆:在轨迹圆旋转过程中,这些轨迹圆的圆心的轨迹在以P为圆心、半径与轨迹圆半径相等即R2=mvqB的圆上,(3)边界圆:在轨迹圆旋转过程中,各轨迹圆上离圆心最远的点构成的轨迹也是一个圆,这个圆也是粒子能够到达的区域,其圆心是P,半径为轨迹圆半径的两倍,即R3=2mvqB题型二磁发散与磁聚焦磁发散与磁聚焦的原理(以磁发散为例):如图所示,磁场边界圆的半径等于粒子轨迹圆的半径。A是边界圆上粒子的入射点,cd是过圆上A点的圆的切线,B是粒子的出射点,O1是磁场边界圆的圆心,O2是粒子轨迹圆的圆心,连接AO1BO2,由于磁场边界圆的半径等于粒子轨迹圆的半径,则AO1BO2一定是菱形,因而AO1平行于BO2,因为出射粒子的速度方向垂直于BO2,也就垂直于AO1,从而平行于AO1的垂线cd。磁聚焦和磁发散是相反的过程,满足运动的可逆性。角度1磁发散模型(改编)(多选)如图,一圆心为O的圆形区域内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。一群质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子在纸面内从图中磁场边界O'点以初速度v沿不同方向射入磁场,其中沿半径射入的粒子速度方向偏转90°射出磁场,已知圆形磁场区域半径为2mv03qB,不计粒子重力。下列说法正确的是A.v=23vB.v=32vC.所有粒子出射方向平行D.所有粒子偏转角度相同答案AC解析沿半径射入的粒子偏转90°射出磁场,说明轨迹半径r等于磁场半径R,则由洛伦兹力提供向心力有qvB=mv2r,R=2mv03qB,解得v=23v0,A项正确,B项错误;根据磁发散模型可知,所有粒子的出射方向均平行,C项正确;(2024届辽宁模拟)(多选)如图所示,在以O为圆心、AC为直径的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场,A、C、Q、P是一矩形的四个顶点,AP=3AO,PQ处放置一感光板。一位于A点的粒子源可在ACQP平面内发射大量质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(不计重力)。已知以速率v从A点沿AO方向射入磁场的粒子,经磁场偏转后,恰好垂直打到感光板上。下列说法正确的是()。A.圆形区域的半径为3B.以速率v从A点射入磁场的粒子从A点运动到PQ上用时可能为4C.以速率2v从A点射入磁场、从C点射出磁场的粒子在磁场中运动的时间为πD.若粒子从A点沿AO方向射入磁场,最后恰好到达P点,则该粒子射入磁场时的速率为3答案BCD解析以速率v从A点沿AO方向射入磁场的粒子,经磁场偏转后,恰好垂直打到感光板上,由几何知识可知该圆形区域的半径恰好等于粒子在磁场中运动的半径,根据Bqv=mv2r可得r=mvqB,即圆形区域半径为mvqB,A项错误;若粒子以速率v从A点水平向左飞入磁场,则由A项分析可知粒子在磁场中运动的轨迹的圆心将位于O点,粒子从C点沿CQ运动到PQ上,依题意,可得用时t=T2+3rv,又qvB=mv2r,T=2πrv,得T=2πmqB,联立可得t=(π+3)mqB>4mqB,结合几何知识可知,粒子从A点运动到PQ上用时可能为4mqB,B项正确;以速率2v从A点射入磁场,则粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为2r,从C点射出磁场,由几何知识可求得此时粒子运动轨迹所夹弧所对应的圆心角为60°,则该粒子在磁场中运动的时间t=T6=πm3qB,C项正确;依题意,若粒子从A点沿AO方向射入磁场角度2磁聚焦模型(2024届松滋月考)(多选)如图所示,半径为R的14圆形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场,过(-2R,0)点垂直x轴放置一线型粒子发射装置,该装置能在0<y<R的区间内各处沿x轴正方向同时发射出速度均为v、带正电的同种粒子,粒子质量为m,电荷量为q。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。若某时刻粒子被装置发射出后,经过磁场偏转恰好击中y轴上的同一点,则下列说法中正确的是()。A.粒子击中点距O点的距离为RB.磁场的磁感应强度为mvC.粒子离开磁场时速度方向相同D.