2019年4月《浙江省新高考研究卷》数学卷1-5卷答案

2019年4月《浙江省新高考研究卷》数学(一)参考答案

一、选择题部分(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

1.【答案】C【命题意图】考查集合、交集、补集的概念.

【解析】A=(0,2),8=[1,田)，A&8)=(v⑵

2.【答案】A【命题意图】考察复数的运算，共腕复数的概念.

【解析】z-z+z2=2a2+2abi=2+2i,则/=1,。〃=i=3=i

b

3.【答案】B【命题意图】考察椭圆中的基本概念

【解析】长轴长为2a=6.

4.【答案】D【命题意图】考察立体几何中的线面位置关系

【解析】相〃/,/是面6内一条直线，且相(z/7,由线面平行的判定定理，m//£

5.【答案】C【命题意图】考察线性规划综合应用能力

【解析】由题意画出可行域，如图阴影所示，目标函数

z=x+y中变量z的值看做直线y=-x+z在y轴上的截距，则直

线经过点8(1,-3)时截距最小，，2皿1,=1-3=-2

6.【答案】D【命题意图】考察函数图象与性质的分析应用能力.

【解析】选项D中当xf0+时，/(%)-»+oo,贝Ua>0.(因为若a<0,x-0+时，/(%)-»-oo)

而。>0,函数/(x)的零点为1+版选项D存在零点为e(0,1),不符题意.

7.【答案】D【命题意图】考察数列与函数的概念，简易逻辑及周期性的应用.

【解析】先考虑必要性：/(x)=|X，%gZ,若““=/(〃)，则a“=l,数列｛七｝为周期数列，而函数

[\,XGZ

/(x)非周期函数.再考虑充分性：/(x)=sinx,若a,=/(〃)=sin。。，则/(x)=sinx为周

期函数，而数列｛%｝非周期数列.故为既不充分也不必要条件.

8.【答案】A【命题意图】考察不等式的性质与基本不等式.

1

1r21r2X+~9

【解析】因为当xe(0,l)时，一二+―二〉一J一7=——

1+x\+x2l+x+x21+x+x2j,13

l+x+—

X

2222

'1+—r<—1二r=1,所以42<1-!X-+又x=i,'1+jX=i,

\+xl+x-1+x1+r3\+x1+k14-x1+x

.*•k=—

6

9.【答案】D【命题意图】考察数列的单调性与综合运用.

【解析】命题①中，考虑d=：,则首先4>0,其次

。，用-4=d+d-(dT+d)=3“+«„-1)(«„且4=d+d=堤>；，则数列｛七｝为

Io4

递增数列，又为<；，则他,J有界，故命题①不成立；命题②中数列单调递减，即满足

2।/八/1-y/l—4d1+J1-4d乜

生出一。“二4一。“+1<°=。〃£(---------，---------)，故

M=max｛||,||)必是该数列的上界

10.【答案】B【命题意图】考查轨迹方程的思想及空间想象能力.

【解析】AP=3PC,即阿氏圆的空间形式——为图中的球。，半径为辿，。c,

4

则问题转化为球面上一点尸，满足5Vsi4=：;点O到直线BQ的：'

距离|OE|=Jg">+号夜尸=乎，所以点尸到直线BtD,的距

离范围为［孚，苧］,而:|BQM=gn/7=苧厕球面上唯一一点P(即OE与球

面交点)满足条件.

二、填空题部分(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分)

11.【答案】1;1【命题意图】考察分布列数学期望的概念与方差的性质

2

【解析】E(X)=0xl+1x1=1；Z)(X)=(0--)2xl+(l--)2x-=-

22222224

£>(2x+D=4Q(x)=l

12.【答案】18;24【命题意图】考察二项式定理的应用及赋值法

3f(

【解析】(1)Tr+I=C；(3x)-(-l).故展开式的常数项为±岂=2.穹3(-1)2=18

X

(2)令x=l,即可得所有项的系数和是3x23=24.

13.【答案】2;3【命题意图】考察几何体的三视图和体积公式，同时考查空间想象能力.