粒子从离开发射装置到击中y轴所用时间t的范围为2Rv≤t答案ABD解析由题意,某时刻发出的粒子都击中y轴上同一点,由发射装置最高点射出的粒子只能击中(0,R),则击中的同一点只能是(0,R),即粒子击中点距O点的距离为R,A项正确;从最低点射出的也击中(0,R),那么粒子做匀速圆周运动的半径为R,由洛伦兹力提供向心力有qvB=mv2R,可得磁感应强度B=mvqR,B项正确;粒子运动的半径都相同,但是入射点不同,所以粒子离开磁场时的速度方向不同,C项错误;整个过程粒子的速率不变,故粒子运动的时间正比于轨迹的长度,所以从最低点射出的粒子运动的时间最长,由此可得粒子从离开发射装置到击中y轴所用的最长时间t1=T4+Rv=14×2πRv+Rv=(π+2)R2v,见《高效训练》P871.(多选)如图所示,两个半径均为R且外切的圆的圆内部分区域存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一束宽度为R2、质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子流以平行速度v=BqRm垂直射入磁场,这束粒子经过两圆内磁场区域后方向改变了180°。不计粒子的重力及带电粒子之间的相互作用,则两圆内磁场区域分布情况(用阴影部分表示)可能为()ABCD答案BC解析带电粒子在磁场中做圆周运动的半径r=mvBq=R,由“磁聚焦与磁发散”现象知,所有粒子运动轨迹均经过两圆相切点(如图所示),可知B、C两项符合题意,A、D2.(多选)如图所示,空间有一个底角均为60°的梯形,上底与腰长相等,均为L,梯形处于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场中,现c点存在一个粒子源,该粒子源可以源源不断射出速度方向沿cd、大小可变的电子,电子的比荷为k,为使电子能从ab边射出,则电子的速度大小可能为()。A.3kBL2 BC.53kBL6 答案BC解析能够从ab边射出的电子,从b点射出时的轨迹半径最小,如图甲所示,由几何关系可知r1=Lcos30°=233L,半径最大为从a点射出,如图乙所示,由几何关系可知r2=3L,由牛顿第二定律有qvB=mv2r,解得r=mvqB=vkB,则有233L≤vkB≤3L,为使粒子能从ab边射出磁场区域,粒子的速度范围为甲乙3.(2024届孝感期末)空间存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面,线段MN是屏与纸面的交线,长度为4L,其左侧有一粒子源S,可沿纸面内各个方向不断发射质量为m、带电荷量为q、速率相同的粒子;SP⊥MN,P为垂足,如图所示,已知SP=MP=L。若MN上所有的点都能被粒子从其右侧直接打中,则粒子的速率最小为()。A.2qBLm BC.5qBLm D答案C解析粒子要打中MN右侧所有位置,最容易的方式为粒子从S处飞出,绕过距离最近的M点,从右侧打中MN最下端的N点,粒子运动的轨迹如图所示,MN为轨迹圆的弦长,设Q为MN中点,则SP=PQ=L,MQ=2L;设粒子运动的半径为r,根据几何关系可知四边形SPOQ为平行四边形,则r2=OQ2+MQ2,解得r=5L,粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律可知qvB=mv2r,解得粒子的最小速率v=5qBL4.(2024届昆明期中)(多选)如图所示,空间中有半径为R的圆形匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面,在距圆心O为R2处有一粒子源,t=0时刻,该粒子源沿纸面内的任意方向均匀发射出速度大小相同的大量带电粒子,粒子比荷均为k,粒子在磁场中运动的半径为R2,则(A.粒子在圆形磁场区域中运动的最短时间为πB.粒子在圆形磁场区城中运动的最短时间为πC.2π3kB时刻,出磁场与未出磁场的粒子数之比为D.2π3kB时刻,出磁场与未出磁场的粒子数之比为答案AD解析如图甲所示,当粒子的轨迹以AB为弦长时,粒子在磁场中经历的时间最短,由几何关系得圆心角为60°,故粒子在圆形磁场区域中运动的最短时间t=16T=π3kB,A项正确,B项错误;因粒子均匀分布于各个方向,如图乙所示,当t=13T=2π3kB时,由几何关系知,出磁场与未出磁场的粒子数之比为1∶5.(2024届滨洲模拟)(多选)如图所示的正方形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场,一带电粒子从ad边中点e沿ec方向射入磁场。当入射速度大小为v时,粒子恰好从bc边中点f飞出磁场。不计粒子所受重力。下列说法正确的是()。A.当粒子速度大小为2v时,粒子离开磁场时的速度方向与磁场边界垂直B.当粒子速度大小为23v时,粒子在磁场区域运动过程中速度方向改变了C.粒子两次入射速度大小分别为v1、v2,在磁场中运动的时间分别为t1、t2,若v1<v2<v,则有t1≥t2D.