【解析】还原几何体为四棱锥O-BCCE，

V=gsBgE/=；t（l+2>2-2=2

最长棱£>E=J12+22+22=3

14.【答案】行；更【命题意图】考察解三角形的应用及求值的思想

5

【解析】AABC中，cosNB4C='，且A0为角平分线，设

3

fl+Jr

ZBAD=a,cosa=\——-=——，AABD中，

V23

AB=2五,ADf可得S：后心”也由余

弦定理可得80=6，则

ABACBC,易知

ZADC^la^ABAC,显然可得AABCSA/MC,

AD-DC-AC

“6夜八八3上

AC=---,=---.

55

15.【答案】78【命题意图】考察分类加法计数原理以及分步乘法计数的原理的应用.

【解析】五人中选四人去：分为两种情况①甲乙均入选②甲乙其中一人入选.

①从剩下3人中挑2人C；,假设甲乙丙丁四人参加,若甲去B,则剩下三人可以任意选择

可；若甲不去B,则乙也不能选择B,则为2-2&,共有C1（4；+2-2&）=42种.

②若甲丙丁戊入选，甲不能去A,则共有3用=18种；同理乙丙丁戊入选也为18种.

综上所述，42+2x18=78种.

16.【答案】巫【命题意图】考察向量的综合性质与数形结合应用能力.

3

【解析】c=xa+汕，由孙=1可得c终点的轨迹为双曲线，且满足-----达—笠F-----r

a,b所在直线为渐近线，则双曲线的对称轴在a,h的角平分

线，如图所示，又因<。/>=工，则2=百；双曲线上的点到两渐近线的距离乘积为

3a

一个常数学】，其中a力为双曲线的长半轴与短半轴，则学】=3肛=3,则

力=l,c=2；|c+〃a+份|一|。-4〃+力)|为定值即双曲线上的点到焦点的距离差

为定值2a,BP|/L(a+Z?)|=2=＞A=-V3

3

17.【答案】-【命题意图】考察函数的图象和性质.

4

【解析】/(3)=947+3fe--,/(7)=49a+7/?--,|/(7)|W2,"(3)|W2

44

由绝对值不等式13/(7)-7/(3)W3"⑺|+7"⑶|=20,

则13/⑺一7/(3)R84a+1忌20,841a|-184a+1W20目a工；

4

i31

又当。=一彳力=5时,f(幻1rtli=/(3)=2,/(x)nm=八7)=-2..'Ja|nm=

三、解答题部分(本大题共5小题，满分74分)

18.【命题意图】考察向量的坐标运算，三角函数恒等变换、二倍角公式、配角公式、单调性等基础

知识，同时考察运算求解能力

【答案】(1)(--+^,-+^)aeZ)(2)—

3625

【解析】

(1)f(x)=ah=cosx+5/3sinx=2sin(x+—)(4分)

6

解得一1+2攵乃＜%+看＜1+2攵%(攵£2)=%£(一5+%万,看+攵》)(攵£2),(8分)

(2)/(x0)=2sin®+g)=$nsin(x0+^)=|

o5o5

cos(2x(,+f)=l-2sin2(为+g)=[(14分)

3o25

19.【命题意图】考察空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考察空间想象能力和运算

求解能力.

【答案】(1)证明见解析；(2)5出。=叵

19

【解析】

(1)取他中点£,连接作在1B)交加于点f,连接AF,不妨设/W=a)=23C=2.

,/分别是43,AC中点.

MEHBC,又

AB1ME.

\BCD中CD=2,BC=\,ZBCD=120由余弦定理可得

BD=不.

又AB工BC,AB=2,BC=1,则AC=心.

V2T2x/7

CF=—,BF=—!—.：.DF=

77BD-BF与

^AF2=AB2-BF2=—,则ar）=j4尸'+£）尸2=疗.

7

等腰A43D,E为中点,则

43，面朋D£=/W_LMD.（6分）

（2）作AGLMD,交.MD于点G.

由（1）得MD_LAB,又MD_LAGnA®_L面ABG.

则面A8G_L面MBD

二/ABG为所求角.（9分）

△AMDNXBMD,AD=4i,CD=2,AC=&

易知AG=BG=

贝i」sinNA3G=^.（15分）

20.【命题意图】考察等差等比数列的通项与前n项和，考察数列奇偶项分别求和以及裂项相消法,

同时考察运算求解能力.

Qn-\

—（4/，+1-1）4-，〃为奇数

154（〃+1）

［答案］(1)%=2〃+1,S=n2+2n⑵（=

nQn

—（4Z,-1）+，〃为偶数

1545+2）

【解析】

(1)令”=1,$2=2£+2=%-4=2，又等差数列｛%｝，则公差d=2

【｛4｝为等差数列，则5㈤“-$2“成等差数列，且公差为.

则52“-25,=力/,由题意可得公差4=2】

又q,a4M13成等比数列n。：=443,nq=3.

2

an=2n+1.S“=n+2n.(6分)

(2)①〃=2%-1,b,、=*=24

则A=8匕吃=§(16"-1).

乜1-1615

®n=2kfh=-------=----------=-(--------)

〃〃(〃+2)2k(2k+2)4kk+\

&=5£+力+E寸4(4k+1)

(10分)

Qn-\

A”+i+纥-为奇数会(4川-1)+，〃为奇数

4(〃+1)

22即7=<

则<=,Q(15分)

A„+Bn，〃为偶数'"一n

—(4"-1)+，〃为偶数

,22154(n+2)

21.【命题意图】考察椭圆的儿何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基

本思想方法和综合解题能力

【答案】(1)斜率之积为-2；(2)-4.

4

【解析】

(1)设直线AB:y=%(x-l),则直线CD:y=―-(x-1)

k

V2,

联立直线椭圆方程T+J=1

y=(k-x

n(2k2+l)x2-4k2x+2*-2=0

Ab2Dk??b

则不+W=-^-，中点#-),同理N(^—

1-2k2+\21c+\2炉+1k2+2k2+2

1b1

直线OM：y=-—x,直线ON：y=-x,斜率之积为定值-上,(4分)

2k24

—+/=!

(2)直线OM与椭圆三十丁=1联立,2

2-1

V=---X

2k

言告，同理IOQ心k21.

=Xp=则|OP|=三(8分)

4

21kl

\OP\J2k2+]__

\OQ\

解得好=4,8里=_/=_4.（15分）

k0>

22.【命题意图】考察函数单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能

力，分析问题和解决问题的能力.

【答案】(1)(0,4)；(2)(-00,-126-*][4,-KO)

【解析】

(1)f(x)-4e'8Aev-2e-4x2+41”

f'(x)=4e『(x+De-,+l](ex-4-l)

_f(x)=0nx=4,则/(x)在(0,4)上单调递减，在(4,位)上单调递增；(4分)

(2)由(1)知，当a=2e7时，/(x)在(0,4)上单调递减，在(4,+oo)上单调递增，且/(0)=4

/(4)=-12e-4,/(8)=32-128e-4+4e-8>4

...当人€(-12/,4)时，/(x)在(0,4),(4,w)上各有一解，不满足.

be(-8,-12e泡][4,+oo)(7分)

下证〃€(-00,-12「][4,+8)时，均成立：

f'(x)=a2xex+a2ex-2ax-4e-v=e-A[iz(x+l)ev+2](ae'-2)

①当4=0时，,/',(x)<0,此时/(x)在(0,”)上单调递减，则力e/?；

当a22时，«(x+l)er+2>0,ae"-2>0,/'(x)>0,此时/(x)在(0,«»)上单调递增，

贝6eR；

当aW—2时，a(%+l)e'+2<a(x+1)2+2-2(x+1)2+2<0,aeA-2<0,/(x)>0

则此时/(x)在(0,+oo)上单调递增，则6eA；

2?