若粒子入射速度大小合适,可能从ab边界上任一点飞出磁场答案ABC解析由左手定则判断,粒子带负电,做匀速圆周运动,有qvB=mv2r,则r=mvqB,周期T=2πrv=2πmqB,设正方形边长为L,粒子射入速度方向与ef夹角为θ,有tanθ=12,当粒子射入速度大小为v时,轨迹对应的圆心角为2θ,运动时间t=2θ360°T,由几何关系可得r=12Lsinθ=52L;当粒子速度大小为2v时,轨迹半径r1=2mvqB=2r,粒子的轨迹圆心恰好位于cb边的延长线上,如图甲所示,粒子离开磁场时速度方向应与磁场边界垂直,A项正确。设粒子速度大小为v2时,粒子在磁场区域运动过程中速度方向改变了90°,如图乙所示,由几何关系可得r2sinθ+r2cosθ=L,解得r2=53L=23r,轨迹半径r2=mv2qB,即v2=23v,B项正确。粒子入射速度变小,轨迹半径变小,粒子两次射入的速度大小分别为v1、v2,只要两次不都是从ea边射出,v1<v2时,轨迹半径r1<r2,轨迹对应的圆心角θ1>θ2,则有t1>t2;当两次都是从ea边射出时,轨迹对应的圆心角θ1=θ2,6.在如图所示的xOy直角坐标系中存在磁场方向垂直纸面向外的有界匀强磁场区域,磁感应强度大小为B,原点O处有一个可以发射比荷均为k、速率均为v的带正电的粒子源。若发射的粒子仅从第三象限在xOy平面内向各个方向射入有界磁场,最终所有粒子均平行于x轴正方向射出有界匀强磁场区域,不计粒子的重力,则这个有界匀强磁场区域的最小面积为()。A.πv24C.πv2B答案C解析粒子沿垂直磁场方向进入匀强磁场,在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有qvB=mv2r,得r=vBk。画出部分粒子在匀强磁场中的运动轨迹,如图,由图可知粒子仅从第三象限在xOy平面内向各个方向射入有界匀强磁场,所扫过的面积为图中的阴影部分面积,此阴影面积即为有界匀强磁场区域的最小面积,根据几何关系可得S=14π(2r)2=7.(多选)如图,坐标原点O处有一粒子源,能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m、带电荷量为q的正粒子(不计重力),所有粒子速度大小相等。圆心为(0,R)、半径为R的圆形区域内,有垂直于坐标平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。磁场右侧有一长度为R、平行于y轴的光屏,其中心位于(2R,R)。已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后,恰能垂直射在光屏上,则()。A.粒子速度大小为qBRB.所有粒子均能垂直射在光屏上C.能射在光屏上的粒子,在磁场中运动时间最长为2D.能射在光屏上的粒子的初速度方向与x轴正方向的夹角满足45°≤θ≤135°答案AC解析由题意,初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后,恰能垂直射在光屏上,有qBv=mv2r,则r=mvBq=R,解得v=BqRm,A项正确;由于粒子的出射点分布在y轴上的0~2R内,且出射速度均沿x轴正方向,而光屏的长度为R,故只有一部分粒子能垂直打在光屏上,B项错误;如图甲,由几何关系可得,运动时间最长的粒子对应轨迹的圆心角为23π,根据周期公式T=2πrv可得t=2π32πT=13T=2πm3Bq,C项正确;设粒子初速度方向与x轴正方向的夹角为θ时,若能打在光屏下端,如图乙所示,由几何关系可得圆心角θ=60°,即初速度与x轴正方向的夹角θ1=60°8.(2024届长沙联考)(多选)一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外,其边界如图中虚线所示,其中射线bc足够长,∠abc=135°,其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子,在纸面内从a点垂直于ab射入磁场,这些粒子的速率不同,不计粒子重力和粒子之间的相互作用,以下说法正确的是()。A.从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等B.从a点入射的粒子速度越大,在磁场中运动的时间越长C.粒子在磁场中的最长运动时间不大于πD.粒子在磁场中的最长运动时间不大于3答案AD解析画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图,如图所示,若粒子都从ab边射出,则运动轨迹都是半圆,运动时间都相等,为πmqB;若粒子都从bc边