②当0<a<2时，a(x+l)e'+2>0,/(幻=Onx=ln-,则f(x)在(O,ln-)上单调递减，

aa

2222

在(In—,+oo)上单调递增，/(x),=/(ln-)=2«ln--a1n2-+2a,

aninaaa

22

令g(4)=2〃ln——a1n2—+2a,

aa

则g'(。)=-In2«+(21n2-4)ln+41n2-In22=-(In6/-In2)(ln-In2+4)

...g(a)在(0令上单调递减，在G，2)上单调递增，则g(%n=gg)=T2e7.

・••当x£(0,ln—)时，方程/(%)=/?无解；当xwUn—,+oo)时，函数单调递增，方程/(x)=/?至

aa

多一解，满足条件；

xr

③当-2<a<0时，ae-2<0,函数y=«r+l)e'+2在(0,+oo)上单调递减，玉()>O,/(xo)=O

・・・/(x)在(0,%)上单调递减，在(为,+8)上单调递增.

又・・•当avO时，/(幻>0恒成立.

•，-0</UU<4.

・•.当尤£(0,%)时，方程/(x)=b无解；当不£[%,+8)时，函数单调递增，方程/(%)=〃

至多一解，满足条件；

综上所述，力£(F,-12厂][4,物)满足条件.(15分)

2019年4月《浙江省新高考研究卷》数学（二）参考答案

1.C2.B3.D4.A5.B6.C7.A8.B9.B10.C

（第9题提示:

\a-el|+|«-e2|=max|a.(,+e2)|,|a・(q-62)1&2恒成立，所以对任意方向。+3)区2且

—♦—♦■»——♦—>■*—»—♦!>"'>—•T-2—

小(。1一02)区2,所以|〃卜(+出区2且|。忸一。2%2,即342且la区母，所以I。区名。当|。|=2

V3V3

2

时,对任意方向的a,leeil+la-ez区2恒成立，其中当a与e1-e2共线时，|a|不能超过

忑)

11.39,1512.-,(0,1)13.1,1014.27,42

2

171

15.。<-6飒>016.x<—2019痴>2019与

18.解:

(1)由asin5sin2C+bsinAcos2C=272sinB可得aftsin2C+bacos2C=2y[2b

BPab(sin2C+cos2C)=2\flb,...........5分:,a=2垃............7分

(2)由正弦定理得上=’-=，一=2叵=4&

sinBsinCsinA八.冗

sm—

6

.・.b=40sin氏c=40sinC...........9分

c-Cb=4夜(sinC-V3sinB)

...........12分

=4>/2(sin(—+3)+百sinB)=4\/2COS(JB+—)

63

八八57r71_7T1冗

0<B<———

6336

.'.-1<cos(B+—)<—

32

r.c-标的取值范围是[-4夜,2夜)......14分

19.解:

(1)证：记AC,8。的交点为O,连接0W,

矩形。是瓦XI勺中点

又M是8户I1点

:.OMDF...........4分

而OMu面AWC,DF0面AMC

DF面AMC...........7分

(2)过点A在面ADE/呐作APJ.A少，分别以AP,所在直线

XV

为谕，)，轴，z轴建立空间直角坐标系,

A(0,0,0),F(G/,0),0(0,2,0),设8(0,0,a)

设面ABF的法向量为机，面BFD的法向量为n，

由％AF=O,解得一个切=（1,_.0）

m-AB=0

同理得〃=（a,Ga,2百）

二面角4-8尸-。的平面角的正切值为2

二二面角A-防-£>的平面角的余弦值为亚.....10分

5

..\m-n\a旧

cos<〃?,n>|=--------=.-=——

Im||n|J4/+125

;.a=26,即B（0,0,2向.....12分

8。=(0,2,-2扬

\BDm\2>/3x/3

.\|cos<BD,m>|=

\BD\\m\~2X4~4

.•・直线班）与平面ABF所成角的正弦值为走

..........15分

4

20.解：

（1）数列优,｝是公比为2的等比数列，且a=2

：.b„=2n-2..........2分

222

a„={n-2):.all+l+hn=(n-1)+2"

令d,=(〃-l)2+2"-2,

则4田-d“=*+2"T_(〃_Ip_2,-2=2n-l+2"-2>0

・・・{4}是增数列.....5分

:.d"n>1dt=2-

若对一切〃EN",都有几+勿成立，则44；..........8分

(2)由题意得,>b],a2<b2,a3<b3,a4=b4,a5>b5,a6=b6,an<blt(n>J).......11分

a

Tn=bt+a2+a3+aA+%+%+%+%+…+„

=—+0+1+4+8+4-+5'+6'+'—>•(〃-2)-15分

(〃一2)(〃-1)(2〃-3)"、小

6

21.解：

22

(1)椭圆C:'+上=1

164

又抛物线E的焦点在y轴正半轴上，且它的准线过椭圆C的一个顶点.

••・抛物线E的方程为f=8y.......2分

卜2=/_8丘-8切=0

[y=kx+m

△I=6422+32/n=On%?=—g/%/./n<0•­•0........4分

三+匕=1

<164n(l+422)f+8fonr+4〃，-16=0

y=kx+m

2

△2=64公"-16(1+4公)(m-4)>0…②

由①，②解得-4-26<，"40........6分

(2)由题意得M(2,g),

由点N到MA,MB的距离相等知MN是的角平分线

^MA+=°.......8分

设A(xl,yt),B(x2,y2),AB:y=tx+n

r22

厂r1y=[

164=>(4r2+l)x2+8/HX+4n2-16=0

y=tx+n

8仞4n2-16

%+%=---；——=——;——

1-4r+114/+1

y61

•kak—

…"MA十KMB一

%—2X)—2

2txx+(n-75-2/)(%1+x)-4(n-\/3)

}22-u

(-2)

化简得，4疯2-8/+6+2岱〃一"=o...............12分

即(2人一1)(2£+〃一道)=0

M不在直线AB上

2a-1=0

故/........15分

6

22.解：

(1)若a-b=l,贝胴=a-l

f(x)=\n(cix+a—\)—x

a,-ax+\

f\x)=---------------1=-------------

ax-^a-Xax+a-1

易知aw0,由尸(x)=0Wx=—...............2分

a

当a>0时，f(x)定义域为d-L”)

a

.♦./(X)在d-1,3上递增，在d,+8)上递减

aaa

：.f(x)有极大值点!，没有极小值点...............2分

a

当av。时，/(x)定义域为(-oo,--l)

a

.•"(X)在(・8j-1)上递减

a

.•J(x)没有极值点

综上，当a>0时，f(x)有极大值点没有极小值点；

a

当a<0时，/(X)没有极值点.........6分

⑵f\x)=-^--\

ax+b

当a>0时，f(x)在(一？』-9)上递增，在(1-9,+00)上递减

aaa

/3皿=/(!--)=ln<7----<Q=>b<a-a\r\a

aa

ab<cr-a2Ina.......9分

令g(x)=f-x2\nx，则g\x)=x-2xlnx=x(l-21nx)

.•.g(x)在(0,&)上递增，在(&,+oo)上递减

•依⑴晔=g(&)=e-eln8=]

•・・(曲晔=5........12分

b

bPa一bb

当av0时，取ln(ax+h)=---bl,则%)=-----<——

0aaa

.."(%)-ln(ax()+/?)-x0>1,与f(x)<。恒成立不符

综上，外的最大值为.......15分

2

2019年4月《浙江省新高考研究卷》数学（三）参考答案

一、选择题

1.B；2.A；3.D；4.D；5.A；6.A；7.B；8.A；9.D；10.C.

提示：8.设△中4?边上的高为1,则d<——,所以‘7+二<二~,设OP=R,则

4+―/b2d2

庐卜212

—+—<—,Wtan2a+tan2p<tan2y,故选A。

ab~d

abb-c(2〃+B+3c)2-17178

9.------H--------+ca=----------------e故选Do

3212n93

10.显然数列所有项为正，数列不减，故A对；对任意正整数注2,有。2,=。2-1+%=。2-2+勺，

Z

故B对；对任意正整数iN2,a2i=a2i_2+af>2aif又〃8=1。，所以的3时，>2,故

C错；对任意正整数/2,«2,=%_2+a,<2«,..2,所以为■…故D对。

a

旬°2M-2a2m-4r

二、填空题

11.36,8；12.10,[-4,41；13.-+4+^^乃；

L」364

14.等/+:后；150,3］；16.48;17.而+1.

提示：16.抢队的车第--辆驶离有24种，抢队的车第二辆驶离有16种，抢队的车第三辆驶离有8

种，共有48种情况。

17.显然P在准线/上，作A4'_L/于4,作883/于8’,则巫L四1,所以PF是△

\BF\\BB||PB|

中加2外角平分线，又PFFQ=Q,所以FQ是△4石中“中内角平分线，所以

22

[PA[\AF\\AQ\

==r设B弓M'则4中，等)代入抛物线得〃，=加+】。

\PB\~\BF\^\BQ\

三、解答题:

18.解：

(I)T=万，69=2O

所以y(x)=sin,/£)=sing+。)=；，因为所以°所以

/(x)=sino7分

(II)g(x)=sin(x+—),/?(x)=sin(2A：+—)+2sin2(x+—)=-\/3sin(2x+—)+1>

4346

g(x)的最大值是退+l，x=—+k^,xeZo14分

6

19.解：

(I)连接CP交/W于点E,连接ME。

因为3P//平面AMN,所以ME//BP,

所以PE=EC。

作PF//CZ)交A7V于F，则尸产=CV,

所以PF=L75N,所以P是4)的中点，

2

所以2……7分

2

(H)作8GJ_AC于G,在平面D4C内作G//LGC交相)于〃，

因为AO=2AB,所以“为4£＞的中点，得ABGH是正三角形。

易得平面BGH1平面ZMC,作H于/,则/为G”的中点，连接PI,则ABPI是BP

与平面AC。所成角。当"^AD时，/BPI最大,此时几=』。

15分

16

20.解:

(I)=S]=0,所以4=0,所以4=(〃-l)d。

2

%=§2—£=4,得d的二4①；%•&=S3—$2=16,得2d的=16②；由①②得g=2。

又&=2d,所以2d2=2,得d=l,所以4=2,所以=〃-1也=2"。7分

2“十i2”

(〃一1)n

(II)-------z=----------

an+\an+2%+1)〃+1n

所以7；=N_4+A_S+24+12"2"+i

H---------------=----------2o15分

2132n+\nn+\

21.解：

(I)A(2,l)代入椭圆方程得4=3

设尸(-«/)«＞应)，

PA：y=-—(x-2)+l,代入C:±+y2=3,得

r+22

(产+2)x2-4t(t-1)x+4(r_2f-2)=0,得4=”]：『.

同理吟=—昌x+2)f代入呜+=,得

2222r4r4

(r+2)x+4/(/+l)x+4(z+2/-2)=0,得X丫=_^-

r+2

22

IPM|xM+tt-2\PN\xN+tt-2

|PA|-2+f-/+2'\PB\~-2+t~tz+1'

所以圈=儒'所以他〃皿。

7分

(II)点P(T,f)到)，=-x的距离为d=^=,\AB|=275,

2后

所以^APAB=~•2亚•=3f,

L75

r-2产-2

SJVMS=,it,所以

U+2)r+2

\2

r-2“24?

SABNM=3f--3f=-----7

(产+2)2

设小)=R/)=^P

(r+2)2(Z2+2)3

所以当f=后时，/⑺取最大值上区，即四边形面积的最大值为吨。…15分

44

22.解：

(I)设公切线/在/(x),g(x)图像上的切点分别为风〃，

121

则/：y=—7%—3---,或者/：y=—x+ln/2—1,

nvmn

9-

22

所以m~n，得〃=〃P，代入得一3---=In/w2-1,得21n(-加)+—+2=0,

,2

-3---=In77-1mm

in

2

令〃(相)=21n(—m)+—+2,〃(川)在(-oo,0)递减，A(-l)=0,得机=-L〃=l，得公切线

m

I:y